1、精選課件4.4 4.4 隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題三、隨機解釋變量的后果三、隨機解釋變量的后果四、工具變量法四、工具變量法五、案例五、案例 精選課件基本假設:解釋變量X1,X2,Xk是確定性變量。 如果存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現隨機解釋變量問題隨機解釋變量問題。 假設X2為隨機解釋變量。對于隨機解釋變量問題，分三種不同情況： 一、隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題對于模型 ikikiiiXXYY22110精選課件 1. 隨機解釋變量與隨機誤差項獨立隨機

2、解釋變量與隨機誤差項獨立(Independence)0)()()()(22, 2ExExEXCov 2. 隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關(contemporaneously uncorrelated)，但異期相關。，但異期相關。0)()(2,2iiiixEXCov0)()(2,2siisiixEXCov0s 3. 隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關(contemporaneously correlated)。 0)()(2,2iiiixEXCov精選課件二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題 在實

3、際經濟問題中，經濟變量往往都具有隨機性隨機性。 但是在單方程計量經濟學模型中，凡是外生變量都被認為是確定性的。 于是隨機解釋變量隨機解釋變量問題主要表現于：用滯用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。精選課件 例如：例如： （1 1）耐用品存量調整模型：）耐用品存量調整模型： 耐用品的存量Qt由前一個時期的存量Qt-1和當期收入It共同決定： Qt=0+1It+2Qt-1+t t=1,T這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。 但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關性，那么隨機解釋變量Qt-1只與t-1相關，與t不相關，屬于上述的第2種情況。精選課件

4、（2）合理預期的消費函數模型）合理預期的消費函數模型 合理預期理論合理預期理論認為消費Ct是由對收入的預期Yte所決定的：tettYC10 預期收入Yte與實際收入Y間存如下關系的假設 ettetYYY1)1 (容易推出tetttYYC1110)1 (ttttCY)()1 (101101110)1 ()1 (ttttCYCt-1是一隨機解釋變量，且與 ( t-t-1)高度相關（Why?）。屬于上述第3種情況。精選課件 計量經濟學模型一旦出現隨機解釋變量，且與隨機擾計量經濟學模型一旦出現隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關的話，如果仍采用動項相關的話，如果仍采用OLS法估計模型參數，不同法估計模型參

5、數，不同性質的隨機解釋變量會產生不同的后果。性質的隨機解釋變量會產生不同的后果。 下面以一元線性回歸模型為例進行說明下面以一元線性回歸模型為例進行說明 三、隨機解釋變量的后果三、隨機解釋變量的后果精選課件 隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖 （a）正相關 （b）負相關 擬合的樣本回歸擬合的樣本回歸線可能低估截距項，線可能低估截距項，而高估斜率項。而高估斜率項。 擬合的樣本回歸線擬合的樣本回歸線高估截距項，而低高估截距項，而低估斜率項。估斜率項。精選課件 對一元線性回歸模型： tttXY10 OLS估計量為2121ttttttxxxyx 1、如果、如果X與與 相互獨立，

6、得到的參數估計量相互獨立，得到的參數估計量仍然是無偏、一致估計量。仍然是無偏、一致估計量。 已經得到證明 隨機解釋變量X與隨機項 的關系不同，參數OLS估計量的統計性質也會不同。 精選課件 2 2、如果如果X與與 同期不相關，異期相關，得到的同期不相關，異期相關，得到的參數估計量有偏、但卻是一致的。參數估計量有偏、但卻是一致的。 kt的分母中包含不同期的X；由異期相關性知：kt與 t相關，因此，)()()(1211tttttkExxEE11)(E但是0)(),()lim()lim(1211121limttttnttntttnXVarXCovxPxPxxP精選課件 3 3、如果如果X與與 同期相

7、關，得到的參數估計量同期相關，得到的參數估計量有偏、且非一致有偏、且非一致。 注意：注意： 如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當該滯后被解釋變量與隨機誤差項同期相關時，OLS估計量是有偏的、且是非一致的有偏的、且是非一致的。 即使同期無關，其OLS估計量也是有偏的有偏的，因為此時肯定出現異期相關。 2的證明中已得到精選課件 模型中出現隨機解釋變量且與隨機誤差項相關時，模型中出現隨機解釋變量且與隨機誤差項相關時，OLS估計量是有偏的。估計量是有偏的。 如果隨機解釋變量與隨機誤差項異期相關，則可以通如果隨機解釋變量與隨機誤差項異期相關，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量過增大

8、樣本容量的辦法來得到一致的估計量 但如果是同期相關，即使增大樣本容量也無濟于事。但如果是同期相關，即使增大樣本容量也無濟于事。這時，最常用的估計方法是這時，最常用的估計方法是工具變量法工具變量法（Instrument variables）。 四、工具變量法四、工具變量法精選課件 1 1、工具變量的選取、工具變量的選取 工具變量工具變量：在模型估計過程中被作為工具使用，以替代模型中與隨機誤差項相關的隨機解釋變量。 選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件： （1 1）與所替代的隨機解釋變量高度相關；）與所替代的隨機解釋變量高度相關； （2 2）與隨機誤差項不相關；

9、）與隨機誤差項不相關； （3 3）與模型中其它解釋變量不相關，以避免出）與模型中其它解釋變量不相關，以避免出現多重共線性。現多重共線性。精選課件 2 2、工具變量的應用、工具變量的應用 以一元回歸模型的離差形式為例說明如下：iiixy1用OLS估計模型，相當于用xi去乘模型兩邊、對i求和、再略去xii項后得到正規正規方程方程： 21iiixyx21iiixyx(*)解得精選課件 然而，如果Xi與 i相關，即使在大樣本下，也不存在 ( xi i)/n0 ，則在大樣本下也不成立，OLS估計量不具有一致性。不具有一致性。21iiixyx由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味著大樣本下 (xi

10、i)/n0 表明大樣本下21iiixyx成立，即成立，即OLS估計量具有一致性估計量具有一致性。精選課件 如果選擇Z為X的工具變量工具變量，那么在上述估計過程可改為:iiiiiizxzyz1利用E(zi i)=0，在大樣本下可得到： iiiixzyz1關于0的估計，仍用XY10完成。 這種求模型參數估計量的方法稱為工具變量工具變量法法(instrumental variable method)，相應的估計量稱為工具變量法估計量工具變量法估計量（instrumental variable (IV) estimator）。精選課件 對于矩陣形式矩陣形式： Y=X + 采用工具變量法（假設X2與隨機

11、項相關，用工具變量Z替代）得到的正規方程組正規方程組為： XZYZ參數估計量為： YZXZ1)(knkknnXXXZZZXXX212111211111Z其中稱為工具變量矩陣工具變量矩陣精選課件3 3、工具變量法估計量是一致估計量、工具變量法估計量是一致估計量 一元回歸中，工具變量法估計量為 如果工具變量Z選取恰當，即有 iiiiiiiiixzzxzxz111)(兩邊取概率極限得： iiniinxzPzPP1111limlim)lim(0),cov(1limiiiiZznP0),cov(1limiiiiXZxznP因此： 11)lim(P精選課件 1 1、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的、

12、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。 注意：注意：0)()1()1(iiiiiiiizExzEzxzE 2 2、工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只、工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是在估計過程中作為是在估計過程中作為“工具工具”被使用。被使用。 上述工具變量法估計過程可等價地分解成下面的兩步兩步OLSOLS回歸回歸： 第一步第一步，用OLS法進行X關于工具變量Z的回歸： iiZX10精選課件iiXY10 容易驗證仍有: iiiixzyz1 因此，工具變量法仍是工具變量法仍是Y Y對對X X的回歸，而不是對的回歸，而不是對Z Z的回歸的回歸。 3、如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量

13、與隨、如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。 但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結果(Why？)。精選課件 4 4、OLSOLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。可以看作工具變量法的一種特殊情況。 5 5、如果、如果1 1個隨機解釋變量可以找到多個互相個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了量的信息，就形成了廣義矩方法（廣義矩方法（Generalized Generalized Method

14、 of Moments, GMMMethod of Moments, GMM）。）。 在GMM中，矩條件大于待估參數的數量，于是如何求解成為它的核心問題。 工具變量法是GMM的一個特例。 6 6、要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋、要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋變量相關的工具變量并不是一件很容易的事變量相關的工具變量并不是一件很容易的事 可以用Xt-1作為原解釋變量Xt的工具變量。 精選課件五、案例五、案例中國居民人均消費函數中國居民人均消費函數 例例4.4.1 在例例2.5.1的中國居民人均消費函數中國居民人均消費函數的估計中，采用OLSOLS估計了下面的模型：GDPPCONSP

15、10 由于：居民人均消費支出（居民人均消費支出（CONSPCONSP）與人均國內人均國內生產總值（生產總值（GDPPGDPP）相互影響，因此， 容易判斷GDPP與 同期相關（往往是正相關），OLSOLS估計量有偏并且是非一致的（低估截距項而高估計斜率項 ）。 精選課件 OLS估計結果： (13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 SSR=23240.7 如果用GDPPt-1為工具變量，可得如下工具變量法估計結果： (14.84) (56.04) R2 =0.9937 F=3140.58 DW=0.6691 SSR=18366.5 精選課件vGMM

16、是近是近20年計量經濟學理論方法發展的重要方年計量經濟學理論方法發展的重要方向之一。向之一。vIV是是GMM的一個特例的一個特例。 如果如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了息，就形成了廣義矩方法（廣義矩方法（GMM）。在。在GMM中，中，矩條件大于待估參數的數量，于是如何求解成為矩條件大于待估參數的數量，于是如何求解成為它的核心問題。它的核心問題。精選課件v回歸模型的基本假設要求隨機解釋變量與模型的隨機干擾項回歸模型的基本假設要求隨機解釋變量與模型的隨機干擾

17、項至少不存在同期相關性至少不存在同期相關性,即隨機解釋變量至少是同期外生變量即隨機解釋變量至少是同期外生變量.那么如何判斷所設定的模型中各解釋變量是同期外生變量呢那么如何判斷所設定的模型中各解釋變量是同期外生變量呢?v通常采用豪斯曼通常采用豪斯曼(Hausman)檢驗檢驗 設二元原線性模型設二元原線性模型: 其中，與是隨機解釋變量，而且明確知道是外生變量，其中，與是隨機解釋變量，而且明確知道是外生變量，但懷疑是同期內生變量。如何檢驗是否具有內生性？但懷疑是同期內生變量。如何檢驗是否具有內生性？豪斯曼檢驗的基本思想：如果是內生變量，則需尋找豪斯曼檢驗的基本思想：如果是內生變量，則需尋找一外生變量

18、作為工具變量，并對原二元模型進行工具變量一外生變量作為工具變量，并對原二元模型進行工具變量法估計，將工具變量法的估計結果與對原二元模型直接進行法估計，將工具變量法的估計結果與對原二元模型直接進行普通最小二乘法的估計結果對比，看差異是否顯著。如果有普通最小二乘法的估計結果對比，看差異是否顯著。如果有顯著差異，則表明是內生變量。顯著差異，則表明是內生變量。iiiiZXY1210X1Z1ZXXX2ZX精選課件v第一步，將懷疑是內生變量的關于外生變量，作普通最第一步，將懷疑是內生變量的關于外生變量，作普通最小二乘估計：小二乘估計：得到殘差項得到殘差項 第二步，將第一步得到的殘差項加入到原模型后，再進行第二步，將第一步得到的殘差項加入到原模型后，再進行普通最小二乘估計：普通最小二乘估計：仍假設隨機干擾項仍假設隨機干擾項 滿足所有線性回歸基本假設滿足所有線性回歸基本假設,并與并與 不不同期相關。如果前的參數顯著為零，則表明第一步回歸同期相關。如果前的參數顯著為零，則表明第一步回歸式中，隨即干擾項與同期無關，進而與原二元線性回歸式中，隨即干擾項與同期無關，進而與原二元線性回歸模型式的隨機干擾項同期無關，而，是外生變量，他模型式的隨機干擾項同期無關，而，是外生變量，他們肯定與同期無關，由第一步的回歸式子知與同期無們肯定與同期無關，由第一步的回歸式子知