1、線段之和最短問題一 常見數學模型：1.如圖，直線l和l的異側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。2.如圖，直線l和l的同側兩點A、B，在直線l上求作一點P，使PA+PB最小。3. 如圖，直線l1和l2的異側兩點A、B，分別在直線l1、l2上求作一點P、Q兩點，使AP+PQ+QB最小。4. 如圖，直線l1的同側兩點A、B，分別在直線l1上求作一點P、Q兩點，且PQ=a，使AP+PQ+QB最小。5.如圖，點P是MON內的一點，分別在OM，ON上作點A，B使PAB的周長最小。6.如圖，點P，Q為MON內的兩點，分別在OM，ON上作點A，B。使四邊形PAQB的周長最小。為方便歸類，將這

2、種情況稱為“兩點之間線段最短型”5.如圖，點A是MON外的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小6. .如圖，點A是MON內的一點，在射線ON上作點P，使PA與點P到射線OM的距離之和最小為方便歸類，將以上兩種情況，稱為“垂線段最短型”練習題1在平面直角坐標系中，有A（3，2），B（4，2）兩點，現另取一點C（1，n），當n =_時，AC + BC的值最小2如圖，護城河在CC處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經過兩座橋：DD，EE，設護城河是東西南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設計兩座橋梁DD，EE的位置，使由A地經過兩座橋梁

3、后到B地的路程最短？最短路程是多少？3如圖AOB = 45，P是AOB內一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值4如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為_。5如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.(1)用含x的代數式表示ACCE的長；(2)請問點C滿足什么條件時，ACCE的值最小?(3)根據(2)中的規律和結論，請構圖求出代數式+錯誤！未定義書簽。的最小值6桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長1

4、8厘米，在杯口內壁離杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發現了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。7著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區星斗山位于筆直的滬渝高速公路x同側，、到直線x的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務區，向、兩景區運送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖所示的直角坐標系，到直線y的距離為，請你在x旁和y旁各修建一服務區、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值8如圖，在銳角ABC中，AB = ，BAC45，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB

5、上的動點，則BM+MN的最小值是_9如圖，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值 10如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN，連接EN、AM、CM 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最小；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.參考答案1在平面直角坐標系中，有A（3，2），B（4，2）兩點，現另取一點C（1，n），當n =_時，AC + BC的值最小點C（1，n），說明點C在直線

6、x=1上，所以作點A關于直線x=1的對稱點A，連接AB，交直線x=1于點C，則AC+BC的值最小設直線AB的解析式為y=kx+b，則-2=-k+b 2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)當x = 1時，y = -(2/5)故當n = -(2/5)時，AC+BC的值最小2如圖，護城河在CC處直角拐彎，寬度保持為4米，從A處往B處，經過兩座橋：DD，EE，設護城河是東西南北方向的，A，B在東西方向上相距64米，南北方向上相距84米，如何設計兩座橋梁DD，EE的位置，使由A地經過兩座橋梁后到B地的路程最短？最短路程是多少？如圖，作BBa，A

7、A b，且BB = 4，AA = 4，連接AB，交河岸于點E，D，分別過點E、D架設橋梁DD，EE，則ADDEEB是最短路線。因為四邊形ADDA、四邊形BEEB都是平行四邊形，所以BE = BE，AD = AD，因為A，B之間線段最短，所以ADDEEB是最短路線，又BF = 64，AF = 84，所以BF = 60，AF = 80，在直角三角形ABF中，由勾股定理得，AB = 100，最短路線為108米3如圖AOB = 45，P是AOB內一點，PO = 10，Q、P分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值分別作點P關于OA、OB的對稱點P1、P2，連接P1P2，交OA、OB于點Q，R，連

8、接OP1，OP2，則OP = OP1 = OP2 = 10 且P1OP2 = 90由勾股定理得P1P2 = 104如圖，在ABC中，ACBC2，ACB90，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則ECED的最小值為_。即是在直線AB上作一點E，使EC+ED最小作點C關于直線AB的對稱點C，連接DC交AB于點E，則線段DC的長就是EC+ED的最小值。在直角DBC中DB=1，BC=2，根據勾股定理可得，DC=5如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，設CD=x.(1)用含x的代數式表示ACCE的長；(2)請問點C滿足什么條件

9、時，ACCE的值最小?(3)根據(2)中的規律和結論，請構圖求出代數式+錯誤！未定義書簽。的最小值(1)AC = ，CE = 則AC+CE = + (2)A、C、E三點共線時AC+CE最小連接AE，交BD于點C，則AE就是AC+CE的最小值最小值是10(3)如右圖，AE的長就是這個代數式的最小值在直角AEF中,AF = 5 EF = 12 根據勾股定理 AE = 13（3）求代數式（0x4）的最小值如右圖，AE的長就是這個代數式的最小值在直角AEF中AF = 3 EF = 4則AE = 5所以，這個代數式的最小值是56桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋），高為12厘米，底面周長18厘米，在杯口內壁離

10、杯口3厘米的A處有一滴蜜糖，一只小蟲從桌上爬至杯子外壁，當它正好爬至蜜糖相對方向離桌面3厘米的B處時，突然發現了蜜糖。問小蟲至少爬多少厘米才能到達蜜糖所在的位置。析：展開圖如圖所示，作A點關于杯口的對稱點A。則BA=15厘米7著名的恩施大峽谷和世界級自然保護區星斗山位于筆直的滬渝高速公路同側，、到直線的距離分別為和，要在滬渝高速公路旁修建一服務區，向、兩景區運送游客如果擬建的恩施到張家界高速公路與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標系，到直線的距離為，請你在旁和旁各修建一服務區、，使、組成的四邊形的周長最小并求出這個最小值分別作點A、B關于x軸、y軸的對稱點A，B，連接AB，交x軸、

11、y軸于點P、Q，則四邊形PABQ的周長最小構造如圖在RtABC中，BC = 30+30+40 = 100， AC = 10 +40 =50所以AB = =508如圖，在銳角ABC中，AB = ，BAC45，BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是_作點B關于AD的對稱點B，過點B作BEAB于點E，交AD于點F，則線段BE的長就是BM的最小值在等腰RtAEB中，根據勾股定理得到，BE = 49如圖，ABC中，AB=2，BAC=30，若在AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，則這個最小值 作AB關于AC的對稱線段AB，過點B作BNAB，垂足為N

12、，交AC于點M，則BN = MB+MN = MB+MNBN的長就是MB+MN的最小值則BAN = 2BAC= 60，AB = AB = 2，ANB= 90，B = 30。所以AN = 1在直角ABN中，根據勾股定理BN = 10如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60得到BN，連接EN、AM、CM 求證：AMBENB； 當M點在何處時，AMCM的值最小；當M點在何處時，AMBMCM的值最小，并說明理由； 當AMBMCM的最小值為時，求正方形的邊長.(2)連接AC，交BD于點M，則AM+CM的值最小連接CE交BD于點M，則AM+BM