1、方差分析變異分解思路剖析第一部分：方差分析變異分解的整體思想差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產生變異的原因加以區分開來的方法與技術，方差分析實質上是關于觀測值變異原因的數量分析。從變異性分解角度來看，主要是對觀測值的總變異進行分解。分解為兩大部分：第一，來自于自變量不同處理效應的影響；第二，來自于誤差因素的影響（即包括隨機化選擇被使過程中所產生的隨機因素，也包括一些無法辨別來源的殘差）。以單因素完全隨機設計為例。某心理學家為了考察訓練教程對兒童創造思維能力的影響，將20名被試隨機分成四個組，每組5人，每組采用一種教程進行訓練，一學期后每個被試的創造思維能力評分如下表，試檢驗訓練教程

2、的作用是否有顯著的差異。在這個例子中，自變量為訓練教程，一共有四個水平。因變量為創造性思維能力得分。那么所有被試在因變量上得分的差異性（即變異）可以分解為兩個來源：第一，由于自變量的四個水平所產生的四個組之間的差異性；第二，由于選擇被試所導致的組內被試之間的差異性。第二部分：不同實驗設計下變異來源分解剖析一、單因素完全隨機設計此主題相關圖片變異分解的一般邏輯：首先，計算總變異；然后，計算處理產生的變異；最后，用總變異減去處理產生的變異即誤差變異。在單因素完全隨機設計中，處理產生的變異即水平組間變異。利用原始數據計算變異的公式規律：第一，總平方和和組間平方和的后一項記為CM，矯正數，均為總數據和

3、的平均平方。求多少和，即對多少平均。第二，總平方和的前一項為所有原始數據平方的和。第三，組間平方和的前一項為每組數據和的平方求平均，然后把幾個組的計算結果相加。PS：對我們的啟示是在平方和處理變異分解過程中，我們只要搞清楚處理處理是指那幾個組就差異就可以了。以第一部分中單因素隨機實驗設計為例。具體數據見下表：此主題相關圖片總數據和為477，總數據和的平方為：227529，平均的總數據和的平方為：11376.45（有20個數據）。該項即為矯正項。所有原始數據平方的和為：13309。因此，總平方和為1932.55。組間平方和的前一項為每組數據和的平方求平均，然后把幾個組的計算結果相加。即：1293

4、0.2。因此，組間平方和為：1553.75。組內平方和為總平方和減去組間平方和。因此，組內平方和為：378.80。具體結果見下表。此主題相關圖片總結：我們發現，在方差分析不同實驗設計的變異分解中，總變異的概念是一致的，矯正項的概念是一致的。而誤差變異又可以通過總變異減去處理變異即可。因此，只要搞清楚處理變異的計算就可以搞定所有實驗設計下方差變異的分解問題。處理變異計算的關鍵點：只要搞清楚處理來源涉及到哪幾個處理水平之間的差異性即可。下面以各種其它實驗設計的方差分解為例，進一步理解這一思想。二、單因素隨機區組設計單因素隨機區組設計和單因素完全隨機設計的區別是單因素區組設計通過區組因素很好的控制了

5、一個無關變量對因變量的影響（即：區組因素是一個無關變量）。在統計上來說，是通過估計出區組因素所產生的平方和，減少了誤差平方和的大小，從而提高了統計檢驗效力。單因素隨機區組設計的一個前提條件是：區組因素和自變量因素之間不存在交互作用。否則需要采用兩因素析因實驗設計。單因素隨機區組設計的總變異被分解為以下的幾個部分：第一，自變量效應所產生的變異；第二，區組效應所產生的變異；第三，誤差變異。自變量效應所產生的變異以及區組效應所產生的變異的計算方法同單因素完全隨機設計的組間效應的計算。關鍵是要搞清楚是在計算哪幾個組之間的變異性。三、單因素重復測量實驗設計單因素重復測量實驗設計和單因素完全隨機實驗設計的

6、區別在于被試分配到處理中的方法是不一樣的。在單因素完全隨機設計中，不同處理水平下的被試是不一樣的。而在單因素重復測量實驗設計中，所有的被試均接受了所有處理水平的影響。單因素重復測量實驗設計的優點是可以控制被試間差異這一無關變量對因變量所造成的影響。從統計上來說，是通過把被試間差異所導致的變異從誤差變異中區分出來，減少了誤差平方和的大小，從而提高了統計檢驗效力。單因素重復測量實驗設計的總變異可以分解為以下幾個部分：第一，自變量效應所產生的變異；第二，被試間差異所導致的變異；第三，誤差變異。下圖反映的是三種不同的單因素實驗設計的被試分配方案：此主題相關圖片四、多因素析因完全隨機實驗設計多因素析因完

7、全隨機實驗設計屬于被試間設計的一個多因素析因實驗設計，其優點是可以進行交互作用的分析。交互作用產生的變異是通過對組間變異分解實現的。在多因素析因完全隨機實驗設計中，我們把組間變異分解為主效應和交互作用效應。已2*3完全隨機析因設計為例。假定存在兩個自變量因素A和B，A有兩個水平，稱為A1,A2，B有三個水平，稱為B1,B2,B3。那么組間總變異是由A因素和B因素相交以后產生的6個處理水平組所產生的變異。而A因素的主效應和B因素的主效應是分別由A因素2個水平組和B因素的三個水平組所產生的。交互作用效應即用組間效應減去A因素和B因素的主效應獲得的。2*3完全隨機析因設計的總變異可以分解為以下幾個部

8、分：第一，A因素主效應所產生的變異；第二，B因素主效應所產生的變異；第三，AB因素的交互作用效應所產生的變異；第四，誤差變異。五、多因素析因重復測量實驗設計多因素析因重復測量實驗設計屬于被試內設計，其與單因素重復測量實驗設計的差別同多因素完全隨機析因設計和單因素完全隨機設計的區別。其優點也是可以進行交互作用的分析。在此不在贅述。多因素析因重復測量實驗設計的總變異可以分解為以下幾個部分：第一，A因素主效應所產生的變異；第二，B因素主效應所產生的變異；第三，AB因素的交互作用效應所產生的變異；第四，被試間差異所導致的變異；第五，誤差變異。六、多因素析因混合實驗設計多因素析因混合實驗設計即包括了組間因素，也包括了組內因素（即被試內因素）。因此