1、適用學科高中數學適用年級高中二年級適用區域人教版課時時長分鐘2課時知識點1. 拋物線的定義.2. 拋物線的標準方程.3. 拋物線的簡單幾何性質.教學目的1. 掌握拋物線的定義，標準方程.2. 掌握拋物線的幾何性質.3. 體會解析幾何的思想，熟悉利用代數方法研究幾何問題的手段教學重點1. 拋物線定義、標準方程及幾何性質，2. 利用性質解決一些問題.教學難點拋物線定義、標準方程及幾何性質的靈敏應用.【教學建議】拋物線是圓錐曲線的重要內容，高考主要考察拋物線的方程、焦點、準線、及其幾何性質，題型上，選擇題、填空題、解答題、都有可能出現，以考察學生的運算、數形結合、和分析問題的才能為主。1、 教學目的

2、 本課的教學目的是：掌握拋物線的定義、幾何圖形，明確焦點和準線的意義；會推導拋物線的標準方程；可以利用給定的條件求拋物線的標準方程。過程與方法：通過“觀察“探究等一系列數學活動，培養學生觀察、類比、分析、概括的才能以及邏輯思維的才能，使學生學會數學考慮與推理，學會反思與感悟，形成良好的數學觀，并進一步感受坐標法及數形結合的思想。情感、態度與價值觀：通過提問、討論、考慮解答等數學活動，進一步培養學生合作、交流的才能，培養學生實事求是、擅長觀察、勇于探究、嚴密細致的科學態度；激發學生積極主動參與數學學習活動，養成良好的學習習慣。教學目的明確，詳細，符合新課標的要求。2、 教學過程 整個教學過程包括

3、新課的導入，拋物線概念的得出，方程的推導和純熟過程，到最后的總結，教學環節完好，層次清楚，重點推導拋物線的方程，概念的得出是通過幾何畫板現場展示過程，讓學生在體會作圖的特點中感悟概念的得出，表達了知識的產生和形成過程，通過例題和練習讓學生到達純熟的程度，方法合理，過程安排有序，有效打破難點。 3、 教學方法 有效運用幾何畫板工具，展現概念的形成過程，讓學生體會到拋物線概念中的相等關系的量，為得到拋物線的概念做了很好的鋪墊，概念的得出是在老師提示下學生體會得到的，方程的推導過程中，師生共同完成，有效地到達了教學效果。 4、 老師根本功 板書布局工整合理，板書中表達了本課的教學重點，教態自然，語言

4、準確，表達對數學的嚴謹性。 五、 創新意識 教學設計有一定新意，在導課時，采用詳細形象地幾何畫板工具，現場展示幾何圖形，形象直觀地讓學生體會到幾何作圖中所包含的抽象關系，從而得出拋物線的概念?！局R導圖】教學過程一、導入【教學建議】導入是一節課必備的一個環節，是為了激發學生的學習興趣，幫助學生盡快進入學習狀態。導入的方法很多，僅舉兩種方法： 情境導入，比方講一個和本講內容有關的生活現象； 溫故知新，在知識體系中，從學生已有知識入手，提醒本節知識與舊知識的關系，幫學生建立知識網絡。提供一個教學設計供講師參考：一、課堂導入1.生活中的拋物線：1投籃時籃球的運行軌跡是拋物線；2南京秦淮河三山橋的橋拱

5、的形狀是拋物線； 3衛星天線是根據拋物線的原理制造的.2.數學中的拋物線：一元二次函數的圖像是一條拋物線.提出問題：為什么一元二次函數的圖像是一條拋物線？類比橢圓、雙曲線的幾何性質，拋物線又會有怎樣的幾何性質？ 二、拋物線的定義1.拋物線的畫法1介紹作圖規那么.2動畫展示作圖過程.提出問題：筆尖所對應的點滿足的幾何關系是什么？3分析作圖過程提出問題：在作圖過程中，直尺，三角板，筆尖，點F中，哪些沒有動？哪些動了？提出問題：在作圖過程中，繩長，中，哪些量沒有變？哪些量變了？4結論動點滿足的幾何關系是：動點到定點F的間隔 等于它到直尺的間隔 .2.拋物線的定義問題1：你能給拋物線下個定義嗎？拋物線

6、的定義：平面內與一個定點和一條定直線不過的間隔 相等的點的集合叫作拋物線.問題2：為什么定點不能在定直線上？假設點在直線上，那么軌跡為過定點垂直于直線的直線.3.拋物線的相關概念：定點：拋物線的焦點.定直線：拋物線的準線.設，焦點到準線的間隔 .拋物線的對稱軸與拋物線的交點：拋物線的頂點三、拋物線的方程1.方程推導1建系請同學們將拋物線畫在草稿紙上，自己建立平面直角坐標系.2推導問題3：以下三種建系方式，你認為哪種建系方式最好？請說明理由.提示：設，先將拋物線的焦點坐標和準線方程求出來，再來求拋物線的方程.三種建系方式下的拋物線方程分別為：，.不難得出，第二種建系方式下的拋物線方程最簡潔，因此

7、第二種建系方式最好.：焦點到準線的間隔 .3.考慮交流問題4：你能否分別寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程？詳細要求：以頂點在原點，焦點在軸正半軸上的拋物線的標準方程為根底，分別寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程，不要求寫過程.學生先獨立考慮，再小組合作交流.標準方程圖形性質開口方向向右向左向上向下范圍對稱軸軸軸焦點坐標準線方程離心率焦半徑拋物線的標準方程是指頂點放在坐標原點，焦點放在坐標軸上的拋物線的方程，一共有四種形式.4.例題分析例1.求出以下拋物線的焦點坐標和準線方程.1； 2；例2.根據以下條件求拋物線的標準方程

8、.1焦點：； 2準線：.四、課堂小結問題5：這節課你學到了什么？請談談你的收獲.1.知識內容：1拋物線的定義：2拋物線的標準方程：焦點在軸正半軸：；焦點在軸負半軸：；焦點在軸正半軸：；焦點在軸負半軸：.2.學習方法與過程：類比橢圓的研究方法與過程.3.學習中用到的數學思想和方法：1直接法；2待定系數法；3類比的思維方法；4數形結合思想.二、知識講解考點1拋物線的定義文字形式：平面內到定點的間隔 等于它到一條定直線的間隔 的點的軌跡。其中叫焦點，定直線叫準線.集合形式：M為動點，為定點，為點M到定直線的間隔 .考點2 拋物線的方程及幾何性質標準方程圖形性質開口方向向右向左向上向下范圍對稱軸軸軸焦

9、點坐標準線方程離心率焦半徑 考點3 拋物線上的點到焦點的間隔 ，利用拋物線的定義，要優先考慮轉化為拋物線上的點到準線的間隔 來解決問題。三 、例題精析類型一 拋物線的定義及應用例題11拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程 2拋物線的焦點是，求它的標準方程。答案與解析1因為，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為.2因為拋物線的焦點在y軸上，所以拋物線方程為.【總結與反思】1先看清一次項，斷定對稱軸與焦點所在位置，畫草圖，再求出的值得到焦點坐標和準線方程。2先斷定出焦點在軸上，從而得到一次項為，再求出的值進而寫出方程。類型二 拋物線的標準方程和幾何性質例題1雙曲線C1：1a>0，b&g

10、t;0的離心率為2.假設拋物線C2：x22pyp>0的焦點到雙曲線C1的漸近線的間隔 為2，那么拋物線C2的方程為Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案D解析1的離心率為2，2，即4，3，.x22py的焦點坐標為，1的漸近線方程為y±x，即y±x.由題意得2，p8.故C2的方程為x216y.例題2過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點假設|AF|3，那么AOB的面積為_答案與解析答案解析由題意設Ax1，y1，Bx2，y2y1>0，y2<0，如下圖，|AF|x113，x12，y12.設AB的方程為x1ty，由消去x得y24

11、ty40.y1y24.y2，x2，SAOB×1×|y1y2|.【總結與反思】1求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程2在解決與拋物線的性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此類型三 直線與拋物線的綜合問題例題1拋物線C：y28x與點M2,2，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A、B兩點假設·0，那么k_.答案與解析答案2解析拋物線C的焦點為F2,0，那么直線方程為ykx2，與

12、拋物線方程聯立，消去y化簡得k2x24k28x4k20.設點Ax1，y1，Bx2，y2那么x1x24，x1x24.所以y1y2kx1x24k，y1y2k2x1x22x1x2416.因為·x12，y12·x22，y22x12x22y12y22x1x22x1x2y1y22y1y280，將上面各個量代入，化簡得k24k40，所以k2.例題2拋物線C：ymx2m>0，焦點為F，直線2xy20交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.1求拋物線C的焦點坐標；2假設拋物線C上有一點RxR,2到焦點F的間隔 為3，求此時m的值；3是否存在實數m，

13、使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？假設存在，求出m的值；假設不存在，請說明理由答案與解析解1拋物線C：x2y，它的焦點F0，2|RF|yR，23，得m.3存在，聯立方程消去y得mx22x20，依題意，有224×m×2>0m>.設Ax1，mx，Bx2，mx，那么*P是線段AB的中點，P，即P，yP，Q，得x1，mx，x2，mx，假設存在實數m，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，那么·0，即x1·x2mxmx0，結合*化簡得40，即2m23m20，m2或m，而2，存在實數m2，使ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形【總結與反思】1直線與拋物

14、線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系2有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點假設過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，假設不過焦點，那么必須用一般弦長公式3涉及拋物線的弦長、中點、間隔 等相關問題時，一般利用根與系數的關系采用“設而不求、“整體代入等解法提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法求解四 、課堂運用基礎1.1拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程.2拋物線的焦點是，求它的標準方程.2.拋物線的頂點為坐標原點，焦點在軸上，直線與拋物線交于兩點，假設為的中點，那么拋物線的方程為 .答案與解析1. 【答案】1，2【解

15、析】1因為，所以拋物線的焦點坐標為，準線方程為.2因為拋物線的焦點在y軸上，所以拋物線方程為.2. 【答案】【解析】設拋物線的方程為.由方程組解得交點坐標為，而點是的中點，從而有，故所求拋物線的方程為.鞏固1.點在拋物線上，那么點到點的間隔 與點到拋物線焦點間隔 之和的最小值為 2.拋物線的焦點坐標是 A2，0 B- 2，0 C4，0 D- 4，0來3. 點F是拋物線的焦點,M是拋物線上的動點,當最小時,M點坐標是 A. B. C. D. 4.動圓M與直線y =2相切，且與定圓C：外切，那么動圓圓心M的軌跡方程為 答案與解析1. 過作于點為準線，顯然,當時有最小值，此時2. 由,易知焦點坐標是

16、，應選B3. 設M到準線的間隔 為,那么，當最小時，M點坐標是，選C4. 設動圓圓心為Mx，y，半徑為r，那么由題意可得M到C0，-3的間隔 與到直線y=3的間隔 相等，由拋物線的定義可知：動圓圓心的軌跡是以C0，-3為焦點，以y=3為準線的一條拋物線，其方程為3.4拔高1. 過拋物線的焦點F作直線交拋物線于兩點， 求證：1 22.過拋物線的焦點的弦AB長為12，那么直線AB傾斜角為 .3.拋物線的焦點為，點，在拋物線上，且、成等差數列， 那么有A B C D. 4. 設拋物線的焦點為，直線過且與交于，兩點。假設，那么的方程為 A或 B或C或 D或答案與解析1.1如圖設拋物線的準線為，作.兩式

17、相加即得：2當ABx軸時，有成立；當AB與x軸不垂直時，設焦點弦AB的方程為：.代入拋物線方程：.化簡得：方程1之二根為x1，x2，.故不管弦AB與x軸是否垂直，恒有成立2. 由結論：假設AB是拋物線的焦點弦，且直線AB的傾斜角為，那么，有12=其中為直線AB的傾斜角，那么，所以直線AB傾斜角為或3. 由拋物線的定義可得，由于、成等差數列，所以4. 拋物線的焦點坐標為，準線方程為，設，那么因為，所以，所以。因為，所以，當時，所以此時，假設，那么,此時,此時直線方程為。假設，那么,此時,此時直線方程為。所以的方程是或，選C.五 、課堂小結1認真區分四種形式的標準方程1區分yax2與y22px p

18、>0，前者不是拋物線的標準方程2求標準方程要先確定形式，必要時要進展分類討論，標準方程有時可設為y2mx m0或x2mym02拋物線的離心率e1，表達了拋物線上的點到焦點的間隔 等于到準線的間隔 因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的間隔 ，這樣就可以使問題簡化拋物線上的點到焦點的間隔 根據定義轉化為到準線的間隔 ，即|PF|x|或|PF|y|.六 、課后作業基礎1拋物線y22pxp>0的準線與曲線x2y24x50相切，那么p的值為A2 B1 C. D.2拋物線y22pxp>0，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，假設線段

19、AB的中點的縱坐標為2，那么該拋物線的準線方程為Ax1 Bx1 Cx2 Dx23拋物線y22pxp>0的焦點弦AB的兩端點坐標分別為Ax1，y1，Bx2，y2，那么的值一定等于A4 B4 Cp2 Dp242019·浙江如圖，設拋物線y24x的焦點為F，不經過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，那么BCF與ACF的面積之比是A. B. C. D.答案與解析1.答案A解析曲線的標準方程為x22y29，其表示圓心為2,0，半徑為3的圓，又拋物線的準線方程為x，由拋物線的準線與圓相切得23，解得p2，應選A.2.答案B解析y22px的焦點坐標為，

20、0，過焦點且斜率為1的直線方程為yx，即xy，將其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.設Ax1，y1，Bx2，y2，那么y1y22p，p2，拋物線的方程為y24x，其準線方程為x1.3.答案A解析假設焦點弦ABx軸，那么x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.假設焦點弦AB不垂直于x軸，可設AB的直線方程為ykx，聯立y22px得k2x2k2p2px0，那么x1x2.所以y1y2p2.故4.4.答案A解析由圖形可知，BCF與ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F1，0，作準線l，那么l的方程為x1

21、.點A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.鞏固12019·課標全國設F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，那么|AB|等于A. B6 C12 D72拋物線x22pyp>0的焦點為F，其準線與雙曲線1相交于A、B兩點，假設ABF為等邊三角形，那么p_.3.如圖，過拋物線y22px p>0的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，假設|BC|2|BF|，且|AF|3，那么此拋物線的方程

22、為_4一條過點P2,1的直線與拋物線y22x交于A，B兩點，且P是弦AB的中點，那么直線AB的方程為_5.如圖，拋物線y22px p>0有一個內接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程6點F為拋物線E：y22pxp0的焦點，點A2，m在拋物線E上，且|AF|3.1求拋物線E的方程；2點G1,0，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切答案與解析1答案C解析焦點F的坐標為，方法一直線AB的斜率為，所以直線AB的方程為y，即yx，代入y23x，得x2x0.設Ax1，y1，Bx2，y2，那么x1x2，所以|AB|

23、x1x2p12，應選C.方法二由拋物線焦點弦的性質可得|AB|12.2答案6解析由題意知B，代入方程1得p6.3答案y23x解析如圖，分別過A、B作AA1l于A1，BB1l于B1，由拋物線的定義知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130°，AFx60°，連接A1F，那么AA1F為等邊三角形，過F作FF1AA1于F1，那么F1為AA1的中點，設l交x軸于K，那么|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，拋物線方程為y23x.4答案xy10解析依題意，設點Ax1，y1，Bx2，y2，那么有y2x1，y2x2，兩式相減得yy2x1

24、x2，即1，直線AB的斜率為1，直線AB的方程是y1x2，即xy10.5解設直線OA的方程為ykx，k0，那么直線OB的方程為yx，由得x0或x.A點坐標為，同理得B點坐標為2pk2，2pk，由|OA|1，|OB|8，可得÷得k664，即k24.那么p2.又p>0，那么p，故所求拋物線方程為y2x.6方法一1解由拋物線的定義得|AF|2.因為|AF|3，即23，解得p2，所以拋物線E的方程為y24x.2證明因為點A2，m在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對稱性，不妨設A2,2由A2,2，F1,0可得直線AF的方程為y2x1由得2x25x20，解得x2或x，

25、從而B.又G1,0，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，從而AGFBGF，這說明點F到直線GA，GB的間隔 相等，故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切方法二1解同方法一2證明設以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r.因為點A2，m在拋物線E：y24x上，所以m±2，由拋物線的對稱性，不妨設A2,2由A2,2，F1,0可得直線AF的方程為y2x1由得2x25x20.解得x2或x，從而B.又G1,0，故直線GA的方程為2x3y20.從而r.又直線GB的方程為2x3y20.所以點F到直線GB的間隔 dr.這說明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切拔高1.設直

26、線l與拋物線y24x相交于A，B兩點，與圓x52y2r2r0相切于點M，且M為線段AB的中點，假設這樣的直線l恰有4條，那么r的取值范圍是A1,3 B1,4 C2,3 D2,42拋物線y2x，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，·2其中O為坐標原點，那么ABO與AFO面積之和的最小值是A2 B3 C. D.3拋物線C：x28y與直線y2x2相交于A，B兩點，點P是拋物線C上異于A，B的一點，假設直線PA，PB分別與直線y2相交于點Q，R，O為坐標原點，那么·_.4 如圖，拋物線C：x24y，過點M0,2任作一直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點

27、DO為坐標原點1證明：動點D在定直線上；2作C的任意一條切線l不含x軸，與直線y2相交于點N1，與1中的定直線相交于點N2，證明：|MN2|2|MN1|2為定值，并求此定值5.拋物線C的頂點為O0,0，焦點為F0,11求拋物線C的方程；2過點F作直線交拋物線C于A，B兩點假設直線AO，BO分別交直線l：yx2于M，N兩點，求|MN|的最小值答案與解析1答案D 解析設Ax1，y1，Bx2，y2，Mx0，y0，那么相減得y1y2y1y24x1x2，當l的斜率不存在時，符合條件的直線l必有兩條；當直線l的斜率k存在時，如圖x1x2，那么有·2，即y0·k2，由CMAB得，k·1，y0·k5x0,25x0，x03，即M必在直線x3上，將x3代入y24x，得y212，2y02，點M在圓上，x052yr2，r2y412416，又y44，4r216，2r4