1、目 錄第三章曲面的第一基本形式27§ 3.1 正則參數曲面27一、參數曲面27二、參數變換28三、正則曲面29四、正則曲面的例子30§ 3.2 切平面和法線33一、曲面的切空間，切平面和法線33二、連續可微函數的等值面34三、微分的幾何意義35§ 3.3 第一基本形式35§ 3.4 曲面上正交參數曲線網的存在性38§ 3.5 保長對應和保角對應40一、曲面到曲面的連續可微映射40二、切映射40三、保長對應(等距對應)42四、保角對應(共形對應)44§ 3.6 可展曲面45第三章 曲面的第一基本形式本章內容：曲面的定義，參數曲線網，切平

2、面，單位法向量，第一基本形式，正交參數網，等距對應和共形對應，可展曲面計劃學時：12學時，含習題課4學時.難點：正交參數網的存在性，等距對應和共形對應§3.1 正則參數曲面一、參數曲面從平面的一個區域(region，即連通開集)到中的一個連續映射的象集稱為中的一個參數曲面(parameterized surface). 在中取定正交標架，建立笛卡爾右手直角坐標系.則參數曲面可以通過參數(parameter)表示成參數方程， (1.1)或寫成向量參數方程，. (1.2)為了使用微積分工具，本書中要求向量函數都是3次以上連續可微的.圖3.1-曲線：讓固定，變化，向量的終點描出的軌跡.-曲

3、線，參數曲線網. 直觀上，參數曲面就是將平面中的區域經過伸縮、扭曲等連續變形后放到歐氏空間中的結果. 曲紋坐標，即.一般來說，由(1.1)給出的連續映射并不能保證曲面上的點與該點的參數之間是一一對應的. 為了使得曲紋坐標能真正起到坐標的作用，需要對參數曲面加上正則性條件. 定義 設為中的參數曲面. 如果在點，兩條參數曲線的切向量， (1.3)線性無關，即，則稱或是的正則點(regular point). 如果上每一點都是正則點，則稱是正則參數曲面.以下總假定是正則曲面. 在正則曲面上每一點，由于， (1.4)通過重新選取正交標架，不妨設.根據反函數定理，存在的鄰域，使得有連續可微的反函數，即有

4、.此時有的鄰域和同胚映射. 從而有連續映射. 于是在的鄰域內可用參數方程表示為， (*) 或表示為一個二元函數的圖像，其中. (1.5)上式稱為曲面片的Monge形式，或稱為的顯式方程. 從(*)式可見是一一對應，從而也是一一對應. 這說明正則性條件至少保證了局部是一一對應. 為了確定起見，以下約定正則曲面與其定義域之間總是一一對應的，從而參數可以作為曲面上點的曲紋坐標. 反之，由顯式方程表示的曲面總是正則的：如果， (1.6)則，從而.二、參數變換曲面的定向(orientation)：對于曲面，規定所指的一側為的正側.由于參數曲面的參數方程中，參數的選擇不是唯一的，在進行參數變換(trans

5、formation of parameter)時，要求參數變換 (1.8)滿足：(1) 是的3次以上連續可微函數；(2) 處處不為零.這樣的參數變換稱為可允許的(compatible)參數變換.當時，稱為保持定向(preserve the orientation)的參數變換.根據復合函數的求導法則，在新的參數下，.因此. (1.10)上式說明在可允許的參數變換下，正則性保持不變；在保持定向的參數變換下，曲面片的正側保持不變. 三、正則曲面正則參數曲面在具體應用總是十分方便，十分廣泛的. 但是有的曲面不能夠用一張正則參數曲面來表示，例如球面.將與等同，賦予普通的度量拓撲，即以的標準度量確定的拓撲

6、.定義1.1 設是的一個子集，具有相對拓撲. 如果對任意一點，存在在中的一個鄰域(，其中是在中的鄰域)，和中的一個區域，以及同胚，使得是中一個正則參數曲面，則稱是中的一張正則曲面(regular surface)，簡稱曲面.上述的鄰域和同胚的逆映射合在一起，將稱為該曲面的一個局部參數化(local parameterization)，或坐標卡(coordinate chart).注的拓撲是作為的子集從誘導的相對拓撲，即作為的拓撲子空間的拓撲. 如果兩個局部參數化，滿足，那么正則參數曲面就有兩個參數表示和. 由此自然產生了參數變換.利用正則參數曲面的3次以上連續可微性和正則性，可以證明上述參數變

7、換是可允許的. 直觀上看，正則曲面是由一些正則參數曲面“粘合”而成的. 只有那些與參數的選擇無關的量才是曲面本身的幾何量. 如果一個正則曲面有一族保持定向的局部參數化(為指標集)，使得構成的開覆蓋，則稱該曲面是可定向的(orientable). 除非特別指出，本課程一般是研究正則參數曲面的幾何性質，稱之為“局部微分幾何學”. 以下所說的“曲面”一般都是正則參數曲面，包括習題中出現的“曲面”.四、正則曲面的例子圖3.2例1.1 圓柱面(cylinder) ，. (1.15)其中.當時，圓柱面上少了一條直線.如果取，上面的直線在參數曲面上，但是又少了一條直線. 顯然是任意階連續可微的. 又，.所以

8、圓柱面是正則曲面. 圓柱面也可以用一個坐標卡表示：，.所以圓柱面是可定向的.圖3.3例1.2 球面(sphere) ，參數方程為，. (1.16)其中. 由于，所以球面是正則曲面.問題：球面至少需要幾個坐標卡才能將它覆蓋？(參見習題2)圖3.4例1.3旋轉面(revolution surface) 設是平面上一條曲線，其中. 將繞軸旋轉得到的旋轉面參數方程為，. (1.18)旋轉面上的u-曲線稱為緯線圓，v-曲線稱為經線. 因為，所以當是正則曲線，并且時，是正則曲面.圖3.5例1.4 正螺面(hericoid) 設兩條直線和垂直相交. 將直線一方面繞作勻速轉動，同時沿作勻速滑動，的運動軌跡叫做

9、正螺面(螺旋面). 取初始位置的直線為x軸，為z軸，建立右手直角坐標系. 則正螺面的參數方程為，. (1.19)由，可知正螺面是正則曲面. 例1.5 直紋面(ruled surface)簡單來說，直紋面就是由單參數直線族構成的曲面. 設 ()是一條空間正則曲線. 在上對應于參數的每一點有一條直線，其方向向量為. 這條直線的參數方程可以寫成.讓在區間內變動，所有這些直線就拼成一個曲面，稱為直紋面. 它的參數方程為，.(1.20)曲線稱為該直紋面的準線(directrix)，而這個單參數直線族中的每一條直線都稱為直紋面的一條直母線(generating line)，也就是直紋面的-曲線. 為了保證

10、直紋面的正則性，要求. (1.21)因為直母線的方向向量，通過參數變換，可設. 再通過選取新的準線，其中是待定的函數，使得直母線處處與準線垂直相交，即. 因為，只須取即可.1. 當為常向量時，所有的直母線互相平行，直紋面稱為柱面(cylindrical surface). 2. 當所有的直母線都經過一個定點時，直紋面稱為錐面(cone). 3. 當時，稱為切線曲面(tangent surface)，由準線的所有切線構成. 這3種直紋面有共同的特征，在§3.6還要進一步討論. 課外作業：習題2，5§3.2 切平面和法線一、曲面的切空間，切平面和法線設是中一個正則曲面，是曲面上

11、點的曲紋坐標. 設是上任意一個固定點. 則上過點的一條可微(參數)曲線可以表示為， (2.2)其中 (2.1)是中一條可微曲線(不一定是正則曲線)，滿足，. 因此，正是點的位置向量. 曲線在點的切向量為. (2.3)圖3.1定義2.1曲面上過點的任意一條連續可微曲線在該點的切向量稱為曲面在點的一個切向量(tangent vector). 命題曲面在點的切向量全體記為，它是一個2維實向量空間，是的一個基. 事實上，稱為曲面在點的切空間(tangent space). 證明 記. 由(2.3)可見. 反之，對任意，令. 則是過的可微曲線，并且.所以. 因此，從而.顯然按照向量的加法和數乘構成一個向

12、量空間. 由于線性無關，它們構成的基. 在空間中，經過點，以兩個不共線向量為方向向量的平面稱為曲面在點的切平面(tangent plane). 切平面的參數方程為，. (2.6)它的單位法向量(unit normal vector)為. (2.7)經過點且垂直于在點的切平面的直線稱為曲面在點的法線(normal line). 它的參數方程為，. (2.8)曲面在點的切空間、切平面、法線這三個概念都是與參數選擇無關的幾何概念. (為什么？)曲面上的自然標架：. 圖3.6二、連續可微函數的等值面設是一個區域，是定義在上的連續可微函數. 對于一個常數，集合稱為函數的等值面. 如果在的每一點，都有，

13、(2.9)則等值面是一個正則曲面. 事實上，設在，有，則方程(2.10)在點的鄰近確定了一個隱函數，使得，.于是等值面局部地可以用參數方程表示為.(2.11)由于，等值面是正則曲面.在等值面上每一點，梯度向量是一個法向量，即是與切平面垂直的向量.事實上，由(2.11)可得切空間的基底. 由(2.10)兩邊分別對求偏導數并注意，得，即有，.三、微分的幾何意義設曲面的參數方程為. 微分得到. (2.13)將看作4個獨立的變量，則對于(2.13)中的不同取值，就得到不同的切向量.有時也用比值來表示曲面上的一個切方向. 自然，這時要求不能全為0.變量是切向量關于切空間的基底的分量，因此是向量空間上的線

14、性函數，即(對偶空間). 事實上，按照定義.同理，.注. 由于切空間的自然基底一般不是單位正交的，在把看作切向量在這個基底下的分量計算內積時，不能將它當作笛卡爾坐標系下的分量來進行運算，而應當顧及自然基底的度量系數(參看下一節). 課外作業：習題1，3，5. §3.3第一基本形式設是中一個正則參數曲面. 則 (3.1)是曲面上任意一點處的切向量，這個向量作為中的向量可以計算它的長度. 令，. (3.2)這三個函數稱為曲面的第一類基本量.而矩陣 (3.3)稱為切空間(關于基底)的度量矩陣(metric matrix).由于的度量是正定的，這是一個正定矩陣. 事實上，它的2個順序主子式均

15、：，. (Lagrange 恒等式)利用第一類基本量的定義，有.這是一個關于變量的二次型，稱為曲面的第一基本形式(first fundamental form)，記為. (3.4)對曲面作可允許的參數變換， (3.5)并記.則由微分形式的不變性得. (*)記參數變換(3.5)的Jacobi矩陣為.(3.10)則有，(3.7, 3.9). (3.8)因此在新的參數下，度量矩陣成為， (3.12)從而第一類基本量之間的關系為 (3.13)在新的參數下，第一基本形式保持不變：. 因此第一基本形式與參數選擇無關，也與的標架選擇無關，是一個幾何量. 其實，這一結論也可由微分形式不變性，也就是(*)式直接

16、得到：. 如果和是處的兩個切向量，則它們的內積為. (3.15)因此切向量的長度為. (3.16)兩個切向量和之間的夾角滿足. (3.17)它們相互正交的充分必要條件是. (3.18)定理3.1 在參數曲面上，參數曲線網是正交曲線網.對于參數曲面上的一條曲線，它的弧長為. (3.21)定義稱為曲面, 的面積元素，稱 (3.18)為曲面的面積.命題 曲面上曲線的弧長，曲面的面積元素以及曲面的面積都是幾何量.證明 假設參數變換為，其中.則在新參數下，的參數方程與原參數方程之間滿足.1. 曲線的參數方程由變成了.所以.2. 由(3.12)可見，在新參數下，第一類基本量滿足.其中是的逆映射的Jacob

17、i行列式. 另一方面根據二重積分的變量代換公式，.所以在新參數下的面積元素.3. 根據二重積分的變量代換公式，有. 例1 求旋轉面的第一基本形式. 解 ，.所以，.這說明在旋轉面上，經線和緯線構成正交曲線網. 第一基本形式為. (3.24)這說明在旋轉面上經線(v-曲線)和緯線(u-曲線)構成正交參數曲線網. 例2求曲面上參數曲線網的二等分角軌線的微分方程.解設正則參數曲面的第一基本形式是.再設二等分角軌線的切向量為.由題意，它與u-曲線的夾角要等于它與v-曲線的夾角，而u-曲線的切方向為，v-曲線的切方向為，所以.將和代入上式，得，即.由于，即，所以上式可化簡為， (3.25)或等價地，參數

18、曲線網的二等分角軌線的微分方程為.注 求解一階常微分方程初值問題，()得到的解是曲面上過點的一條曲線，在的每一點，切方向與該點處的兩條參數曲線的切方向夾角相等.固定，讓初始條件變動，就得到2族這樣的曲線，它們就是參數曲線網的二等分角軌線. 課外作業：習題2，5，8§3.4曲面上正交參數曲線網的存在性在正交參數曲線網下，第一基本形式比較簡單：. 問題：曲面上是否存在正交參數曲線網？引理設是定義在區域上的連續可微的1次微分形式，且處處不為零. 則對于任意一點，在的某個鄰域內存在積分因子，即有定義在上的非零連續可微函數，使得是某個定義在上的連續可微函數的全微分：. 引理的證明見附錄

19、7;1定理1.2. 定理4.1 假定在曲面上有兩個處處線性無關的、連續可微的切向量場, . 則對每一點，必有點的一個鄰域，使得在上存在新的參數，滿足，. 分析：設，. (4.2)則由線性無關可知. (4.3)如果這樣的可允許參數變換存在，則應有函數使得， (4.5)即有. (4.7)在上述等式兩邊取逆矩陣得. (4.8)因此逆參數變換應滿足 (4.9)定理4.1的證明：考慮兩個1次微分形式，. (4.10)由引理可知存在積分因子使得是全微分，即有函數，使得 (4.11)由此可見. (4.12)因為，參數變換是可允許的. 在新的參數下，同理有. 注滿足條件的新參數僅是局部存在的，并且不能使得.

20、定理4.2在曲面上每一點，有點的一個鄰域，使得在上存在新的參數，滿足.證明. 取向量場. 則線性無關，且. 注在曲面上，令，. 則是曲面上的單位正交切向量場，稱為的Schmidt正交化. 課外作業：習題1，3§3.5保長對應和保角對應一、曲面到曲面的連續可微映射設有兩個曲面和. 因為曲面上的點與它的參數(曲紋坐標)是一一對應的，從曲面到曲面的映射可以通過它們的參數表示出來，即有映射使得，或.將映射通過它們的參數用兩個函數表示出來，則有 (5.1)如果(5.1)中的兩個函數都是連續可微的，則稱映射是連續可微的. 這一概念在曲面的可允許參數變換下保持不變，因此與這兩個曲面的參數取法無關.

21、以下總假定映射有足夠的連續可微性. 二、切映射設兩個曲面的參數方程分別為和，.映射是連續可微的，它的參數表示為，其中. (5.1)則對每一點，可以通過下面的方法定義一個線性映射，其中. (5.9)上面定義的映射稱為由連續可微映射誘導的切映射.由上面的定義可見切映射把映為.在(5.9)中令，可知在切映射下的象是. (5.9)由于每個切向量都是上的某一過點的曲線， (5.2)在點的切向量：，其中為點的曲紋坐標，且，(見(2.3)式)，切映射也可以用另一種方法來定義：將上的曲線映為上的曲線，. (5.3)定義為在處的切向量，即 (5.5). (5.4)在(5.3)中分別取和，可得. (5.7)因此切

22、映射在自然基下的矩陣恰好是映射的Jacobi矩陣. 由此可知在點切映射是線性同構，當且僅當在點映射(5.1)的Jacobi行列式.定理5.1 設映射是(3次以上)連續可微的. 如果在點切映射是線性同構，則分別有點的鄰域和點的鄰域，以及上的參數系和，使得映射的參數表示為，其中.這種參數系稱為映射的適用參數系.證明 設的參數方程分別為和，的參數表示為.由條件，. 設點的曲紋坐標為，點的曲紋坐標為. 由于是連續的，存在在中的鄰域，使得在上，且在上有連續可微的反函數，其中是在中的鄰域. 在上對曲面作參數變換. 在上對曲面作參數變換. 則在新的參數下，的參數表示為.三、保長對應(等距對應)設是連續可微映

23、射，和分別是的曲紋坐標. 的參數表示為.因為，對于曲面上的任意一個二次微分式， (5.11)我們可定義曲面上的一個二次微分式， (5.12)其中，. (5.15)其中作為復合函數，是的函數，即(5.13)二次微分式稱為上的二次微分式經過映射拉回(pull back)到上的二次微分式.簡單來說，就是將代入(5.11)右端而得. 例 曲面上的第一基本形式是一個二次微分式. 拉回到上，由于，上式可以簡單地寫成 (*)定義5.1設映射是3次以上連續可微的. 如果對每一點，切映射都保持切向量的長度，即，.則稱是從到的保長對應(correspondencepreservinglength)，或稱等距對應(

24、isometry). 注1. 保持向量長度的線性映射一定保持內積，因此若是等距對應，則有，. 反之，保持內積的線性映射也一定保持向量的長度.而且，保長對應也保持連續可微曲線的弧長，即有.注2. 保持內積的線性映射必定是線性同構. 因此對于保長對應，在每一點，切映射都是線性同構，從而局部地是微分同胚，存在適用參數系.由(5.9)可知.利用(*)得到，其中是的第一基本形式. 于是有定理5.2設映射是3次以上連續可微的. 則是等距對應的充分必要條件是，即在對應點，成立. (5.20)將上式按矩陣乘法算出來，可以得到類似于(5.13)的等式. 如果已知2個曲面，是否存在等距對應？這相當于已知(5.20

25、)中的函數，求解未知函數，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非線性一階偏微分方程組，一般來說求解非常困難. 利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到定理5.3曲面和之間存在保長對應的充分必要條件是，可以在和上選取適當的相同參數系，使得在這個參數系下和有相同的第一基本形式. 例5.1證明：螺旋面:，與單葉旋轉雙曲面，之間可以建立等距對應. 證明 計算得到和的第一基本形式分別為，.對作參數變換，這是可允許參數變換. 則.對作參數變換. 則.等距對應的參數表示為.四、保角對應(共形對應)定義5.2設映射是三次以上連續可微的一一對應. 如果， (5.22)其中，則稱是從到的保角對應

26、，或稱共形對應(conformal correspondence).注對于保角對應，在每一點，切映射都是線性同構，否則無意義.因此可以選取適用參數系使得映射就是具有相同參數的點之間的對應.引理 設是兩個歐氏空間(即帶有內積的實向量空間)，是線性同構. 如果保持向量之間的夾角：，則，使得. (1)反之，若，使得(1)成立，則保持向量之間的夾角.證明取的單位正交基. 因為是同構，是的基，且兩兩正交. 令， ， .則是的單位正交基，且， . (2)對于，由條件，有，所以.這說明. 于是對，有，從而(1)成立. 反之，設(1)成立. 則，,. (3)從而對任意兩個非零向量，有. 推論設映射是三次以上連

27、續可微的一一對應. 則是保角對應的充分必要條件是存在上的正的連續函數，使得， (5.22)其中是點的曲紋坐標.當函數時，其實就是保長對應. 像前面一樣，條件(5.22)等價于， (5.23)即有.所以在適用參數系下，保角對應的條件(5.22)就簡化為. (5.24)綜上所述，我們就有下面的定理. 定理5.4設映射是三次以上連續可微的一一對應.則是保角對應的充分必要條件是存在上的正的連續函數，使得， (5.23)其中，分別是，的第一基本形式.定理5.5任意正則參數曲面必局部共形于平面，即上任意一點都有一個鄰域可以與平面上的一個區域建立共形對應.由此可知任意兩個正則參數曲面都可以建立局部共形對應.

28、推論 任意正則曲面上均存在局部的等溫坐標系，即，局部地可選取參數使得，其中是局部定義的函數.定理5.5的證明從略.但是上面的推論是非常重要的，是研究參數曲面常用的方法.例5.2 球面的Mercator投影課外作業：習題1§3.6可展曲面本節研究一類特殊的直紋面，它們都能夠與平面建立局部的等距對應. 圖19考慮下面的三種直紋面：1. 柱面，其中是常向量，.2. 錐面，其中是常向量，.3. 切線曲面，其中，.它們的單位法向量分別是 1.；2.；3.這說明這三種直紋面有相同的特點：沿著一條直母線切平面相互重合.定義6.1 設為直紋面. 如果它的切平面沿每一條直母線是不變的，則稱為可展曲面.

29、定理6.1 設直紋面的方程為. 則是可展曲面的充要條件是. (6.1)證明 因為，所以.由定義，是可展曲面的充要條件是：對，沿著直母線，向量具有固定方向. 由第一章定理2，這等價于，即，也就是. 用二重外積公式將上式左端展開，得. 所以上式等價于這就是(6.1). 注1 如果直紋面上有2族不同的直母線，那么只能是單葉雙曲面，雙曲拋物面或平面. 單葉雙曲面，參數方程為.雙曲拋物面，參數方程為.注2條件(6.1)與準線取法無關，也與直母線方向向量的長度無關.定理6.2局部來說，可展曲面只有柱面、錐面和切線曲面這三類. 證明 設是可展曲面. 則是直紋面. 選取直母線的方向向量為單位向量，并且準線處處與直母線垂直，即的參數方程為，其中，. 由定理