1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1 .。是aabc的重心uOA+OB+OC=0；i若o是abc的重心，則:10c=+=產(chǎn)OB=3sMbC故oa+oB+oc=0；PG=1-(PA'+PB'+PC')uG為AABC的重心.32 .O是ABC的垂心uOAOb=ObOc=OcOa;若O是AABC(非直角三角形)的垂心，則S邨oc：s&oc：s&ob=tanA：tanB：tanC故tanAOAtanBOBtanCOC-02223,。是AABC的外心u|OA|=|OB|=|OC|(或OA=OB=OC)若。是AABC的外心則S&oc：S&

2、oc：S&ob=sinBOC：sin/AOC：sinAOB=sin2A:sin2B:sin2c故sin2AOAsin2BOBsin2COC=0ABAC"BABC'CACBOr、*AocR/1)，7TTVO日OA(5一)OB'(r-r)OC'(=-5)04. O是內(nèi)心AABC的充要條件是|AB|AC|BA|BC|CA|CB|引進(jìn)單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB,BC,CA的單位向量為e1，e2，e3,則剛才。是ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成OA'(e1*引=OB(ei+e2)=OC(e2+e3)=0,O是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA+b

3、OB+cOC=0。若。是AABC的內(nèi)心，則S偏OC：S總OC:S小OB=a：b：c故aOAbOBcOC二麒sinAOAsinBOBsinCOC=0；|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0=P是AABC的內(nèi)心;向量M7+3CH（九#0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是/BAC的角平|AB|AC|分線所在直線）；（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1.O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足一一ABACOP=OA+'（-+），九三b,"）則P點(diǎn)的軌跡一定通過AABCI（）ABAC（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因?yàn)榭帐窍蛄緼B的單位向量設(shè)

4、AB與TC方向上的單位向量分別為ei和e2,又網(wǎng)一OP-OA=AP,則原式可化為AP=Me+e2）,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分/BAC,那么在MBC中，AP平分/BAC,則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是4ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，hahb=HBHe=HCHA仁點(diǎn)H是AABC的垂心.由HAHB=HBHC=HB（HC-HA）=0=hBAC=0=HB_AC,同理HC_lAB,HA_lBC.故H是ABC的垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若PA,PB=PB,PC=PC,PA,則P是ABC的（D）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析:由pA

5、pB=pBpd得pApBpBpc=o.即而（PA-PC）=o,即而CA=o則PB_LCA,同理PA_LBC,PC_LAB所以P為AABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.G是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，gA+gB+gC=Ou點(diǎn)G是4ABC的重心.證明作圖如右,圖中GB+GC=GE連結(jié)BE和CE,WJCE=GB,BE=GCuBGCE為平行四邊形=D是BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將GB+GC=GE代入GA4GB+GC=0,得GA+EG=0=GA=-GE=-2GD,故G是AABC的重心.（反之亦然（證略）例5.P是4ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).G是4ABC的重心up

6、G=1（pA+PB+PC）.3證明PG=PAAG=PBBG=PCCG=3PG=（AGBGCG）（PAPBPC）:G是ABC的重心GA+GB+GC=0=AG+BG-+CG=0,即3PG=PA+PB+PC由此可得PG=1（PA+PB+PC）.（反之亦然（證略）3例6若O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，OA+OB+OC=0,則O是&ABC的（A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心-10 -解析：由OA+OB+OC =0得OB+OC=_OA,如圖以 ob oc為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則Ob Oc =Od ,由平行四邊形性質(zhì)知 OE =-1OD , OA =2OE ,同理可證其它兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以是重心，選D

7、o（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查，例 7 若。為 AABC 內(nèi)一點(diǎn)，OApOBjOC,則O是&ABC的（A.內(nèi)心B.外心 C.垂心D.重心解析：由向量模的定義知 O到AABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是AABC的外心，選B。 （五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例 8.已知向量 op； , op； , op；滿足條件 op； + op；+op3 =0, |op； |=|op2 |=|OP3 |二i,求證證明 PiP2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊（下）,復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）1由已知OPi +OP2 =-op；,兩邊平萬得OPi - OP2 =-,2同理- - iOP2 - OP3

8、=OP3 - OPi =-, |晶| = |獲| = |PE |=V3 ,從而 PlP2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)。是正三角形 PiP2P3的中心，則顯然有OPi +OP2+OP3 =0且|OPl | = |OP2 | 二 |OP3 |.即。是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，OPi +OP2 +OP3 =0 且 |OPi | = |OP2 | = |OP3 |U 點(diǎn) O 是正 PiP2P3 的中心.例9.在ABC,已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證： Q G H三點(diǎn)共線，且 QG:GH=i:2【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系C（x2,y 2） , D

9、 E、F分別為AB BG AC的中點(diǎn)，則有：D （%,0）、Elx1,9）、F（x,無）由題設(shè)可設(shè) Q（土 2222 22設(shè) A(0,0)、Bxi,0)、xi "2G;x2 xi- AH =(x2,y4)QF =(YiBC = -XL)；AH _BCAH *BC =x2(x2 -x1) y2y4 = 0x；(x； -xi)y；:QF - ACoy2、"2" y3)QF .AC =x2(x2 xi)72(£73) =0x2(x2-xi)y3二ZT（7Xi、，、，、/X2-X1QH-（x22'4-y3）:2=（x 2 X13xi y 22x 2 -X

10、 1,7 -y 3） =（-2 36y 2 X2J2 -xi %3 一2y2一 22x2-Xi3X2（X2-Xi）12X2-Xi3X2（X2-Xi）一6,一6y""6"）=3（2,一2yl一萬）=-QH3即 QH =3QG ,故 QG H三點(diǎn)共線，且QG GH=i： 2例i0.若O、H分別是ABC的外心和垂心.求證OH=OAOBOC.證明若zXABC的垂心為H,外心為O,如圖.連BO并延長交外接圓于D,連結(jié)AD,CD.1 .AD_LAB,CD_LBC.又垂心為H,AH_LBC,CH1AB,2 .AH/CD,CH/AD,一四邊形AHCD為平行四邊形，AH=DC=DO

11、-+OC,故OH=OA+AH=OA+OB+OC.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的位置關(guān)系：(i)三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2)三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例ii.設(shè)O、G、H分別是銳角ABC的外心、重心、垂心.求證OG=-OH3證明按重心定理G是ABC的重心=og=：(OA+OB+OC)按垂心定理OH=OA+OB猊由此可得oGOH.3補(bǔ)充練習(xí)i.已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，。是三角形ABC的重心，

12、動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=1（OA+IOB+ZOC）,則點(diǎn)P一定為三角形ABC的（B）A.AB邊中線的中點(diǎn)C.重心i. B取AB邊的中點(diǎn)3OP =3OM 2MC點(diǎn)P不過重心，故選M,則， MPB.322B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)D.AB邊的中點(diǎn)iiiOA+OB=2OM，由OP=-(-OA+OB+2OC)可得322=ZMC,即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且32.在同一個(gè)平面上有 MBC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：AB1，則O為AABC的（ D ）A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D 垂心2.已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)大+；?=0?+去=0?+P 滿足：PA+PB+PC=0 ,

13、WJ P 為AABC 的（C）A外心B內(nèi)心C重心D垂心3 .已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：OP=OA+MAB+AC）,則P的軌跡一定通過ABC的（C）A外心B內(nèi)心C重心D垂心4 .已知ABC,P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足：PAPC+PA,PB+PB，PC=0,則P點(diǎn)為三角形的（D）A外心B內(nèi)心C重心D垂心TT5 .已知AABC,P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：a，PA+b，PB+c,PC=0,則P點(diǎn)為三角形的（B）A外心B內(nèi)心C重心D垂心-226 .在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：CA=CB-2AB,CP,則P點(diǎn)軌跡一定通過ABC的：（B

14、）A外心B內(nèi)心C重心D垂心7 .已知非零向量AB與AC滿足（"+空）BC=0且”-空=2,則4ABC為（）|AB|AC|AB|AC|2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形TT解析：非零向量與滿足（_A$+4k）=0,即角A的平分線垂直于BC,.AB=AC,又|AB|AC|cosA 二|AB| |AC |/ A=1,所以 ABC為等邊三角形，選D.8 .AABC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點(diǎn)為H,OH=m（OA+OB+OC）,則實(shí)數(shù)m=J9 .點(diǎn)O是MBC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OAOB=OBOC=OCOA,則點(diǎn)O是MBC的（B）（A）三個(gè)內(nèi)角

15、的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn)（D）三條高的交點(diǎn)10 .如圖1,已知點(diǎn)G是&ABC的重心，過G乍直線與AB,AC兩邊分別交于MN兩點(diǎn)，且太M=xAB,An=yAC,證點(diǎn)G是AABC的重心，知GA+GB十GC=O,得費(fèi)+（相AG）+（AC對(duì)）=0,有星=1（晶+肥）。又M,N,G三點(diǎn)共線（A不在直線MN3上），于是存在九,N,使得AG=九AM+NAN（且九+N=1）,有AG=%xAB+RyAC=1（AB+能）,3-1-1一ii得1,于是得1+=3。x=Jy=-xy3例講三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)目標(biāo)：1、三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角

16、形形狀判斷方法2 、向量的加法、數(shù)量積等性質(zhì)3 、利用向量處理三角形中與向量有關(guān)的問題4 、數(shù)形結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)：靈活應(yīng)用向量性質(zhì)處理三角形中與有關(guān)向量的問題教學(xué)難點(diǎn)：針對(duì)性地運(yùn)用向量性質(zhì)來處理三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)過程：1、課前練習(xí)-2221.1 已知。是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA=OB=OC，則。是ABC勺A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心1.2 在ABC+,有命題ABAC=BC；AB+BC+CA=0；若（Ab+Ac>*（Ab-AC）=0,則ABCJ等腰三角形；若ABAC>0,則ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B、C、D、2、知識(shí)回顧2.1 三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心

17、及簡單的三角形形狀判斷方法2.2 向量的有關(guān)性質(zhì)2.3 上述兩者間的關(guān)聯(lián)3、利用向量基本概念解與三角形有關(guān)的向量問題例1、已知ABCt,有iAB+iACi能=0和罌,罟=1,試判斷4人3。1勺形狀JAB|A+網(wǎng)1AC2練習(xí)1、已知ABC,AB=a,BC=b,B是ABCt的最大角，若a，b<0,試判斷ABC的形狀。4、運(yùn)用向量等式實(shí)數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題例2、已知。是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足|oabc2=|ob|ac2=|oc2|ab|2,則。是ABC勺D 、內(nèi)心A、重心B、垂心C、外心AB AC5、運(yùn)用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例3、已知P是ABCff在平面內(nèi)的一

18、動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足OP=OA+九：一r，兒則動(dòng)點(diǎn)P一定過ABC的A重心B 、垂心C 、外心D 、內(nèi)心練習(xí)2、已知O為平面內(nèi)一點(diǎn),A、B、C平面上不共線的點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足一 一 /一 1 OP =OA +九 AB +-BC 2九 w (0,+=c 1則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC勺A、重心例 4 、B 、垂心已知。是C ABC、外心所在平、內(nèi)心的一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn) P滿OP =OAAC則動(dòng)點(diǎn)P一定過ABC勺A、重心AB cosBAC cosC練習(xí) 3、已知、垂心O是CABC、外心所在平面內(nèi)的、內(nèi)心一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿op=OBC .2A、重心例5、已知點(diǎn)ABAC九w(0,),則動(dòng)點(diǎn)P一定過 ABC的AB cosB

19、B 、垂心G是的重心AC cosC、外心D 、內(nèi)心作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點(diǎn)A、重心B、垂心C、外心D、內(nèi)心5、平面上的三個(gè)向量OA、OB、OC滿足OA+OB+OC=0,|岡=|麗|=0=1,求證：ABCJ正三角形。6、在ABCt,O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AMh2,求OA（OB+OC）三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學(xué)“平面向量”（必修4第二章）的學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何

20、問題時(shí)，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問題，最后將運(yùn)算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí)，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)，又體會(huì)了向量帶來的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感重心”的向量風(fēng)采【命題11 G是4ABC所在平面上的一點(diǎn),若GA+GB+GC=0,則G是ABC的重心.如圖.圖圖【命題2】 已知。是平面上一定點(diǎn),A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OA+"AB+AC）,LW（0,+吟，則P的軌跡一

21、定通過ABC的重心.【解析】由題意刀=耳后十大），當(dāng)九10,+到時(shí)，由于入溫+品）表示BC邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心，如圖.垂心”的向量風(fēng)采【命題3】【解析】 由PMAABC所在平面上一點(diǎn)，若PAPB=PBPC=PCPA,則P是ABC的垂心.PAPB=PBPC,得PB(PA-PC)=0,即7BCA=0,所以TBCA.同理可證pc ± Ab , PABC . a P是AABC的垂心.如圖.Air尸圖CEHBFO 圖【命題4】已知O是平面上一定點(diǎn)，A B, C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)OP = OA【解析】ABAB I cos BAC| aC cos

22、 C由題意AP = 艮 BCACAB cos BABJABlAC cosC，兒w（0, 十 妙），+ cosBACAC cosC則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過 ABC的垂心.ABAB cos B+ ACAC cosC也 =|BC|CB|=0J以AP表示垂直于BC的向量，即P點(diǎn)在過點(diǎn)A且垂直于BC的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過4ABC的垂心，如圖.內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】已知I為zABC所在平面上的一點(diǎn)，且AB=c,AC=b,BC=a.若aIA+bIB cIO,則 I 是4ABC 的內(nèi)心.圖【解析】.IB與斌,ic =iA + ac ,則由題意得（a+b+c）IA + bAB+cAC =0 ,V bAB cACt bc AI 二a b cAB AC ab +Iac .與空 分別為AB和"AC方向上的單位向量,AC.K與/BAC平分線共線，即AI平分/BAC.同理可證：BI平分/ABC,CI平分/ACB.從而I是4ABC的內(nèi)心，如圖.【命題6】已知。是平面上一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足【解