1、3.5 預(yù)測(cè)在預(yù)測(cè)的過程中，我們的目標(biāo)是根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)xnx1來預(yù)測(cè)未來的值xn+m，m=1，2， 在這一節(jié)中，我們假定這一時(shí)間序列xt是平穩(wěn)的，并且其模型的參數(shù)是已知的。有關(guān)未知參數(shù)模型的預(yù)測(cè)我們將在后面的部分加以討論。Xn+m的最小均方誤差預(yù)測(cè)為： 因?yàn)闂l件期望最小化均方誤差為 （3.51）其中g(shù)（x）是觀測(cè)值x的函數(shù)。首先，我們來看預(yù)測(cè)值是觀測(cè)值的線性函數(shù)的情形，在這種情況下，預(yù)測(cè)值的表達(dá)形式為 （3.52）其中0，1n都是真實(shí)確定的數(shù)。使均方預(yù)測(cè)誤差最小化的（3.52）式形式的線性預(yù)測(cè)我們稱之為最優(yōu)線性預(yù)測(cè)（BLPs），我們可以看到，線性預(yù)測(cè)僅僅依賴于其過程的二階矩。而這個(gè)二階矩我們可

2、以很容易地從現(xiàn)有的數(shù)據(jù)中估計(jì)出來。這一節(jié)中很多的內(nèi)容被附錄B中的理論部分加強(qiáng)了。例如，定理B.3說明了如果這個(gè)過程是高斯過程的話，那么最小均方誤差預(yù)測(cè)與最優(yōu)線性預(yù)測(cè)將是一致的。如下的性質(zhì)是基于投影定理（定理B.1）而得出的。性質(zhì)P3.3：平穩(wěn)過程的最優(yōu)線性預(yù)測(cè)給定數(shù)據(jù)x1，x2，xn，最優(yōu)線性預(yù)測(cè)，其中，m1，那么這個(gè)最優(yōu)線性預(yù)測(cè)可以通過求解以下方程得到： （3.53）其中x0=1.式（3.53）定義的房產(chǎn)稱為預(yù)測(cè)方程，可以用來求解系數(shù)。如果E（xt）=u，那么當(dāng)k=0時(shí)，由（3.53）的第一個(gè)方程即可以得到： 將期望值代入（3.52）中可以得到 于是，最優(yōu)線性預(yù)測(cè)的形式可以表示為 因此，當(dāng)我

3、們討論這個(gè)估計(jì)值的時(shí)候，我們會(huì)考慮到=0的情況，這種情況也是不失一般性的，而在這種情況下，0=0.接下來，首先我們考慮一步向前預(yù)測(cè)，也就是給定，我們希望預(yù)測(cè)到時(shí)間序列的下一個(gè)時(shí)點(diǎn)的值Xn+1，那么Xn+1這一預(yù)測(cè)值的最優(yōu)線性預(yù)測(cè)BLP即為： （3.54）其中，為了更簡潔地表示，我們?cè)冢?.54）中將（3.52）中的k寫成，k=1，2n。利用性質(zhì)P3.3，系數(shù)應(yīng)滿足 (3.55) 這個(gè)預(yù)測(cè)方程可以用矩陣的形式表示為： （3.56）其中是一個(gè)n*n矩陣，和都是n*1維向量。矩陣n是非負(fù)正定的，如果n是奇異的，那么（3.56）就會(huì)有很多的解，但是由投影定理可知，Xnn+m卻是唯一的。如果n是非奇異的

4、，那么n的解就是唯一的，即： （3.57）對(duì)于ARMA模型，由于，當(dāng)時(shí)，（h）0，由這些條件足以確保n是正定的，有時(shí)候可以很方便地用向量的形式寫出一步向前預(yù)測(cè)的表達(dá)式： （3.58）其中。一步向前預(yù)測(cè)的均方誤差為： （3.59）式3.59可以由3.57和3.58證明：例題3.17 對(duì)AR（2）的預(yù)測(cè)假設(shè)有一個(gè)因果型的AR（2）過程，和一個(gè)觀測(cè)值x1，然后用3.57的方程，可以得到基于x1的一步向前預(yù)測(cè)值x2為 現(xiàn)在，假設(shè)我們想用觀測(cè)值x2和x1來作一個(gè)一步向前預(yù)測(cè)x3，我們也可以用3.55來求解 為了得到系數(shù)的解，我們也可以利用3.57矩陣的形式 但是，從模型中我們可以看出：，因?yàn)闈M足預(yù)測(cè)方程（3.53），即： 實(shí)際上，此例中唯一的系數(shù)解為：和，再繼續(xù)使用這種方法，我們就可以很容易證明當(dāng)n2時(shí)， 然后再擴(kuò)展到一般的情況：如果時(shí)間序列是一個(gè)因果關(guān)系A(chǔ)R（p）過程，當(dāng)np時(shí)，有 （3.60）對(duì)于一般的ARMA模型，預(yù)測(cè)方程不會(huì)像純粹的自回歸模型那么簡單，另外，當(dāng)n很大的時(shí)候，沒辦法使用3.57，因?yàn)?.57中要求一個(gè)很大的矩陣的逆矩陣，然而，迭代法不要求求矩陣的逆。性質(zhì)P