1、精選優質文檔-傾情為你奉上微積分練習冊第八章多元函數微分學習題8-1多元函數的基本概念1.填空題：（1）若，則（2）若，則（3）若，則（4）若，則（5）函數的定義域是_（6）函數的定義域是_(7)函數的定義域是_（8）函數的間斷點是_2.求下列極限：（1） (2)(3)3.證明4.證明：極限不存在5.函數在點（0，0）處是否連續？為什么習題8-2偏導數及其在經濟分析中的應用1.填空題（1）設，則;（2）設，則;（3）設，則;（4）設，則（5）設，則;（6）設在點處的偏導數存在，則2.求下列函數的偏導數3.設，求函數在（1，1）點的二階偏導數4.設，求和5.，試化簡6.試證函數在點（0，0）處的

2、偏導數存在，但不連續.習題8-3全微分及其應用1.X公司和Y公司是機床行業的兩個競爭者，這兩家公司的主要產品的需求曲線分別為：公司X、Y現在的銷售量分別是100個單位和250個單位。（1） X和Y當前的價格彈性是多少？（2） 假定Y降價后，使增加到300個單位，同時導致X的銷量下降到75個單位，試問X公司產品的交叉價格彈性是多少？(利用弧交叉彈性公式：2.假設市場由A、B兩個人組成，他們對商品X的需求函數分別為：（1）商品X的市場需求函數；（2）計算對商品X的市場需求價格彈性；若Y是另外一種商品，是其價格，求商品X對Y的需求交叉彈性3.求下列函數的全微分（1）（2）設，求（3），求當的全增量和

3、全微分4.計算的近似值習題8-4多元復合函數的求導法則1.填空題（1）設而，則（2）設而，則（3）設,而，則（4）設,而，則（5）設，則（6），則（1）2.設具有二階連續導數，求3.設具有二階連續偏導數，求4.設，具有二階連續偏導數，求.5.設，具有二階連續偏導數，求7.設與有二階連續導數，且，證明：習題8-5隱函數的求導公式1.填空題：（1）設，則（2）設，則（3）設，則（4）設，則2.設，求3.設，求4.設，求5.設，求6.設，而是由方程所確定的的函數，求7.設由方程確定，F具有一階連續偏導數，證明：8.設，都是由方程所確定的有連續偏導數的函數，證明：習題8-6多元函數的極值及其應用1.填

4、空題：（1）z駐點為_（2）的極_值為_（3）的極_值為_（4）在適合附加條件下的極大值為_（5）在上的最大值為_，最小值為_2.從斜邊長為L的一切直角三角形中，求有最大周長的直角三角形.班級：姓名：學號：3.旋轉拋物面被平面截成一橢圓，求原點到該橢圓的最長與最短距離微積分練習冊第八章多元函數微分學4.某養殖場飼養兩種魚，若甲種魚放養（萬尾），乙種魚放養（萬尾），收獲時兩種魚的收獲量分別為，求使產魚總量最大的放養數班級：姓名：學號：5.設生產某種產品需要投入兩種要素，和分別為兩要素的投入量，Q為產出量：若生產函數為，其中為正常數，且，假設兩種要素的價格分別為和，試問：當產出量為12時，兩要素各

5、投入多少可以使得投入總費用最小？微積分練習冊第九章二重積分習題9-1二重積分的概念與性質1.填空題（1）當函數在閉區域D上_時，則其在D上的二重積分必定存在（2）二重積分的幾何意義是_（3）若在有界閉區域D上可積，且，當時，則；當時，則（4），其中是圓域的面積，（注：填比較大小符號）2.比較下列積分的大小：(1)與其中積分區域D是由軸，軸與直線所圍成(2)與，其中3.估計下列積分的值（1），其中（2），其中4求二重積分5.利用二重積分定義證明（其中為常數）習題9-2利用直角坐標計算二重積分1.填空題（1）其中(2)其中D：頂點分別為的三角形閉區域(3)將二重積分，其中D是由軸及上半圓周所圍成的

6、閉區域，化為先后的積分，應為_（4）將二重積分，其中D是由直線及雙曲線所圍成的閉區域，化為先后的積分，應為_（5）將二次積分改換積分次序，應為_（6）將二次積分改換積分次序，應用_（7）將二次積分改換積分次序，應為_（8）將二次積分，改換積分次序，應為_2.計算下列二重積分：(1),其中 (2),其中D是由直線，及所圍成的閉區域. (3),其中3.計算二次積分4.交換積分次序，證明：5.求由曲面及所圍成的立體的體積.習題9-3利用極坐標計算二重積分1.填空題（1）把下列二重積分表示為極坐標形式的二次積分;（2）化下列二次積分為極坐標系下的二次積分2.計算下列二重積分(1),其中D是由圓周及坐標

7、軸所圍成的在第一象限內的閉區域.(2),其中D是由曲線與直線所圍成的閉區域.(3),其中D是由圓周所圍成的閉區域(4)(2),其中(2).3.計算二重積分，其中D由不等式確定（注意選用適當的坐標）4.計算以面上的圓周圍成的區域為底，而以曲面為頂的曲頂柱體的體積微積分練習冊第十章微分方程與差分方程習題10-1微分方程的基本概念1.填空題（1）方程稱為_階微分方程（2）設是方程的通解，則任意常數的個數n=_（3）設曲線上任一點的切線垂直于此點與原點的連線，則曲線所滿足的微分方程_（4）設曲線上任一點的切線在坐標軸間的線段長度等于常數a，則曲線所滿足的微分方程_（5）某人以本金元進行一項投資，投資的

8、年利率為，若以連續復利計，t年后資金的總額為（6）方程可化為形如_微分方程2.已知滿足微分方程，問C和K的取值應如何？3.、若可導函數滿足方程，將（1）式兩邊求導，得易知為任意常數）是（2）的通解，從而為（1）的解，對嗎？4.證明：是微分方程的通解.習題10-2一階微分方程(一)1.求下列微分方程的通解：（1） (2) (3)2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：（1）（2）3鐳的衰變速度與它的現存量R成正比，有資料表明，鐳經過1600年后，只余原始量的一半，試求鐳的量R與時間的函數關系微積分練習冊第十章微分方程與差分方程習題10-2一階微分方程（二）1.填空題（1）設是的一個解，Y是對應

9、的齊次方程的通解，則該方程的通解為_（2）是方程的一個特解，則其通解為_（3）微分方程作變換_可化為一階線性微分方程（4）的通解為_（5）的通解為_2.求下列微分方程的通解：(1) (2)3.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：4.用適當的變量代換將下列方程化為可分離變量的方程，然后求出通解：（1） (2)5.已知一曲線過原點，且它在點處切線的斜率等于，求該曲線的方程6.設可微且滿足關系式,求習題10-3一階微分方程在經濟學中的應用1.已知某商品的需求價格彈性為，且當P=1時，需求量Q=1(1)求商品對價格的需求函數（2）當時，需求量是否趨于穩定？2.已知某商品的需求量Q對價格P的彈性，而市

10、場對該商品的最大需求量為1萬件，求需求函數3.已知某商品的需求量Q與供給量S都是價格P的函數：其中為常數，價格P是時間的函數，且滿足為正常數）假設當時，價格為1，試求：(1) 需求量等于供給量的均衡價格(2) 價格函數(3)4.在某一人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的，設該人群的總人數為N，在時刻已掌握新技術的人數為，在任意時刻已掌握新技術人數為，其變化率與已掌握新技術人數和未掌握新技術人數之積成正比，比例常數求5.某銀行帳戶，以連續復利方式計息，年利率為5%，希望連續20年以每年12000元人民幣的速度用這一帳戶支付職工工資。若以年為單位，寫出余額所滿足的微分方程，且問當初始存

11、入的數額B為多少時，才能使20年后帳戶中的余額精確地減至0.習題10-4可降階的二階微分方程1.填空題（1）微分方程的通解為_.（2）微分方程的通解為_._（3）微分方程的通解為_.（4）微分方程的通解為_.（5）微分方程的通解為_.（6）設與是方程的特解，則其方程的通解為_.2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解3.求下列微分方程滿足初始條件的特解： (2)4.試求的經過點M(0,1)且在此點與直線相切的積分曲線5.驗證及都是方程的解，并寫出該方程的通解.6.設函數均是非齊次線性方程的特解，其中為已知函數，而且常數，求證為任意常數）是該方程的通解.7.證明函數是任意常數）是方程的通解.習題

12、10-5二階常系數線性微分方程（一）1.填空題（1）微分方程的通解為_.（2）微分方程的通解為_.（3）微分方程的通解為_.（4）微分方程為常數）的通解為_.（5）設為方程的特征方程的兩根，則其通解為_.（6）設二階常系數齊次線性微分方程的二個特征根為，則該二階常系數齊次線性微分方程為_.2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：(1)(2) (3)3.求以為特解的二階常系數齊次線性微分方程4.方程的一條積分曲線經過點且在該點和直線相切，求這條曲線方程5.求的過（1，0）點，且在此點與相切的積分曲線.習題10-5常系數線性微分方程（二）1.填空題：（1）微分方程的特解可設為型如（2）微分方程的

13、特解可設為型如（3）微方程的特解可設為型如(4)微分方程的特解可設為型如(5)微分方程的特解可設為型如2.求下列微分方程的通解：（1）（2）3.求微分方程滿足所給初始條件的特解：4.設函數滿足微分方程，它的圖形在處與直線相切，求該函數5.設函數連續，且滿足，求.6.設函數二階可導，且,過曲線上任意一點作該曲線的切線及軸的垂線，上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為，區間上以為曲邊的曲邊梯形的面積記為，恒有，求曲線的方程.習題10-6差分與差分方程的概念常系數線性差分方程解的結構1.填空題（1）設，則(2)設，則(3)設，則(4)差分的運算法則：2.已知是方程的一個解，求.3.求下列函數的二階差

14、分 (2) (3)4.給定一階差分方程，驗證：（1）當時，是方程的解.（2）當時，是方程的解習題107一階常系數線性差分方程（一）1.填空題（1）一階常系數齊次線性差分方程的通解為_2.求下列一階常系數齊次線差分方程的通解：(1) (2)（3）習題10-7一階常系數線性差分方程（二）1.填空題（1）若，則一階常系數非齊次線性差分方程具有形如的特解.當1不是特征方程的根時，當1是特征方程的根時，2.求下列一階差分方程在給定初始條件下的特解(1)且 (2)，且3.求下列一階差分方程的通解（1） (2)（3） (4)4.求下列一階差分方程在給定的初始條件下的特解（1）且 (2),且習題10-9差分方

15、程的經濟應用1.（存款模型）設為年末存款總額，為年利率，有關系式，且初始存款為，求年末的本利和.2.設某產品在時期的價格，總供給與總需求分別為與，對于有關系式:（1）求證：由關系式可推出差分方程;（2）已知時，求該方程的解.3.設為t期國民收入，為期消費，I為投資（各期相同），三者有關系式，其中已知時，,試求和4.設某商品在時期的供給量與需求量都是這一時期該商品價格的線性函數，已知且在時期的價格由及供給量與需求量之差按關系式確定試求商品的價格隨時間變化的規律.習題11-1常數項級數的概念和性質1.填空題（1）收斂，則（2）收斂，且，則（3）的和是_（4）若的和是3，則的和是_（5）的和是2，則

16、的和是_（6）當時，的和是_2.根據級數收斂與發散的定義判別下列級數的斂散性（1）（2）3.判斷下列級數的斂散性(1) (2) (3) (4) (5) (6)習題11-2正項級數及其審斂法1.用比較審斂法或比較審斂法的極限形式判別下列級數的斂散性：（1） (2) (3)2.用比值審斂法或根值審斂法判別下列級數的斂散性： (2) (3)習題11-3任意項級數的絕對收斂與條件收斂1.判別下列級數的斂散性：（1） (2) (3)2.判別下列級數是否收斂，若收斂是絕對收斂還是條件收斂？（1） (2)3.已知級數和都收斂，試證明級數絕對收斂.習題11-4泰勒級數與冪級數（一）1.填空題（1）若冪級數在處

17、收斂，則在處_（收斂、發散）.（2）若，則冪級數的收斂半徑為_.（3）的收斂域_.（4）的收斂域_.（5）的收斂域_.（6）的收斂域_.2.求下列冪級數的收斂域：(1) (2) (3)3.若冪級數的收斂域是-9，9，寫出的收斂域4.利用逐項求導或逐項積分，求下列級數在收斂區間內的和函數(1)2)，并求級數的和.5.求冪級數的收斂域及其和函數.習題11-4泰勒級數與冪級數（二）1.將下列函數展開成的冪級數，并求展開式成立的區間（1） (2)且 (3) (4)2.將函數在處展開成冪級數.3.將函數展開成的冪級數.4.將函數展開成的冪級數.5.將函數在處展開成冪級數6.設，求.一、填空題（3

18、5;5=15）1.設由方程確定是的函數，則2.設，則3.=_.4.若級數收斂，則5.差分方程的通解為_二、選擇題（3×5=15）1.下列命題中，正確的是（）A.若是函數的駐點，則必在取得極值B.若函數在取得極值，則必是的駐點C.若函數在處可微，則必是連續點D.若函數在處偏導數存在，則在處必連續2.設D由圍成，則二重積分()3.若收斂，則（）A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.斂散性不定4.方程可化為形如（）的微分方程5.差分方程的特解可設為（）三、計算題（6×8=48）1.設，求2.交換積分次序，求3.求，其中.4.判定級數的斂散性.5.求微分方程滿足的特解.微積分（下）練

19、習冊模擬試卷一6.設，其中具有二階連續偏導數，求7.求級數的收斂域及和函數.8.求微分方程的通解.四、應用題（8×2=16）1.假設某產品的銷售量是時間的可導函數，如果商品的銷售量對時間的增長速率與銷售量及銷售量接近于飽和水平的程度之積成正比（N為飽和水平，比例常數），當時，.求銷售量.2.設生產某種產品需用原料A和B，它們的單位價格分別是10元和15元，用單位原料A和單位原料B可生產單位的該產品，現要以最低成本產生112單位的該產品，問需要多少原料A和B？五、證明題（6）設，證明：若收斂，則收斂.微積分（下）模擬試卷二一、單項選擇題（每小題3分，共5小題15分）1.二元函數在點的偏

20、導數存在，是在該點可微的（）A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.無關條件2.設D是圓域是D在第一象限部分區域，則（）3.下列級數中發散的級數是（）4.微分方程的一個特解應有形式（式中為常數）（）5.函數在（0，0）點處一定為（）A.極大值B.極小值C.無法確定D.不取得極值二、填空題（每小題3分，共5小題15分）1.在點（2，1）處的全微分2.其中3.若級數收斂，則4.冪級數的收斂域是_.5.若是二階線性非齊次微分方程的兩個解為且相應齊次方程的一個解為，則該非齊次方程的通解為_.三、計算題（每小題7分，共7小題49分）1.求過點（3，1，-2）且通過直線的平面方程.2.設，其中具有二階連續

21、偏導數求.3.交換積分次序求.4.求級數的和函數.微積分（下）練習冊模擬試卷二5.求微分方程滿足的特解.6.求差方程的特解.7.在拋物線上求一點P，使P處的切線、拋物線及兩坐標軸所圍圖形的面積達到最小.四、應用題（每小題8分，共2小題16分）1.求由曲面及所圍成的立體體積.2.欲造一無蓋的長方體容器，已知底部造價為每平方米3元，側面造價為每平方米1元，現想用36元造一個容積為最大容器，求它的尺寸.五、證明題（本題5分）設在的某一鄰域內具有二階連續導數，且，證明級數絕對收斂.習題參考答案習題7-11.（1），；（2）（-3，-2，1），（3，2，-1），（-3，-2，-1），（-3，-2，1），

22、（3，-2，-1）；（3）（-4，3，0），（0，3，5），（-4，0，5），（-4，0，0），（0，3，0），（0，0，5）；（4）2.3.(6，,1，19)，（9，-5，12）；4.（-1，2，4），（8，-4，-2）；5.習題7-21.2.-2；1；2；3；4.5.或6.7.8.習題7-31.（1）2.或；4.（1）不共面；（2）共面；.5.(1)習題7-4（一）1.,（6）（1，1，-3）；2.4.7.習題7-4（二）1.（3）2.(不唯一)3.4.6.習題7-51.(3)軸；（5）拋物線，拋物柱面習題7-61.（1）平面上的雙曲線；（2）平面上的雙曲線平面上的橢圓（3）拋物線；（4）拋物線；（5）相交于原點的兩條直線；（6）4.6.7.8.習題8-11.（5）(6)(7)(8)2.(1)5.連續習題8-21.（1）(3)(5)2.（1）（2）3.0，0，04.習題8-31.（1）1，0.6；（2）0.7；2.（1）略;(2)1,3.(1)(3)略;4.2.95習題8-4(2)(5)2.5.習題8-51.（1）2.5.