1、實(shí)用文檔高中數(shù)學(xué)向量專題學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.掌握向量的加法和減法.掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件 .2 .掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，掌握線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并能熟練運(yùn)用，掌握平移公式.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.3 .了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它彳門解斜三角形 .向量是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，作為數(shù)形結(jié)合的有力工具，它的應(yīng)用極其廣泛，在復(fù)數(shù)、平幾、解幾、立幾

2、、物理 等知識(shí)中均有涉及.本章在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了平面向量的概念及運(yùn)算的基礎(chǔ)上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解決問題是 本章特點(diǎn)的一個(gè)方面，向量本身具有數(shù)與形結(jié)合的雙重身份，這為解決問題過程中充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法創(chuàng)造 了條件.通過本章學(xué)習(xí)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力知識(shí)點(diǎn)1 .向量的定義既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向線段表示.AB表示從點(diǎn)A到B的向量（即A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量），也可以用字母a、b、c等表示.（印刷用黑體a、b、c,書寫用a b、C注意：長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等為數(shù)量，位移、速度、力等為向量 ）.2 .向量的模所謂向量AB的大小，就是向量

3、 AB的長(zhǎng)度（或稱模），記作| AB |或者| a | .向量不能比較大小，但向量的模 可以比較大小.3 .零向量與單位向量： 長(zhǎng)度為0的向量稱為零向量，用0表示.0向量的方向是不定的， 或者說(shuō)任何方向都是 0向量的方向，因此0向量有兩個(gè)特征：一長(zhǎng)度為 0;二是方向不定.長(zhǎng)度為1的向量稱為單位向量.4 .平行向量、共線向量方向相同或相反的非零向量稱為平行向量.特別規(guī)定零向量與任一向量都平行 .因此，零向量與零向量也可以平行.根據(jù)平行向量的定義可知：共線的兩向量也可以稱為平行向量.例如aB與BA也是一對(duì)平行向量.由于任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量.例如，若四邊形 A

4、BCD是平行四邊形，則向量AB與CD.是一組共線向量；向量 AD與BC也是一組共線向量.5 .相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a與向量6相等，記作a =b .零向量與零向量相等，任意兩個(gè)相等的非零向量都可以用一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)重點(diǎn)難點(diǎn)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握：（1）理解向量、零向量、單位向量、相等向量的概念；（2）掌握向量的幾何表示，會(huì)用字母表示向量；（3） 了解平行向量的概念及表示法，了解共線向量的概念例1判斷下列各命題是否正確-tfc- -I-（1）若 I a I = I b I ,貝U a = b文案大全實(shí)用文檔(2)若A、R C、D是不共線的

5、四點(diǎn)，則 AB = DC是四邊形ABC皿平行四邊形的充要條件(3)若 a = b, b = c,貝 Ua = c(4)兩向量a、b相等的充要條件是rl 1 = I i Ia/b(5) I a I = I b |是向量a = b的必要不充分條件.(6) AB =CD的充要條件是 A與C重合，B與D重合.解：(1)不正確，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同(2)正確. AB = DC ,| AB | = | DC | 且 AB / DC .又A、B、C D是不共線的四點(diǎn).四邊形 ABCD是平行四邊形，反之，若四邊形ABCD是平行四邊形則 AB DC且AB與DC方向相同，因此AB = DC

6、.(3)正確.: a =ba , b的長(zhǎng)度相等且方向相同；又 b =cb , c的長(zhǎng)度相等且方向相同.a , c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故 a = c(4)不正確.當(dāng)a / b ,但方向相反，即使| a | = I b | ,也不能得到a =b ,故rl I = 1 6 Ia/b不是a = b的充要條件正確.這是因?yàn)閨 a H b | a =b ,但a = b = I a I = I b I ,所以I a | 二 | b |是a = b的必要不充分條件AB | = | CD |及由A至ij B與由C到D的方向相同，但不一定要有(6)不正確.這是因?yàn)?AB = CD時(shí)，應(yīng)有:與C重合、B與D重合.

7、說(shuō)明：針又上述結(jié)論(i)、(4)、(5),我們應(yīng)該清醒的認(rèn)識(shí)到，兩非零向a、b相等的充要條件應(yīng)是a、b的方向相同且模相等.針對(duì)結(jié)論(3),我們應(yīng)該理解向量相等是可傳遞的.結(jié)論(6)不正確，告訴我們平面向量a與b相等，并不要求它們有相同的起點(diǎn)與終點(diǎn).當(dāng)然如果我們將相等的兩向量的起點(diǎn)平移到同一點(diǎn).則這時(shí)它們的終點(diǎn)必重合.例2如圖所示， ABC中，三邊長(zhǎng)|AB|、| BC|、| AC|均不相等，E、F、D是AC,AB,BC的中點(diǎn).(1)寫出與EF共線的向量.(2)寫出與EF的模大小相等的向量.(3)寫出與EF相等的向量.解：(1) F分別是AC AB的中點(diǎn)EF/ BC從而，與EFFE , BD ,

8、DB , DC , CD , BC , CB .(2) /B F、D分別是AG AB BC的中點(diǎn)1八八EF=- BC,BD=DCBC.22又AR BG AC均不相等從而，與EF.的模大小相等的向量是：FE、BD、DB DC、CD與EF相等的向量，包括：DB、Cd .例3判斷下列命題真假(1)平行向量一定方向相同.(2)共線向量一定相等.(3)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等的向量(4)不相等的向量，則一定不平行 .*非零向量的單位向量是土 -a.解：(1)假命題，還可以方向相反；(2)假命題，共線向量?jī)H方向相同或相反；大小不一定相等;(3)真命題，因?yàn)橄蛄颗c起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)；文案大全(

9、4)假命題，因?yàn)槿鬭 , b方向相同，但只要| a|w| b|,則awb.(5)真命題，任一非零向量:例4如圖，已知：四邊形a的單位向量為土ABCtD, N M分別是AR BC的中點(diǎn)，又 AB = DC .求證：CN = MA ,證明：. AB =DC.I AB| = | DC| ,且AB/ DC.從而，四邊形 ABCD平行四邊形 AD/ BC, AD=BCN、M分別是AD BC的中點(diǎn).AN=1 AD,MC=1 BC.22AN=MC.又 AN/ MC 四邊形 AMCN!平行四邊形.于是得：AM/ NC | AM| = | NC| . 又由圖可知：CN,與MA.的方向一致.CN =MA【難題巧解

10、點(diǎn)拔】例1如圖，已知四邊形ABC虛矩形，。是兩對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M=A,B,C,D,O、向量的集合T= PQ |任P, QC M,且P、Q不重合，試求集合T的子集個(gè)數(shù).ABDC分析：要確定向量為元素的集合 T有多少個(gè)子集，就需搞清楚集合T中有多少個(gè)相異的向量.解：以矩形ABCM四頂點(diǎn)及它的對(duì)角線交點(diǎn) 0,五點(diǎn)中的任一點(diǎn)為起點(diǎn)，其余四點(diǎn)中的一點(diǎn)為終點(diǎn)的向量共有20個(gè)，但是這20個(gè)向量不是各不相等的，我們下面將這20個(gè)向量一一列舉出來(lái)：AO=OC、OA=CO ; DO =OB、bo=6F； ac CA ； BD、DB； AD = BC、DA=CB；AB=DC、BA=CD.它們中有 12

11、個(gè)向量是各不相等的 故T是一個(gè)12元集.所以T有212個(gè)子集.說(shuō)明：在上述解題過程中，我們一定要根據(jù)集合元素的互異性.算出T中的元素個(gè)數(shù)為12.而不是20.這樣才能得到正確的結(jié)果.AEDF勺面積可以取到最大值 ？例2 已知；如圖，點(diǎn)D在ABCW邊BC上，且與B、C不重合，E、F分別在ARAC上，DF =EA .(1)求證： BD DCF.(2)求當(dāng)D在什么位置時(shí)，四邊形證明：(1) DF =EADF/ AE, | DF| = | EA| .從而，得：四邊形 AEDF是平行四邊形DE/ AF, | DE| = | AF |由DE/ AF可得：/ BDEhC由 DF/ AE可得：/ B=Z FDC

12、. BDa DCF(2)設(shè) | BC| =a, | AC| =b, | AB | =c, | BD| =x，則 | DC| =a-x.BDa DCF.- BE DF從而，=,設(shè)比為k1.x a -x上設(shè)比為k2.x a -x由 | BE | + | DF| =c, | ED| + | FC | =b.c可得：xk1+(a-x)k 1=c,:*1= .abxk2+(a-x)k 2=b, k2=一.ac .I DF| = c(a-x)aI DE| =bx a 由點(diǎn)F作FT1 AB,垂足為T 由銳角三角函數(shù)，| FT | = | AF | sinA= bx - sinA a 二 So AED= |

13、DF| | FT | =c(a-x) - bx - sinA a abc 2=(ax-x )sinAa2=-(x- -)2 sinA & sinAa2424當(dāng)且僅當(dāng)x=a時(shí)，等號(hào)成立.2答：D是BC邊的中點(diǎn)時(shí)，Sb AEDF取到最大值.例3如圖A, A2,人是。上的八個(gè)等分點(diǎn)，則在以Ai, A2A8及圓心。九個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)與終點(diǎn)的向量中，模等于半徑的向量有多少個(gè)？模等于半徑J2倍的向量有多少個(gè)？A.分析：(1)由于Ai、A2A8是。上的八個(gè)等分點(diǎn)，所以八邊形AiA2A是正八邊形，正八邊形的邊及對(duì)角線長(zhǎng)均與。的半徑不相等.所以模等于半徑的向量只可能是OA與AO(i=i,2,，8)兩類.(2

14、)。內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)是半徑的拒倍，所以我們應(yīng)考慮與圓心。形成90。圓心角的兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量個(gè)數(shù).解：(1)模等于半徑的向量只有兩類，一類是OA* (i=1,2 ,，8)共8個(gè)；另一類是 AO (i=1,2, ,8)也有8個(gè)，兩類合計(jì)16個(gè).(2)以A1, A2,，A為頂點(diǎn)的。O的內(nèi)接正方形有兩個(gè)，一是正方形 AAAA;另一個(gè)是正方形 A2A4AA8.在題中所 述的向量中，只有這兩個(gè)正方形的邊(看成有向線段，每一邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)向量)的長(zhǎng)度為半徑的 J2倍.所以模為半徑 J2倍 的向量共有4X2X2=16個(gè).說(shuō)明：(1)在模等于半徑的向量個(gè)數(shù)的計(jì)算中，要計(jì)算OA與AO (i=1 , 2,，8)兩類，一

15、般我們易想到 OAi(i=1,2,，8)這8個(gè)，而易遺漏 AO (i=1 , 2,，8)這8個(gè).(2)圓內(nèi)接正方形的一邊對(duì)應(yīng)了長(zhǎng)為| b|=ab fbFFFC. a =b = | a | / | b |D. | a | =0= a =0解：由向量的定義知：向量既有大小，也有方向，由向量具有方向性可排除A、B,零向量、數(shù)字 0是兩個(gè)不同的概念，零向量是不等于數(shù)字0的.應(yīng)排除D, 應(yīng)選C.例4 下列四個(gè)命題：若I a I =0,則a =0 ；若I a 1 = 1 b I ,則a = b或a=-b；若a與b是平行向量，則I*-F f* fa I = I b I ；若a = 0 ,則-a = 0正確命

16、題個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4分析：是忽略了 0與0不同，由于 a =0= a=0,但0不能寫成0；是對(duì)兩個(gè)向量的模相等與兩個(gè)實(shí)數(shù)相等混淆了，兩個(gè)向量的模相等，只能說(shuō)明它們的長(zhǎng)度相同，并不意味它們 的方向相同或相反；是對(duì)兩個(gè)向量平行的意義理解不透，兩個(gè)向量平行，只是這兩個(gè)向量的方向相同或相反，而它們的模不一定相正確，故選A.強(qiáng)化練習(xí)：一、選擇題1 .下列命題中的假命題是（）A.向量AB與BA的長(zhǎng)度相等B.兩個(gè)相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同C.只有零向量的模等于 0D.共線的單位向量都相等2 .如圖，在圓。中，向量OB , OC , 而是（）A.有相同起點(diǎn)的向量B.單位向量C.相等的向量

17、D.模相等的向量3 .如圖， ABC中，DE BC,則其中共線向量有（）A.一組B.二組C.三組4 .若a是任一非零向量，b是單位向量，下列各式|題圖）D.四組a I I b|；a/b；| a|0； | b|=l；-af=b,其中正確的有（）aA.B.C.D.5 .四邊形ABCD,若向量 AB與CD是共線向量，則四邊形 ABCD（）A.是平行四邊形B.是梯形C.是平行四邊形或梯形D.不是平行四邊形，也不是梯形6 .把平面上所有單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是A. 一條線段B. 一個(gè)圓面C.圓上的一群弧立點(diǎn)D.一個(gè)圓7.若a, b是兩個(gè)不平行的非零向量，并且a / c

18、, b / c ,則向量c等于（）A. 0B. aC. bD. c 不存在8.命題p： a與b是方向相同的非零向量，命題 q: a與b是兩平行向量，則命題 p是命題q的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、判斷題1 .向量AB與BA是兩平行向量.（）2 .若a是單位向量，b也是單位向量，則 a =b .（）3 .長(zhǎng)度為1且方向向東的向量是單位向量，長(zhǎng)度為 1而方向?yàn)楸逼珫|30。的向量就不是單位向量.（）4 .與任一向量都平行的向量為0向量.（）5 .若aB = DC,，則A、B、C D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形.（）6 .兩向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，

19、終點(diǎn)也相同.（）7 .設(shè)O是正三角形 ABC的中心，則向量 AB的長(zhǎng)度是OA長(zhǎng)度的J3倍.（）8 .已知四邊形ABCD菱形，則| AC | = | BD |是菱形ABC的正方形的充要條件.（）9 .在坐標(biāo)平面上，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為起點(diǎn)的單位向量的終點(diǎn)P的軌跡是單位圓.（）10 .凡模相等且平行的兩向量均相等.（）三、填空題1 .已知a , b , c為非零向量，且 a與b不共線，若c / a ,則c與b必定2 .已知 | OA | =4, | AB | =8, / AOB=60 ,則 | AB | =3 .如圖，已知O是正六邊形的中心，則在圖中所標(biāo)出的各向量中，模等于該正六邊形邊長(zhǎng)的向量共有個(gè).4

20、 .如圖所示，四邊形 ABCD ABDE都是平行四邊形，則與向量aB共線的向量有若 | AB | =1.5,則 | CE | =.5 .已知四邊形ABCM, AB=1 DC ,H | AD | = | BC | ,則四邊形ABCM形狀是.2四、解答題1 .如圖，在 ABC中，已知：向量 AD = DB , DF =BE,求證：DE=AF.2 .在直角坐標(biāo)系中，將所有與y軸共線的單位向量的起點(diǎn)移到x軸上，其終點(diǎn)的集合構(gòu)成什么圖形【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】1 .已知a、b是任意兩個(gè)向量，下列條件：a = b;| a | = | b | ;a與b的方向相反；a=0或b=0;a與b都是單位向量.其中，哪些是向量

21、 a與b共線的充分不必要條件.2 .已知ABC比等腰才!形，AB/ DC下列各式： AB =DC ,，AD =BC ;| AC | = | BD | ; | AB |豐DC | ; AB / CD .正確的式子的序號(hào)是 .3 .不相等白向量a和b ,有可能是平行向量嗎？若不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若有可能，請(qǐng)把各種可能的情形列出4.下列各組量是不是向量 ？如果是向量，說(shuō)明這些向量之間有什么關(guān)系？(1)兩個(gè)三角形的面積 S1, S2；(2)桌面上兩個(gè)物體各自受到的重力F1, F2；(3)某人向河對(duì)岸游泳的速度 vi與水流的速度V2；(4)浮在水面上的物體受到的重力W和水的浮力F.【生活實(shí)際運(yùn)用】某人從A點(diǎn)出發(fā)向西走了 10米，到達(dá)B點(diǎn)，然后改變方向按西偏