1、第二章第二章 自適應控制自適應控制自適應控制概述自適應控制概述 基本概念、基本概念、 解決的問題、解決的問題、 分類及發展分類及發展模型參考自適應控制模型參考自適應控制 系統描述系統描述 可調系統的結構可調系統的結構 自適應控制律自適應控制律自校正控制自校正控制 最小方差自校正控制器最小方差自校正控制器 極點配置自校正控制器極點配置自校正控制器 自校正自校正PIDPID控制控制2.1 2.1 自適應控制概述自適應控制概述 2.1.1 2.1.1 自適應控制系統的功能及特點自適應控制系統的功能及特點研究對象：具有不確定性的系統研究對象：具有不確定性的系統 被控對象及其環境的數學模型不是完全確定的

2、被控對象及其環境的數學模型不是完全確定的 自適應控制器自適應控制器：通過：通過及時修正自己的特性以適應對象和擾動的動態特性變化及時修正自己的特性以適應對象和擾動的動態特性變化，使整個控制系統始終獲得滿意的性能。使整個控制系統始終獲得滿意的性能。 生物能夠通過自覺調整自身參數改變自己的習性，以適應新的環境特性生物能夠通過自覺調整自身參數改變自己的習性，以適應新的環境特性 自適應控制的特點：自適應控制的特點： 研究具有不確定性的對象或難以確知的對象研究具有不確定性的對象或難以確知的對象 能消除系統結構擾動引起的系統誤差能消除系統結構擾動引起的系統誤差 對數學模型的依賴很小，僅需要較少的驗前知識對數

3、學模型的依賴很小，僅需要較少的驗前知識 自適應控制是較為復雜的反饋控制自適應控制是較為復雜的反饋控制 2.1 2.1 自適應控制概述自適應控制概述 2.1.2 2.1.2 自適應控制系統的分類自適應控制系統的分類（1 1）前饋自適應控制）前饋自適應控制前饋自適應控制結構圖前饋自適應控制結構圖 與前饋反饋復合控制系統的結構比較類似與前饋反饋復合控制系統的結構比較類似 不同在于：增加了自適應機構，并且控制器可調不同在于：增加了自適應機構，并且控制器可調 借助于借助于過程擾動信號過程擾動信號的測量，通過的測量，通過自適應機構自適應機構來來改變控制器的狀態改變控制器的狀態，從而達到，從而達到改變系統特

4、性的目的。改變系統特性的目的。 當擾動不可測時，當擾動不可測時，前饋自適應控制系統的前饋自適應控制系統的應用就會受到嚴重的限應用就會受到嚴重的限制。制。 2.1 2.1 自適應控制概述自適應控制概述 2.1.2 2.1.2 自適應控制系統的分類自適應控制系統的分類（2 2）反饋自適應控制）反饋自適應控制反饋自適應控制結構圖反饋自適應控制結構圖 根據根據系統內部可測信息系統內部可測信息的變化，來改變控制器的結構或參數，以達到提高控的變化，來改變控制器的結構或參數，以達到提高控制質量的目的制質量的目的. . 除原有的反饋回路之外，反饋自適應控制系統中新增加的自適應機構形成了另除原有的反饋回路之外，

5、反饋自適應控制系統中新增加的自適應機構形成了另一個反饋回路一個反饋回路. . 2.1 2.1 自適應控制概述自適應控制概述 2.1.2 2.1.2 自適應控制系統的分類自適應控制系統的分類（3 3） 模型參考自適應控制模型參考自適應控制（MRAC） 在參考模型始終具有期望的閉環性能的前提下，使系統在運行過程中，力求保持在參考模型始終具有期望的閉環性能的前提下，使系統在運行過程中，力求保持被控過程的響應特性與參考模型的動態性能一致。被控過程的響應特性與參考模型的動態性能一致。 表達了期望的閉環性能表達了期望的閉環性能結構或參數結構或參數 根據系統廣義誤差根據系統廣義誤差 , 按照按照一定的規律改

6、變可調機構的結構或參數。一定的規律改變可調機構的結構或參數。 )(te主要組成：主要組成： 參考模型參考模型 可調機構可調機構 自適應機構自適應機構 模型參考自適應控制系統結構圖模型參考自適應控制系統結構圖（4 4）自校正控制）自校正控制2.1 2.1 自適應控制概述自適應控制概述 2.1.2 2.1.2 自適應控制系統的分類自適應控制系統的分類自校正控制系統結構圖自校正控制系統結構圖自校正控制系統又稱自校正控制系統又稱自優化控制自優化控制或或模型辨識自適應控制模型辨識自適應控制。 通過采集的過程輸入、輸出信息，實現過程模型的在線辨識和參數估計。通過采集的過程輸入、輸出信息，實現過程模型的在線

7、辨識和參數估計。在獲得的過程模型或估計參數的基礎上，按照一定的性能優化準則，計算控在獲得的過程模型或估計參數的基礎上，按照一定的性能優化準則，計算控制參數，使得閉環系統能夠達到最優的控制品質。制參數，使得閉環系統能夠達到最優的控制品質。 2.2 2.2 模型參考自適應控制模型參考自適應控制2.2.1 2.2.1 模型參考自適應控制的數學描述模型參考自適應控制的數學描述模型參考自適應控制系統由模型參考自適應控制系統由參考模型參考模型、可調系統可調系統和和自適應機構自適應機構三部分組成三部分組成. 理想模型理想模型 根據系統廣義誤差根據系統廣義誤差 , 按照按照一定的規律改變可調系統的結構或參數。

8、一定的規律改變可調系統的結構或參數。 )(te 參考模型參考模型主要組成：主要組成： 可調機構可調機構 自適應機構自適應機構 xxemx狀態誤差向量狀態誤差向量 輸出誤差向量輸出誤差向量 yyemy 參考模型與可調系統間的參考模型與可調系統間的一致性程度表達一致性程度表達： 目的目的：保證參考模型和可調系統間：保證參考模型和可調系統間 的性能一致性。的性能一致性。 參考模型的狀態和輸出參考模型的狀態和輸出系統的狀態和輸出系統的狀態和輸出模型參考自適應控制系統結構圖模型參考自適應控制系統結構圖 廣義誤差向量廣義誤差向量 不為不為0 0時，自適應機構按照一定規律改變可調機構的結構或參時，自適應機構

9、按照一定規律改變可調機構的結構或參數或直接改變被控對象的輸入信號，以使得系統的性能指標達到或接近希望的性能數或直接改變被控對象的輸入信號，以使得系統的性能指標達到或接近希望的性能指標。指標。e2.2 2.2 模型參考自適應控制模型參考自適應控制2.2.1 2.2.1 模型參考自適應控制的數學描述模型參考自適應控制的數學描述參數自適應方案：通過更新參數自適應方案：通過更新可調機構的參數可調機構的參數來實現的模型參考自適應控制。來實現的模型參考自適應控制。 信號綜合自適應方案：通過改變施加到信號綜合自適應方案：通過改變施加到系統的輸入端信號系統的輸入端信號來實現的模型參考自適應來實現的模型參考自適

10、應 控制。控制。 模型參考自適應控制系統結構圖模型參考自適應控制系統結構圖2.2.1 2.2.1 模型參考自適應控制的數學描述模型參考自適應控制的數學描述2.2.1.1 2.2.1.1 并聯模型參考自適應系統的數學模型并聯模型參考自適應系統的數學模型并聯模型參考自適應系統可以用并聯模型參考自適應系統可以用狀態方程狀態方程和和輸入輸出方程輸入輸出方程進行描述。進行描述。一、用狀態方程描述的模型參考自適應系統一、用狀態方程描述的模型參考自適應系統 0)0(,mmmmmmxxuBxAx(2.1) 參考模型：參考模型： n維狀態向量維狀態向量m維分段連續的輸入向量維分段連續的輸入向量相應維數常數矩陣相

11、應維數常數矩陣 參考模型為穩定的，并且是完全可控和完全可觀測的。參考模型為穩定的，并且是完全可控和完全可觀測的。 在在可調參數可調參數模型參考自適應系統中，可調系統模型參考自適應系統中，可調系統 000)0(,)0(,)0(),(),(BBAAxxueBxeAxtt(2.2) 相應維數時變矩陣相應維數時變矩陣 n維狀態向量維狀態向量m維分段連續的輸入向量維分段連續的輸入向量xxem為廣義誤差向量為廣義誤差向量 對于對于連續模型連續模型參考自適應控制系統參考自適應控制系統 一、用狀態方程描述的模型參考自適應系統一、用狀態方程描述的模型參考自適應系統 2.2.1.1 2.2.1.1 并聯模型參考自

12、適應系統的數學模型并聯模型參考自適應系統的數學模型對于信號綜合自適應方案的模型參考自適應系統中，系統模型對于信號綜合自適應方案的模型參考自適應系統中，系統模型0)0(,)0(),(0aaatuuxxeuBuAxx(2.3) 根據廣義誤差信號，按照一定的自適應規律產生的根據廣義誤差信號，按照一定的自適應規律產生的 對于對于離散模型離散模型參考自適應控制系統參考自適應控制系統 0)0(),()() 1(mmmmmmkkkxxuBxAx(2.4) 參考模型參考模型 可調系統的參數自適應方案的系統模型可調系統的參數自適應方案的系統模型 000)0(,)0(,)0()(),()(),() 1(BBAAx

13、xueBxeAxkkkkk(2.5) 0)0(,)0(),()()() 1(0aaakkkkuuxxeuBuAxx(2.6) 信號綜合自適應方案的系統模型信號綜合自適應方案的系統模型二、用輸入輸出方程描述的模型參考自適應系統二、用輸入輸出方程描述的模型參考自適應系統2.2.1.1 2.2.1.1 并聯模型參考自適應系統的數學模型并聯模型參考自適應系統的數學模型參考模型參考模型 對于連續系統一般對于連續系統一般采用微分算子的形式采用微分算子的形式表示表示 rpNypDmmm)()(2.7) niimimpapD0)(2.8) miimimpbpN0)(2.9) 標量輸入信號標量輸入信號 標量輸出

14、信號標量輸出信號 參考模型的輸入輸出方程的常系數參考模型的輸入輸出方程的常系數 在在參數自適應方案參數自適應方案中，可調系統的輸入輸出方程中，可調系統的輸入輸出方程 rptNyptDsss),(),(2.10) niisispteaptD0),(),(miisisptebptN0),(),(2.11) (2.12) 時變系數時變系數 由廣義誤差由廣義誤差 通過自適應規律進行自適通過自適應規律進行自適應調整應調整smyye微分算子微分算子 二、用輸入輸出方程描述的模型參考自適應系統二、用輸入輸出方程描述的模型參考自適應系統2.2.1.1 2.2.1.1 并聯模型參考自適應系統的數學模型并聯模型參

15、考自適應系統的數學模型在在信號綜合自適應方案信號綜合自適應方案中，可調系統的輸入輸出方程為中，可調系統的輸入輸出方程為 ),()()(teurpNypDsss(2.13) niisispapD0)(miisispbpN0)(2.14) (2.15) 對于對于離散模型離散模型參考自適應控制系統輸入輸出方程可用下述幾式描述參考自適應控制系統輸入輸出方程可用下述幾式描述 參考模型參考模型 ) 1()()()(01kikrbikyakymTmmiminimmim(2.16) ,1021mnmmmnmmTmbbbaaa)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykmmTm(2.17) (2.

16、18) 參數向量參數向量 信號向量信號向量 在參數自適應方案中，可調系統模型為在參數自適應方案中，可調系統模型為) 1()(),()(),()(01kikrkebikykeakysTsmisinissis (2.19) ),(,),(),(),(,),(),(1021kebkebkebkeakeakeasnsssnssTs)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykssTs (2.20) (2.21) 可調參數向量可調參數向量 信號向量信號向量 模型參考自適應系統模型參考自適應系統狀態方程狀態方程描述對比描述對比連續連續模型參考自適應系統模型參考自適應系統0)0(,mmmmmmx

17、xuBxAx(2.1) 參考模型：參考模型： 000)0(,)0(,)0(),(),(BBAAxxueBxeAxtt(2.2) 在可調在可調參數參數模型參考自適應系統中，可調系統模型參考自適應系統中，可調系統 對于對于信號信號綜合自適應方案的模型參考自適應系統中，系統模型綜合自適應方案的模型參考自適應系統中，系統模型0)0(,)0(),(0aaatuuxxeuBuAxx(2.3) 離散離散模型參考自適應系統模型參考自適應系統0)0(),()() 1(mmmmmmkkkxxuBxAx(2.4) 參考模型參考模型 可調系統的可調系統的參數參數自適應方案的系統模型自適應方案的系統模型 000)0(,

18、)0(,)0()(),()(),() 1(BBAAxxueBxeAxkkkkk(2.5) 0)0(,)0(),()()() 1(0aaakkkkuuxxeuBuAxx(2.6) 信號信號綜合自適應方案的系統模型綜合自適應方案的系統模型模型參考自適應系統模型參考自適應系統輸入輸出方程輸入輸出方程描述對比描述對比連續連續模型參考自適應系統模型參考自適應系統參考模型：參考模型： 在可調參數模型參考自適應系統中，可調系統在可調參數模型參考自適應系統中，可調系統 對于信號綜合自適應方案的模型參考自適應系統中，系統模型對于信號綜合自適應方案的模型參考自適應系統中，系統模型離散離散模型參考自適應系統模型參考

19、自適應系統rpNypDmmm)()(2.7) niimimpapD0)(miimimpbpN0)(rptNyptDsss),(),(2.10) niisispteaptD0),(),(miisisptebptN0),(),(),()()(teurpNypDsss(2.13) niisispapD0)(miisispbpN0)(參考模型參考模型 ) 1()()()(01kikrbikyakymTmmiminimmim(2.16) ,1021mnmmmnmmTmbbbaaa)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykmmTm在參數自適應方案中，可調系統模型為在參數自適應方案中，可調系

20、統模型為),(,),(),(),(,),(),(1021kebkebkebkeakeakeasnsssnssTs)(,),(),(,),1() 1(mkrkrnkykykssTs) 1()(),()(),()(01kikrkebikykeakysTsmisinissis (2.19) 2.2.1.2 2.2.1.2 模型參考自適應系統的設計要求模型參考自適應系統的設計要求2.2.1 2.2.1 模型參考自適應控制的數學描述模型參考自適應控制的數學描述 模型參考自適應控制系統的設計目標是模型參考自適應控制系統的設計目標是：對給定的參考模型和可調系統，：對給定的參考模型和可調系統，確確定一個特定的

21、自適應規律定一個特定的自適應規律，以使廣義誤差向量，以使廣義誤差向量 或廣義輸出誤差或廣義輸出誤差 按照這一特定按照這一特定的自適應規律來的自適應規律來調整參數矩陣調整參數矩陣 和和 ，或，或可調參數可調參數 和和 ，或或輔助信號輔助信號 和和 , ,在系統穩定情況下，這種調節作用使得廣義誤差向量在系統穩定情況下，這種調節作用使得廣義誤差向量 ( (廣義輸出誤差廣義輸出誤差) )逐漸趨向零值。逐漸趨向零值。 ),(teA),(teB),( teasi),( tebsie),(taeu),( teue狀態方程描述的模型參考自適應規律狀態方程描述的模型參考自適應規律 )0(),(),(AeFeAt

22、t(2.22) )0(),(),(aattueueu(2.24) )0(),(),(BeGeBtt(2.23) (2.25) ),(),(),(201tvdtvttFFeF(2.26) ),(),(),(201tvdtvttGGeG(2.27) ),(),(),(201tvdtvttuueut0其中其中 ，且，且DevD 式中，式中， ，矩陣，矩陣 稱為稱為線性補償器線性補償器，它的作用是為了，它的作用是為了滿足系統穩定滿足系統穩定性所需附加的補償條件性所需附加的補償條件。 2.2.1.3 2.2.1.3 模型參考自適應系統的等價誤差系統模型參考自適應系統的等價誤差系統2.2.1 2.2.1

23、模型參考自適應控制的數學描述模型參考自適應控制的數學描述等價誤差系統：等價誤差系統：用誤差向量 作為狀態變量的來表示模型參考自適應系統. e在以狀態方程描述的參數自適應方案中，等價系統的狀態向量是 )()()(tttmxxe000)0(,)0(,)0(),(),(BBAAxxueBxeAxtt(2.2) 0)0(,mmmmmmxxuBxAx(2.1) 參考模型： 可調系統模型： 狀態方程描述的參數自適應方案 )(),()(),()()()()(ttttttttmmmmueBBxeAAeAxxe等價誤差系統：等價誤差系統：非線性時變反饋系統非線性時變反饋系統 線性部分非線性部分 模型參考自適應控

24、制系統的設計目標是模型參考自適應控制系統的設計目標是使得廣義誤差向量使得廣義誤差向量 ( (廣義輸出誤差廣義輸出誤差) )逐漸逐漸趨向零值。趨向零值。2.2.1.3 2.2.1.3 模型參考自適應系統的等價誤差系統模型參考自適應系統的等價誤差系統2.2.1 2.2.1 模型參考自適應控制的數學描述模型參考自適應控制的數學描述)(),()(),()()()()(ttttttttmmmmueBBxeAAeAxxe同理：離散系統的等價誤差方程為)(),()(),()() 1() 1() 1(kkkkkkkkmmmmueBBxeAAeAxxe模型參考自適應系統的等價誤差系統示意圖模型參考自適應系統的等

25、價誤差系統示意圖e 2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法2.2.2.1 2.2.2.1 穩定性的一般定義穩定性的一般定義 一個控制系統的穩定性，通常是指一個控制系統的穩定性，通常是指在外部擾動作用停止后，系統恢復初始平衡在外部擾動作用停止后，系統恢復初始平衡狀態的性能。狀態的性能。0),(texf00)(),(xxxfxtt(2.29) 某非線性系統的狀態方程 若存在一狀態向量 ,滿足下式exex則 就是系統的一個平衡狀態平衡狀態。 在外力作用下，系統是依然處在這個平衡狀態，還是離平衡狀態越來越遠，就是所要討論的平衡狀態的穩定

26、性問題平衡狀態的穩定性問題。 如果系統受到有界擾動的作用，無論初始偏差多大，其過渡過程都將逐漸衰減逐漸衰減，并能以一定的準確度恢復到平衡狀態，則稱該系統具有穩定性系統具有穩定性，否則系統不穩定。 如果受到擾動作用后，系統在平衡狀態附近平衡狀態附近發生微小偏離，且隨后系統的所有運動狀態都處于平衡狀態附近的小范圍內，就稱為系統的平衡狀態是穩定平衡狀態是穩定的。2.2.2.2 2.2.2.2 Lyapunov意義下的穩定性概念意義下的穩定性概念2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法00)(),(xxxfxtt(2.29) 非線性系統的

27、狀態方程非線性系統的狀態方程 二維情況下系統穩定性的幾何解釋二維情況下系統穩定性的幾何解釋 平衡狀態是穩定的平衡狀態是穩定的: : 平衡狀態是不穩定的平衡狀態是不穩定的: : 平衡狀態是一致穩定的平衡狀態是一致穩定的: : (a) (a) 平衡狀態穩定平衡狀態穩定 (a) (a) 平衡狀態不穩定平衡狀態不穩定 如式(2.29)描述的動態系統，若對任意給定的實數 ，存在另一個正數 ，使得當 的系統響應 在所有時間內都滿足 ,則系統的平衡狀態是穩定的。)()()0(exx)(txetxx )( 如果對于平衡點 和任意給定的鄰域 ，找不到滿足穩定條件的相對鄰域 ，則系統在該平衡點是不穩定的，也稱系統

28、是不穩定的。 ex)( 如果所取的鄰域 和 與初始時刻 無關，即對于任意的初始時刻穩定條件不變，則稱該平衡狀態是一致穩定的。 )(0t二維情況下系統漸近穩定性的幾何解釋二維情況下系統漸近穩定性的幾何解釋 平衡狀態是漸進穩定的：平衡狀態是漸進穩定的： 2.2.2.2 2.2.2.2 Lyapunov意義下的穩定性概念意義下的穩定性概念2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法 式(2.29)描述的動態系統，如果系統的平衡狀態 及初始點 的解 ，滿足當 時，有 ，則稱該平衡狀態 是漸進穩定漸進穩定的。 ex0 x)(tx)()0(exx

29、0)(limettxxex平衡狀態是一致漸進穩定的：平衡狀態是一致漸進穩定的： 如果平衡狀態 是漸進穩定的，且系統穩定性與初始時刻 無關，則稱系統是一致漸近穩定一致漸近穩定的。 ex0t平衡狀態是全局漸進穩定的平衡狀態是全局漸進穩定的: : 如式(2.29)描述的動態系統，如果系統的平衡狀態 ，對狀態空間中所有的初始狀態 ,都滿足 ,則稱平衡狀態是全局漸進穩定的平衡狀態是全局漸進穩定的。ex)0(x0)(limettxx00)(),(xxxfxtt(2.29) 2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov穩定性定理穩定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩

30、定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法如果以 代表能量，則物體從高能位向低能位的運動過程特征可以表示為： E00dtdEELyapunov虛構了一個以狀態變量描述的能量函數狀態變量描述的能量函數 ，只要 )(xV0000)(xxx當當V0)(xV且不需要求解系統運動方程就可以判斷系統的穩定性。不需要求解系統運動方程就可以判斷系統的穩定性。 稱 函數為LyapunovLyapunov函數函數。)(xV0000)(xxxx當且當nRV如果則稱 函數是正定正定的。 )(xV000)(xxx當當nRV如果則稱 函數是半正定半正定的。 )(xV0000)(xxxx當且當nRV如果則稱 函數是負定負定的。

31、 )(xV000)(xxx當當nRV則稱 函數是半負定半負定的。 )(xV如果定義：定義：例例：當 為二維狀態向量時，判斷下列函數的特性x2221)(xxVx221)()(xxVx2221)(xxVx221)()(xxVx2211)(xxxVx是正定的；是半正定的；是負定的；是半負定的；是不定的；2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov穩定性定理穩定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法PxxxTV)(對于線性系統，通常選Lyapunov函數只要 是正定的，Lyapunov函數 就是正定的。 P)(xV若對稱矩陣

32、，對任何非零向量 都滿足 ，則矩陣 就是正定矩陣。Ax0AxxTA補充概念：正定矩陣補充概念：正定矩陣判斷正定矩陣的方法判斷正定矩陣的方法1.1. 求出求出A A 的所有的所有特征值特征值。若。若A A 的特征值均為正數，則的特征值均為正數，則A A 是正定的；若是正定的；若A A 的特的特 征值均為負數，則征值均為負數，則A A 為負定的。為負定的。2. 2. 計算計算A A 的的各階主子式各階主子式。若。若A A 的各階主子式均大于零，則的各階主子式均大于零，則A A 是正定的；若是正定的；若A A 的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為

33、正，則A A 為負定的。為負定的。定理定理5.1 5.1 （連續時間系統的（連續時間系統的LyapunovLyapunov穩定性定理穩定性定理） 2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov穩定性定理穩定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法對于系統ttft, 0), 0(),(xfx 如果(1) 存在正定函數(2) 是半負定函數 則稱平衡狀態 是穩定的穩定的。 ),(tV x),(),(tVdtdtVxx0ex 如果上述條件(2)改為： 負定函數，或者對于系統的非零解，有 不恒為零，則稱平衡狀態 是漸近穩定的漸近穩定

34、的。 ),(tV x),(tV x0ex 如果 是漸近穩定的，且當 時，有 ，則 是全全局漸近穩定的局漸近穩定的。 0exx),(tV x0expage 262.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov穩定性定理穩定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法定理定理5.2 5.2 線性定常系統的線性定常系統的LyapunovLyapunov穩定性定理穩定性定理對于線性定常系統 xAx(2.30) (2.31) T A PPAQ0exPQ 它的平衡狀態它的平衡狀態 漸近穩定的充分必要條件漸近穩定的充分必要條件是對任意給定的正

35、定矩陣 ，存在一個正定矩陣 ，它是矩陣方程 ( )TVxx Px的唯一解。并且 就是系統(2.30)的Lyapunov函數。定理定理5.25.2證明證明 ( )TVxx Px取Lyapunov函數 ，由于 是正定矩陣，故 是正定函數。又 P( )V x( )()()TTTTTTTTTdVdt xx Pxx Pxx Pxx A Pxx PAxxA PPA xx Qx0)(xV即 是漸近穩定的。0exQ線性定常系統線性定常系統Lyapunov方程方程為正定矩陣2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov穩定性定理穩定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理

36、論的設計方法穩定性理論的設計方法定理定理5.3 5.3 （離散時間系統的（離散時間系統的LyapunovLyapunov穩定性定理）穩定性定理） 對于離散系統 kkfkkk, 0), 0(),() 1(xfx),(kV x0, 0),() 1),1(),(xxxxkkkVkkVkV0ex如果(1) 存在正定函數(2) 則稱平衡狀態 是漸近穩定的。 如果 是漸近穩定的，且當 時，有 ，則 是全局漸全局漸近穩定的近穩定的。 0exx),(kV x0ex線性離散系統線性離散系統Lyapunov方程方程定理定理5.4 5.4 線性定常離散系統的線性定常離散系統的LyapunovLyapunov穩定性定

37、理穩定性定理對于線性定常系統(2.32) (2.33) 0exPQ 它的平衡狀態它的平衡狀態 漸近穩定的充分必要條件漸近穩定的充分必要條件是對任意給定的正定矩陣 ，存在一個正定矩陣 ，它是矩陣方程 的唯一解。并且 就是系統(2.32)的Lyapunov函數。(1)( )kkxAx( )( )( )TVkkxxPxQPPAAT例例 應用應用LyapunovLyapunov穩定性定理分析一下系統的穩定性穩定性定理分析一下系統的穩定性 2.2.2.3 2.2.2.3 Lyapunov穩定性定理穩定性定理2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設

38、計方法11220111xxxx系統唯一的平衡狀態是 .0 x21 122122122( )2222()2Vx xx xx xxxxx x取： 2212( )Vxxx是正定的，則是半負定的。可見，平衡狀態 是穩定的。0 x0)(xV0tt 假設 ，那么對于 ，有 .02x當 時， ，即 ，則 。 0tt 0212xxx 02x 01x因此，只有在狀態空間的原點， . 0)(xV( )V x 對于狀態空間中除原點以外的其它任何點， 都不恒為零。所以該平衡狀態是漸進穩定的。x)(xV因此，原點這個平衡狀態是全局漸近穩定全局漸近穩定的。 那么該平衡狀態是不是那么該平衡狀態是不是漸進穩定漸進穩定的呢？是

39、不是的呢？是不是全局漸進穩定全局漸進穩定的呢？的呢？2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法2.2.2.4 2.2.2.4 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法 模型參考自適應控制系統模型參考自適應控制系統 uBxAxmmmm(2.34) 參考模型的狀態方程為 可調系統的狀態方程為 uBxAx)()(ttssss(2.35) sttxeFueGu),(),(2.36) ueGBxeFBAx),()(),()()(tttttsssss(2.37) 設系統廣義誤差向量為 smxxe(2.38

40、) 得廣義誤差狀態方程為 ueGBBxeFBAAeAe),()(),()()()()(tttttttsmsssmm(2.39) 2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法2.2.2.4 2.2.2.4 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法 控制系統設計的任務：控制系統設計的任務：就是采用Lyapunov穩定性理論 求出調整 、 的自GF適應律，以達到狀態的收斂性 0)(limttemstmssttttttBeGBAeFBA),()(lim),()()(lim和（或）參數收斂性 msmsst

41、ttBGBAFBA*)()()(假設 ， 時，參考模型和可調系統達到完全匹配，即 *),(FeFt*),(GeGt代入到式(2.39)所示的廣義誤差狀態方程中，并消去時變系數矩陣有ueGBBxeFBAAeAe),()(),()()()()(tttttttsmsssmm(2.39) ueGGBxeFGBeAe),(),()()(1*1*ttttmsmm(2.40a) ),(),(),(),(*tttteGGeGeFFeF(2.40b) 2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法構造二次型正定函數作為Lyapunov函數 )(21121

42、1GGFFPeeVTTTtrP1112其中， ， ， 都是正定矩陣，上式兩邊對時間求導，得)()()(21)(21)(2112111*1*121211111211GGFFuGGPBexFGPBeePAPAeGGGGFFFFePePeeGGFFPeeVTTmTsmTmTmTTTTTTTTTTtrtrtrtr)(1*1*FGPBexxFGPBemTssmTtr)(1*1*GGPBueuGGPBemTmTtr因為則)()()(211*121*11GGPBueGGFGPBexFFePAPAeVmTTmTsTmTmTtrtr(2.41) 若選擇 )()(),()()(),(*2*1ttttttTTmTT

43、sTmTuPeBGeGxPeBGeF(2.42) 正定ueGGBxeFGBeAe),(),()()(1*1*ttttmsmm為零為零為零為零2.2.2 2.2.2 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法)()(),()()(),(*2*1ttttttTTmTTsTmTuPeBGeGxPeBGeF(2.42) 2.2.2.4 2.2.2.4 采用采用LyapunovLyapunov穩定性理論的設計方法穩定性理論的設計方法 可得參數自適應的調節規律 )()(),()()(),(*2*1ttttttTTmTTsTmTuPeBGeGxPeBGeF),(),()

44、,(),(*tttteGGeGeFFeF(2.40b) 即)0()()(),()0()()(),(0*20*1GuPeBGeGFxPeBGeFtTTmTtTsTmTdtdt(2.43) 由于 為負定，因此按式(2.43)設計的自適應律，對于任意分段連續的輸入向量 能夠使模型參考自適應系統是漸近穩定的。 VuePAPAeV)(21mTmTQQPAPATmm選擇正定矩陣 ，使得 成立。因此，mA為穩定矩陣， V為負定。 2.3 2.3 自校正控制自校正控制2.3.1 2.3.1 概述概述 自校正控制系統由常規控制系統常規控制系統和自適應機構自適應機構組成。 自校正控制系統結構圖自校正控制系統結構圖

45、常常規規控控制制系系統統自自適適應應機機構構參數參數/ /狀態估計器：狀態估計器：根據系統輸入輸出數據在線辨識被控系統的結構或參數。 控制器參數設計計算：控制器參數設計計算：計算出控制器的參數，然后調整控制回路中可調控制器 的參數 。 自校正控制系統自校正控制系統目的：目的：根據一定的自適應規律，調調整可調控制器參數整可調控制器參數，使其適應被控系統不確定性被控系統不確定性, ,且使其運行良好。2.3 2.3 自校正控制自校正控制模型參考自適應控制系統模型參考自適應控制系統 自校正控制系統結構圖自校正控制系統結構圖2.3.1 2.3.1 概述概述 模型參考自適應控制和自校正控制系統結構的區別模

46、型參考自適應控制和自校正控制系統結構的區別模型參考自適應控制系統：模型參考自適應控制系統： 常規控制系統常規控制系統 自適應機構自適應機構 參考模型參考模型自校正控制系統：自校正控制系統： 常規控制系統常規控制系統 自適應機構自適應機構 2.3 2.3 自校正控制自校正控制2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小二乘方法基本最小二乘方法 被控系統模型為一離散線性差分方程 )()()()()(11kkuzBkyzA(2.44) 時刻測量到的系統輸出系統輸出和輸入輸入 k不可測不可測隨機干擾序列 nnzazazA111

47、1)(nnzbzbbzB1101)(2.45a) (2.45b) )(k為獨立的隨機噪聲，要求其滿足 NkNkN12)(1lim(2.46c) jijijiE0)()(2(2.46b) 0)(kE(2.46a) 隨機噪聲的均值為零,彼此相互獨立，方差為有限正值,噪聲的采樣均方值有界。 )()()()()(11kkuzBkyzA(2.44) nnzazazA1111)(nnzbzbbzB1101)(2.45a) (2.45b) 2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小二乘方法基本最小二乘方法 Tnnbbbaaa,10

48、21Tnkukunkykyk)(,),(),(,),1()(式(2.44)改寫為向量向量形式 記： )()()(kkkyT(2.47) 對輸入輸出觀察了 次，則得到輸入輸出序列為： nN nNkkyku , 2 , 1)(),()()()()() 1()()2()2()2()2() 1()2() 1() 1 () 1() 1 ()() 1(010101NnNubNnubNyaNnyaNnynubnubyanyanynubnubyanyanynnnnnn(2.48) 22 nN2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小

49、二乘方法基本最小二乘方法 )()()()() 1()()2()2()2()2() 1()2() 1() 1 () 1() 1 ()() 1(010101NnNubNnubNyaNnyaNnynubnubyanyanynubnubyanyanynnnnnn(2.48) )()()() 1()2()2()2() 1() 1 () 1() 1 ()()(NuNnuNyNnyunuynyunuynyNT1021nnbbbaaa )()2() 1()(NnynynyNy)()2() 1()(NnnnN矩陣向量形式: )()()()(NNNNy (2.49) y (2.50) 最小二乘估計方程最小二乘估計

50、方程 最小二乘參數估計原理就是從一組參數向量 中找到的估計量 ，使得系統模型誤差盡可能地小,即式(2.51)所示的性能指標最小。 NnnkTkkyJ12)()(2.51) 2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.1 2.3.2.1 基本最小二乘方法基本最小二乘方法 )()()()(NNNNy (2.49) NnnkTkkyJ12)()(2.51) yTT )()(yyTJ(2.52) 0)(2)()(yyyTTJ(2.53) 則yTT1)(2.54) ：未知參數：未知參數 的最小二乘估計。的最小二乘估計。 隨著測量得到的過程數據信息的增多過程

51、數據信息的增多，在利用基本最小二乘方法來完成每次的參數估計時，計算量將不斷增大計算量將不斷增大。 如何解決上述問題？如何解決上述問題？2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 遞推最小二乘方法遞推最小二乘方法 ) 1()() 1()() 1 () 1(NyNNyNyyNyy) 1()() 1(NNNT1, 2 , 1),()(Nkknyky)1(,),1(),1(,),() 1() 1(NuNnuNyNnyNnNTT) 1(),1(NnyNnu增加一個新的觀測數據 ,則 )()()() 1()2()2()2() 1() 1

52、() 1() 1 ()()(NuNnuNyNnyunuynyunuynyN )()2() 1()(NnynynyNy)()()()(NNNNy (2.49) 系統未知參數的最小二乘辨識公式 yTT1)(2.54) (2.55) ) 1() 1()1() 1() 1(1NNNNNTTy(2.56) ) 1()() 1()() 1()() 1()() 1(1NyNNNNNNNNTTTy ) 1() 1()()() 1() 1()()(1NyNNNNNNNTTTy) 1()() 1()() 1 () 1(NyNNyNyyNyy) 1()() 1(NNNT(2.55) ) 1() 1()1() 1()

53、 1(1NNNNNTTy(2.56) 2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 遞推最小二乘方法遞推最小二乘方法 矩陣求逆定理矩陣求逆定理 1111111DABDACBAABCDA設 、 和 均為非奇異矩陣，則 ACBCD(2.58) 令1)()()(NNNTP(2.59) ) 1(NP(2.57) 2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 遞推最小二乘方法遞推最小二乘方法 應用求逆矩陣定理，則 1) 1() 1()()() 1(NNNNNTTP11) 1

54、() 1()(NNNTP)(1N PA) 1(NBIC ) 1(NTD令 矩陣求逆定理矩陣求逆定理 1111111DABDACBAABCDA(2.58) )() 1() 1()() 1(1) 1()()() 1(1NNNNNNNNNTTPPPPP(2.61) ) 1() 1()()() 1() 1()()() 1(1NyNNNNNNNNTTTy) 1(NP(2.57) )() 1() 1() 1()() 1(1) 1()()() 1(1NNNyNNNNNNNTTPP1) 1()() 1(1) 1()() 1(NNNNNNTPPK令：令：)() 1() 1() 1()() 1(NNNyNNNTK

55、(2.62) 則遞推最小二乘算法公式(2.61)(2.63)可以表示為 2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法2.3.2.2 2.3.2.2 遞推最小二乘方法遞推最小二乘方法 )() 1() 1()() 1(1) 1()()() 1(1NNNNNNNNNTTPPPPP(2.61)() 1() 1() 1()() 1(NNNyNNNTK(2.62)1) 1()() 1(1) 1()() 1(NNNNNNTPPK(2.63) 1()()()()() 1()(1/)() 1()()1()()()() 1()(kkkkkkkkkkkkkykkkTTTPKIPP

56、PKK(2.64) )(kk為 時刻系統未知參數的估計值。 Tnkukunkykyk)(,),(),(,),1()(IP2)0(通常：0)0(較大的數值 2.3.2.3 2.3.2.3 漸消記憶最小二乘方法漸消記憶最小二乘方法2.3.2 2.3.2 動態過程參數估計的最小二乘法動態過程參數估計的最小二乘法 隨著觀測數據和遞推次數的增加，新的采樣數據對參數估計值的修正作用會越來越微弱，最后甚至不再起到修正作用，即會出現所謂的“數據飽和數據飽和”現象。 漸消記憶法漸消記憶法:降低或限制過去數據的影響，提高新采集數據的修正作用. 基本思想是對過去數據乘上一個加權因子過去數據乘上一個加權因子 ，按指數

57、加權來人為地降低老數據的作用。) 10() 1()() 1(NNNT) 1()() 1(NyNNyy) 1()()(1)()() 1()(/)() 1()()1()()()() 1()(kkkkkkkkkkkkkykkkTTTPKIPPPKK(2.66) 漸消記憶遞推最小二乘算法漸消記憶遞推最小二乘算法如下： 2為遺忘因子 )1 () 1()(00kk95. 0)0(99. 002.3.3 2.3.3 最小方差自校正控制最小方差自校正控制 最小方差自校正調節器是由瑞典學者Astrom和Wittenmark在1973年提出的。它是最早廣泛應用于實際的自校正控制算法。 2.3.3.1 2.3.3.

58、1 最小方差預報和最小方差控制器設計最小方差預報和最小方差控制器設計 設被控系統的模型被控系統的模型為)()()()()()(111kzCkuzBzkyzAd(2.67) :分別為系統的輸出、輸入和噪聲。)(ky)(ku)(k1z: :單位后移算子。單位后移算子。 aannzazazA1111)(2.68a) bbnnzbzbbzB1101)(2.68b) ccnnzczczC1111)(2.68c) )(k為獨立的隨機噪聲，要求其滿足 0)(kE(2.69a) jijijiE0)()(2(2.69a) NkNkN12)(1lim(2.69a) )(1zC假定 為穩定多項式. k時刻的控制作用

59、u(k),可使k+d時刻的系統輸出系統輸出y(k+d)方差最小方差最小，因此將這種控制方法稱為最小方差控制。 如果能找到 的最小方差預報最小方差預報 ，那么只要令 ，就可求出最優控制律 。 )(dky)(*kdky)()(*dkykdky)(ku2.3.3.1 2.3.3.1 最小方差預報和最小方差控制器設計最小方差預報和最小方差控制器設計 2.3.3 2.3.3 最小方差自校正控制最小方差自校正控制引入最小方差控制器性能指標 )()(2*dkydkyEJ(2.70) 為 時刻的理想輸出理想輸出(期望輸出期望輸出)，表示為 )(*dkydk )()()(1*kwzRdky(2.71) 加權多項

60、式 參考輸入（設定值） 的最小方差預報最小方差預報 應該滿足：應該滿足：)(dky)(*kdky預報誤差預報誤差 的均方和最小的均方和最小( (方差最小方差最小) )； )()()(*kdkydkydke具有可實現性。具有可實現性。引入Diophantine方程)()()()(1111zGzzFzAzCd(2.72) ffnnzfzfzF1111)(ggnnzgzggzG1101)(, 1max1dnnndncagf求取被控系統的模型被控系統的模型)()()()()()(111kzCkuzBzkyzAd(2.67) 2.3.3.1 2.3.3.1 最小方差預報和最小方差控制器設計最小方差預報和