1、 10.3二項式定理【考綱要求】1、能用計數原理證明二項式定理.2、會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.【基礎知識】1、二項式定理：二項式的展開式有項，而不是項。2、二項式通項公式： （） （1）它表示的是二項式的展開式的第項，而不是第項（2）其中叫二項式展開式第項的二項式系數，而二項式展開式第項的系數是字母冪前的常數。（3）注意3、二項式展開式的二項式系數的性質（1）對稱性：在二項展開式中，與首末兩項“等距離”的兩項的二項式系數相等。即=（2）增減性和最大值：在二項式的展開式中，二項式系數先增后減，且在中間取得最大值，如果二項式的冪指數是偶數，中間一項的二項式系數最大；如果二項式的

2、冪指數是奇數，中間兩項的二項式系數相等且最大。（3）所有二項式系數的和等于，即奇數項的二項式系數和與偶數項的二項式系數和相等，即4.二項展開式的系數的性質：對于，5、證明組合恒等式常用賦值法?！纠}精講】例1 若求（）+（）+（）解：對于式子：令x=0，便得到：=1令x=1，得到=1又原式：（）+（）+（）=原式：（）+（）+（）=2004例2. 已知二項式，（nN）的展開式中第5項的系數與第3項的系數的比是10：1，（1）求展開式中各項的系數和（2）求展開式中系數最大的項以及二項式系數最大的項解：（1）第5項的系數與第3項的系數的比是10：1，解得n=8令x=1得到展開式中各項的系數和為(1

3、-2)=1(2) 展開式中第r項, 第r+1項,第r+2項的系數絕對值分別為,若第r+1項的系數絕對值最大,則必須滿足： 并且 ，解得5r6；所以系數最大的項為T=1792；二項式系數最大的項為T=1120 10.3二項式定理強化訓練【基礎精練】1在二項式(x2)5的展開式中，含x4的項的系數是 ()A10B10C5 D52(2009·北京高考)若(1)5ab(a，b為有理數)，則ab ()A45 B55 C70 D803在( )n的展開式中，所有奇數項的系數之和為1 024，則中間項系數是()A330 B462 C682 D7924如果n的展開式中含有非零常數項，則正整數n的最小值

4、為 ()A10 B6 C5 D3 5在5的展開式中，系數大于1的項共有 ()A3項 B4項 C5項 D6項6二項式的展開式中，系數最大的項是 ()A第2n1項 B第2n2項 C第2n項 D第2n1項和第2n2項7若(x2)n展開式的各項系數之和為32，則其展開式中的常數項是_8（ x)5的展開式中x2的系數是_；其展開式中各項系數之和為_(用數字作答)9若9的展開式的第7項為，則x_.10已知()n的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列(1)證明：展開式中沒有常數項；(2)求展開式中所有有理項11設(2x1)5a0a1xa2x2a5x5，求：(1)a0a1a2a3a4；(2)|a0|a1

5、|a2|a3|a4|a5|；(3)a1a3a5；(4)(a0a2a4)2(a1a3a5)2.【拓展提高】1在(3x2y)20的展開式中，求：(1)二項式系數最大的項；(2)系數絕對值最大的項；(3)系數最大的項【基礎精練參考答案】1.B【解析】：Tk1Cx2(5k)(x1)k(1)kCx103k(k0,1，5)，由103k4得k2.含x4的項為T3，其系數為C10.2.C【解析】：由二項式定理得：(1)51CC()2C()3C()4C·()515202020 44129，a41，b29，ab70.3.B【解析】：二項式的展開式的所有項的二項式系數和為2n，而所有偶數項的二項式系數和與

6、所有奇數項的二項式系數和相等由題意得，2n11 024，n11，展開式共有12項，中間項為第六項、第七項，系數為CC462.4.C【解析】：Tk1C(3x2)nk·k(1)k·C3nk·2k·x2n5k，由題意知2n5k0，即n，nN*， kN，n的最小值為5.5.B【解析】：5的展開式共有6項，其中3項(奇數項)的系數為正，大于1；第六項的系數為C2051，故系數大于1的項共有4項6.A【解析】：由二項展開式的通項公式Tk1 (x)k(1)kxk，可知系數為(1)k，與二項式系數只有符號之差，故先找中間項為第2n1項和第2n2項，又由第2n1項系數為(

7、1)2n，第2n2項系數為(1)2n10，故系數最大項為第2n1項7.10【解析】：展開式中各項系數之和為SCCC2n32，n5. Tk1 ()k ，展開式中的常數項為T3C10.8. 10253【解析】：Tk1Cx5k·()kCx53k·2k，由53k2，k1，x2的系數為10.令x1得系數和為35243.9. 【解析】：由T7C23x6，x.10.【解析】依題意，前三項系數的絕對值是1，C()，C()2，且2C·1C()2，即n29n80，n8(n1舍去)，展開式的第k1項為C()8k()k ()kC·x·x(1)k··

8、x. (1)證明：若第k1項為常數項，當且僅當0，即3k16，kZ，這不可能，展開式中沒有常數項(2)若第k1項為有理項，當且僅當為整數，0k8，kZ，k0,4,8，即展開式中的有理項共有三項，它們是：T1x4，T5x，T9x2.11.【解析】設f(x)(2x1)5a0a1xa2x2a5x5，則f(1)a0a1a2a51，f(1)a0a1a2a3a4a5(3)5243.(1)a52532，a0a1a2a3a4f(1)3231.(2)|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a5f(1)243.(3)f(1)f(1)2(a1a3a5)，a1a3a5122.(4)(a0a2a4)2(a1a3a5)2(a0a1a2a3a4a5)(a0a1a2a3a4a5)f(1)×