1、運用均值定理求最值的：幾點注意和常用方法與技巧著名的平均值不等式僅當時等號成立”是一個應用廣泛的不等式，許多外形與它截然相異的函數式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且運用均值定理求最值是歷年來高考的熱點內容。因此必須掌握用重要不等式求函數的最值。一、重視運用過程中的三個條件：“正數、取等、定值”。（1） 注意“正數”。例1、求函數的值域 。誤解：（僅當時取等號），所以值域為。這里錯誤在于使用均值定理時忽略了條件：正確解法：；所以函數的值域是。（2） 注意“取等”例2、設，求函數的最小值。誤解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。這里的錯誤是沒有考慮等號成立的條件。顯然要，這樣的不存在，故導致錯誤

2、。此題用均值定理，需要拆項，同時要等號成立，需要配一個系數，正確解法：。所以。例3、誤解：所以的最大值為。這里（1）取等號的條件是僅當；由條件知這是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。正確解法：僅當時取等，所以。如取（3）注意“定值”例4、已知。誤解：，。以上過程只能說明當。但沒有任何理由說明這種似是而非的錯誤解法，關鍵在于運用重要不等式放縮后的式子不是定值，致使得不出正確的結果。 正確解法：，所以僅當。二、常用處理方法和技巧（1） 拆項例5、求函數的最小值。解：，（目標求和的最值，所以湊積為定值，因此拆為相同兩項，同時使得含變量的因子的次數和為零）所以僅當。（2） 裂項例6、設，求函數的最

3、小值。解先盡可能的讓分子變量項和分母相同（常用于分子所含變量因子的次數比分母的含變量因子的次數大或相等時），然后裂項轉化為求和的最值，進而湊積為定值。即使得含變量的因子的次數和為零，同時取到等號所以僅當。（3） 添項例7、求函數的最小值。解（求和的最值，盡可湊積為定值，因此添加6，再減法6，即使得含變量的因子的次數和為零，同時取到等號）。所以當。例8、若.的最小值。解： 所以求變量出現在分子，已知條件變量在分母，為此添上1（即乘1即乘），變為求和的最值，因此湊積為定值，即使得含變量的因子的次數和為零，同時取到等號。所以僅當時的最小值為16。4、放入根號內例9、求函數的最大值。解（僅當時取等號）

4、（把變量都放在同一條件下既根號里，求積的最值，湊和為定值，因此配變量次數相同且系數和為零，且取到等號）因此僅當。例10、已知求函數的最大值。解：（求積的最值，湊和為定值，因此首先配變量次數相同,故把變量放到根號內使次數升高，再配次數相同和系數和為零，且取到等號）因此僅當5、分之變量常數化例、11設求函數的最大值。解：由題而（分子變量因子次數比分母的大且變量因子不為零，可同時除以分子所含變量因子化為前面形式解），所以僅當。6、取倒數例12、已知，求的最小值。解：（已知變量出現在分母，所求為變量積且出現在分子，故取倒數再如前面一樣求解）因此僅當練習：做學生用書的怎樣最值的相應的例題和練習題，簡略答

5、案為：例1、（1）用橢圓的參數方程可把面積表示為角的函數即，（2）、打開絕對值要對變量的取值分類：，綜上：例2、（1）用圖形或添加輔助角或用萬能公式進而可解得。（3） 由題，然后兩邊平方再用判別式可得解為。例3、（1）。（2）這里均值定理取不到，故而用單調性求解得。測式（1）1、 B用二次函數性質可解得 。2、C最大利潤 。3、 元后平方即可得解 。4、用二次函數性質求解。5、 面積最大僅當半徑最大，6、（1），（2）用單調性得。7、；例4、（1）因為，僅當時取等號。因為所以，所以。（2）設直線方程然后用弦長公式及點到直線的距離公式可得 例5、（1）找A的對稱點即可得交點（2，2），（2）用橢圓的第二定義得，過A作AN垂直L于N，即可得最小值為5。例6、由題，令所以。例7、利用橢圓的參數方程，并利用平面幾何知識知只需求的最