1、忽視函數定義域引起的錯解剖析湖南祁東育賢中學 周友良 421600衡陽縣一中 王愛民函數的定義域是函數概念的重要組成部分，作為函數三要素之一，在函數問題中有著重要的地位。它不僅是研究函數圖象性質的基礎，而且在眾多數學問題的求解過程中，往往能夠顯示出不可低估的特殊作用。它直接制約著函數的解析式、圖象和性質，在解題過程中若忽視定義域這個重要條件，將是導致錯解的原因所在。現對忽視定義域引起錯解的幾類題型作扼要的剖析，以引起重視。一 忽視函數的定義域是一個非空數集致錯。例1、判斷式子是表示“y是x的函數”嗎？錯解：y是x的函數.剖析：由于函數的定義域是非空的數集，而上式中，由。根據函數定義，上式不表示

2、“y是x的函數”；由于忽略了函數的定義域是非空集而導致了解題錯誤。二 換元法解題時定義域沒能等價過渡致錯。例2：求函數的值域 錯解：令 故所求的函數值域是 剖析：上述解法忽視了換元后變量的范圍。經換元后，應有，而函數在0,+)上是增函數， 所以當t=0時，ymin=1 故所求的函數值域是1, +）例3、已知，求函數的解析式.錯解：令，則，剖析：因為隱含著定義域是，所以由得，的定義域為，即函數的解析式應加上定義域，這樣才能保證轉化的等價性.三，變形前后定義域放大或縮小而致錯。例4. 求函數的遞增區間。 錯解：設 剖析：上述解法忽略了函數的定義域。因為題目中分母不能為零，即 例5、求函數的周期。錯

3、解：剖析：對原函數解析式的定義域為，而運用公式后所得函數的定義域為，兩個函數的定義域不同，變形后忽視了定義域范圍變大致錯。因此，函數的最小正周期為。四，判斷函數的奇偶性時忽視函數定義域是否關于原點對稱致錯。例6：判斷函數的奇偶性錯解： 函數是奇函數錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。正解： 定義域區間1,3關于坐標原點不對稱 函數是非奇非偶函數例7、已知函數，試判斷的奇偶性.錯解：令，則.，即，為奇函數.剖析：由于函數奇偶性是建立在定義域關于原點對稱的前提條件下的.即首先應求出原函數

4、的定義域，若定義域不關于原點對稱則原函數為非奇非偶函數，若定義域關于原點對稱了，則再用奇偶性的定義判斷.此題由，即，故得函數的定義域為不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數.五、求函數單調區間忽視定義域致錯。 例8、求函數的單調遞增區間.錯解：令，則，它是增函數. 在上為增函數，由復合函數的單調性可知，函數在上為增函數，即原函數的單調增區間是.剖析：判斷函數的單調性，必須先求出函數的定義域，單調區間應是定義域的子區間.正確的解法應先確定函數的定義域.由，得的定義域為.由此可確定函數的單調增區間是.六求函數的反函數時忽視反函數的定義域是原函數的值域致錯。例9、求函數，的反函數.錯解：由得，兩邊平方得

5、，由得，故原函數的反函數是， .剖析：根據反函數的定義域是原函數的值域，由原函數的定義域得值域應為，所以原函數的反函數是， .七解抽象型函數不等式問題時忽視定義域致錯例10、奇函數在定義域內是單調遞增，且 求的取值范圍。錯解剖析：若僅僅考慮函數的奇偶性，單調性，而不考慮自變量的取值范圍是片面的。命題目的：本題考查了利用函數的奇偶性，單調性以及三要素等基本概念解決問題的能力。解題關鍵：捉住題目給出的函數定義域，奇偶性，單調性及定義域列出相應的不等式組解之。綜上可知，函數的定義域是函數有意義的前提條件，研究函數的圖象和性質時，注意優先考慮函數的定義域，防止變形的不等價，就可以有效地避免解題錯誤，提高解題的準確性。在函數的學習中，對此必須引起足夠重視。電子郵箱zyl25180