1、 .wd.本科畢業論文題目：剛體轉動慣量及其計算方法目 錄1、引言12根本概念12.1描述剛體位置的獨立變量12.2剛體運動的分類23 剛體力學中的質量和慣性23.1剛體力學中的慣性運動23.2慣性運動在剛體力學中的應用34剛體的幾種根本運動34.1 定軸轉動34.2剛體平面平行運動34.3定點轉動44.4一般運動45 剛體轉動慣量的計算方法45.1 轉動慣量的引入45.2轉動慣量的計算方法65.2.1定義法65.2.2慣量橢球法75.2.3 慣量主軸法85.2.4 實驗方法測量95.2.5陀螺運動的描述106 結論13參考文獻：14致謝15剛體轉動慣量及其計算方法摘要：在剛體動力學中，有大量

2、的篇幅研究剛體的轉動問題，無論是定軸轉動、平面平行運動，還是繞定點的轉動，其動力學方程中均含有轉動慣量。轉動慣量在剛體力學中有很重要的的地位，相當于質點在動力學中的質量地位相當，應用較為廣泛.本文對質量各種分布剛體的轉動慣量進展淺談，及對定點轉動問題進展定量分析.關鍵詞：剛體;運動;轉動慣量;定點轉動.1、引言隨著科學技術的迅猛開展，轉動慣量作為一個重要的工程參數，在越來越多的領域受到重視，如何更方便，快捷，準確的計算轉動慣量成為了一個迫切需要解決的問題。轉動慣量等于剛體中每個質元的質量與這一質元到轉軸的垂直距離的平方的乘積的和，而與質元的運動速度無關。與質點的平動動能比擬而言，轉動慣量相當于

3、平動時的質量。物體轉動時轉動慣量是表示物體在轉動中慣性大小的量度。關于轉動慣量的研究由來已久，現在所取得的成果就是前人一點一滴積累來的。本文將在此根底上，本著循序漸進的原那么，對轉動慣量及多種計算方法進展探討。近年來伴隨著高新技術的日新月異，對物體轉動慣量，尤其是對非均質不規那么物體早點過來的深入性研究，已經對未來的航空、航天、軍事及精細儀器制造等高精尖行業產生了深遠的影響。2根本概念2.1描述剛體位置的獨立變量在大多數問題中，是要確定物體在外力作用下，它的位置如何隨時間變化，赤即確定它的運動規律。我們知道：質點是被抽象為沒有大小的幾何點但有一定的質量。因此，要確定質點在空間的位置，需要三個獨

4、立變量，例如或。AOB圖2-1一個質點既然要三個獨立變量來確定它的位置，那么有個質點組成的剛體，似乎應當有個獨立變量才能去定它在空間中的位置。其實不然，剛雖然是有個質點組成，但因為任意兩點間的距離保持不變，所以只要確定了剛體內不在一條直線上的三點的位置，剛體的位置就能確定。這是因為如果確定了剛體中兩點的位置，剛體還可繞著這兩點的直線轉動；如果再在剛體中把不知這條直線共線的另一點的位置固定，那么剛體就不能做任何運動了。每一個質點既然要三個獨立變量來確定它的位置，而確定剛體的位置需要確定剛體內不共線的三點圖 2-1的位置，因此，確定剛體位置需要九個變量。但因三點間三個距離和是數，所以實際上只要用六

5、個獨立變量就可以定剛體位的置。不共線的三點確定剛體位置是，剛體內任選取一點，然后通過點選取任一個直線作為轉動軸，那么要確定點的位置需三個獨立變量，要確定軸線在空間中的位置取向需三個獨立變量即這軸線的方向余弦，而要確定剛體繞這軸線轉了多少角度，又要一個變量。在這七個變量中，三個方向余弦是不互相獨立的它們的平方和為1。這就是到現在最優的方法，但也不是很理想。2.2 剛體運動的分類上面已經提到：剛體用六個獨立變量就可以定剛體位的置，所以其最一般的運動，是具有六個獨立變量的平動與轉動的組合。但在某些條件的約束下，剛體可以作少于六個獨立變量的運動。如：剛體作運動時的獨立變量是三個、定軸轉動時的獨立變量是

6、一個、作平面運動時的獨立變量是三個、作定點轉動時也只有三個獨立變量，作一般運動時剛體不受任何約束，可以在空間任意運動，但可分解為質心的平動三個獨立變量與繞通過質心的某某直線的定點轉動三個獨立變量.因此剛體作一般運動時有六個獨立變量。3 剛體力學中的質量和慣性3.1 剛體力學中的慣性運動從動力學的角度講，慣性運動僅適用于質點或僅適用于平動。慣性和慣性運動是有區別的，慣性包括平動慣性和轉動慣性；平動慣性與其質量“M有關，轉動慣性與其轉動慣量“I有關。當剛體轉動時，剛體上各點作曲線運送，用單一的運動學特征不能完全反映出剛體復雜的運動狀態，也不能完全反映出慣性運動的本意。所以，該進一步研究動力學的特征

7、，即：剛體的動量，動量矩動能等。從剛體的慣性和慣性運動的含義及動力學的定律出發，可定義為剛體的動量和動量矩均守恒的運動成為剛體的慣性運動，即 3-1為了更確切地定義剛體的慣性運動還得滿足作用于剛體上的合作用力為零與合作用力矩為零，即 3-2由(3-1)(3-2)式得出的這一剛體的慣性運動也是 質點慣性運動的推廣。根據(3-1)(3-2)式其中的一個就能判斷一個剛體是否作慣性運動。3.2 慣性運動在剛體力學中的應用. 剛體作定軸轉動時的慣性運動 剛體繞固定軸作勻角速轉動時有兩種情況。一是固定，二是固定軸通不過質心。對剛體繞軸通過質心的固定軸轉動情況看，滿足式 (3-1)的可以看成是慣性運動，剛體

8、定軸轉動的慣性運動也是由 來確定，可按慣性運動的規律來處理這類問題。如固定軸通不過質心那么不能用簡單的慣性運動的規律來處理這類問題，在這種情況下，雖然某一方面保持了物體原來的狀態，而且總動量矩為零，但總動量不一定為零，所以這種情況不能看作是慣性運動，這一點就是研究質點與剛體時利用動力學規律處理慣性問題的不同之處。.剛體作定點轉動時的慣性運動 質心與定點重合，外力矩 此時，剛體可能的運動有三種情況，第一種是繞中心的慣量線軸作勻角速轉動；第二種是對固定于慣性空間和這一特別選定的坐標做規那么運動；更一般的運動。這三種運動中，因為以質心為定點，所以，按著第3-1式，這三種情況都是定點慣性運動。4塞曼效

9、應的實際用途剛體的幾種根本運動4.1 定軸轉動 圖 4-1如果剛體運動時，其中有兩個點始終不動，那么因為兩點可以決定一條直線，所以這條直線上的質點都固定不動，整個剛體就繞著這條線轉動，這條折現叫做轉動軸，而這種運動叫做繞固定軸轉動簡或稱定軸轉動。我們要知道剛體繞這條直線轉了多少角度，就能確定剛體的位置。因此，剛體做定軸轉動時只有一個獨立變量。如 圖 4-14.2 剛體的平面平行運動在剛體運動過程中，假設體內任一點到某固定平面的距離始終保持不變，那么稱該剛體的運動為平面平行運動，簡稱平面運動。剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在自身固定平面內的運動。今后說到平面圖形的運動，就是指剛體的平面運動。這

10、是運動可分解為某一平面內任一點的平動兩個獨立變量及繞通過此點且垂直與固定平面的固定軸的轉動一個獨立變量，所以剛體作平面運動時有三個獨立變量。如 圖4-2所示：圖 4-24.3 定點轉動剛體在運動過程中有一點永遠保持不動。整個剛體就繞著通過這一點的某一瞬時軸運動，這種運動稱為定點轉動。此時轉動軸并不固定于空間因只通過一個點與定軸轉動時的情形不同，我們要用兩個獨立變量才能確定瞬時軸運動的取向，再用一個變量確定剛體繞這條軸線轉了多少角度，所以剛體作定點轉動時也只有三個獨立變量。如拖累的運動 (圖 4-3 )圖 4-34.4一般運動剛體不受任何約束，可以在空間任意運動但可分解為質心的平動三個獨立變量與

11、繞通過質心的某某直線的定點轉動三個獨立變量.因此剛體作一般運動時有六個獨立變量。5 剛體轉動慣量的計算方法5.1 轉動慣量的引入為引入轉動慣量，剛體可看成是由個質點組成，剛體可繞固定軸轉動，于是剛體上每質點都繞軸作圓周運動。在剛體上取質點，其質量為，繞軸作半徑為的圓周運動。設質點受兩個力作用，一個是外力，另一個是剛體中其它質點作用的內力，并設外力和內力均在與軸相垂直的同一平面內。由牛頓第二定律，質點的運動方程為 5-1表為質點的切向加速度。如以和分別表示外力和內力在切向的分力，那么質點的切向運動方程為 5-25-2式中是角加速度。切向加速度與角加速度之間的關系。5-2式兩邊各乘以得5-3式中和

12、分別是外力和內力切向分力的力矩。考慮到外力和內力在法向的分力和均通過轉軸，所以其力矩為零。故上式左邊也可理解為作用在質點上的外力矩與內力矩之和。假設普及所有質點，可得5-4由于剛體內各質點間的內力對轉軸的合內力矩為零，故上式為5-5)那么有5-6式中的 與剛體的形狀、質量分布以及轉軸的位置有關，也就是說，它只與繞定軸轉動的剛體本身的性質和轉軸的位置有關，叫轉動慣量。對于繞定軸轉動的剛體，它為一恒量，以表示，即5-7)5-7)代入5-6就有 5-85-8式表示剛體繞定軸轉動時的與牛頓第二定律等效的動力學方程。可見，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比，這個關系叫做定軸轉

13、動時剛體的轉動定律，簡稱轉動定律。把式5-8與描述質點運動的牛頓第二定律的數學表達式相比照可以看出，它們的形式很相似：外力矩和外力相對應，角加速度與加速度相對應，轉動慣量與質量相對應。轉動慣量的物理意義也可以這樣理解：當以一樣的力矩分別作用于兩個繞定軸轉動的不同剛體時，它們所獲得的角加速度一般是不一樣的。轉動慣量大的剛體所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉動狀態的慣性大；反之，轉動慣量小的剛體所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有的轉動狀態的慣性小。因此我們說，轉動慣量是描述剛體在轉動中的慣性大小的物理量。故下面進展討論計算轉動慣量的幾種方法。5.2 轉動慣量的

14、計算方法5.2.1 定義法由可以看出，轉動慣量等于剛體上各質點的質量與各質點到轉軸的距離平方的乘積之和。如果剛體上的質點是連續分布的，那么其轉動慣量可以用積分進展計算，即5-9在國際單位制中，轉動慣量的單位是。下面計算兩種簡單形狀剛體的轉動慣量。圖5-2例 一質量為、長為的均勻細長棒，如圖5-2所示，求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量。解設細棒的線密度為。如下圖，取一距離轉軸為處的質量元，由式5-9可得由于轉軸通過棒的中心，有如以通過棒的端點且平行于的軸為轉軸，用同樣的方法。可計算出棒對此轉軸的轉動慣量為。可見所得的結果相比，它比轉軸為時的轉動慣量要大。我們在普通物理研究中已學過計算轉動慣量

15、的最簡單的方法平行軸定律和垂直軸定律，它們的表達式分別為 (平行軸定律)和(垂直軸定律),但用這種方法來計算轉動慣量時，對一些復雜的問題不能進展充分的解析，而這些方法只限制于只計算對稱軸的轉動慣量，所以我們采用其他的方法如將要介紹的慣量橢球法。5.2.2慣量橢球法由理論力學知識知道物體在一般情況下的慣量張量為5-10 并且把它叫做對O點而言的慣量張量，而這一慣量矩陣的每一個元素軸轉動慣量和慣量積那么叫做慣量張量，也叫慣量系數。其中(5-11)及(5-12)對質量均勻分布，且形狀規那么的剛體，我們可把上兩式改寫成積分形式，即(5-13)及 5-14據5-9式 ，就叫做剛體對x軸，y軸，z軸的軸轉

16、動慣量，至于，那么因含有兩個坐標的相乘項，所以叫做慣量積。假設令轉動軸的方向余弦各位并利用5-10式容易得到一般剛體的轉動慣量,由慣量張量計算轉動慣量的計算公式5-15式中為任一轉動瞬軸相對于坐標軸的方向余弦，三個轉動慣量和六個慣量積由于對稱關系，實際上也只有三個是相互獨立的作為統一的一個物理量，來代表剛體轉動時慣性的量度。由于慣量系數都是點坐標的函數，所以，如果利用靜止坐標系，那么剛體轉動時，慣量系數亦將隨之而變，這顯然是很不方便的。因此，通常都選取固連在剛體上，隨著剛體一同轉動的坐標系，這樣慣量系數都將是常數。動坐標系的原點和坐標軸只需固定在剛體上即可，坐標軸的取向那么完全可以任意選取。因

17、此，我們可以利用這一性質，同時消去轉動慣量中慣量積，以使問題更為簡化。為了消去慣量積，一般是采用下面介紹的方法。如果我們在轉動軸，載取一線段，并且使為剛體繞該軸時的轉動慣量，那么點的坐標為因為通過有很多轉軸，按照上面所講的方法，就應有很多的點，些點的軌跡方程為利用及式5-15 5-15這是中心在點的二次曲面方程，一般來講，它是閉合曲面，因為不等于零，是R趨于無限大，古5-15式代表一個中心在點的橢球，這就是我們推導的慣量橢球方程。如果為剛體的中心或重心那么所作出的橢球叫做中心慣量橢球按5-19式畫出橢球后，據的關系，由某軸上矢徑R的長，計算出剛體繞該軸的轉動慣量I，雖然用慣量橢球可以計算轉動慣

18、量，但我們的主要目的并不在此，我們的主要目的是如何用它來消去慣量積，所以下面再次討論消去慣量積的方法。5.2.3 慣量主軸法因為每個橢球都有相互垂直的三條主軸，如果是這些主軸為坐標軸，那么橢球方程中含有異坐標項城的項統統消失，慣量橢球的主軸叫慣量主軸，而對慣量主軸的的轉動慣量叫主轉動慣量，并以表之，因為慣量積已都等于零，無需再用兩個下角標，如果取點上的慣量主軸為坐標軸，那么慣量橢球的方程將簡化為 5-16此時系數就是點上的主轉動慣量，而慣量積那么統統等于零。所以選取慣量主軸為坐標軸，問題就能得到簡化。以上討論中顯然消去6個慣量積，在定點轉動中，定點轉動如陀螺運動中,由于轉動軸在空間的取向隨時變

19、化,這種情況在轉動定律中出現多余的力矩，也就是說角動量和角速度矢量不一致的原因，下面進一步討論這個問題。5.2.4 實驗方法測量 對于形狀不規那么的剛體我們可以通過實驗方法直接測量。其根本方法和裝著圖樣如下：圖5-7測量剛體轉動慣量實驗裝著圖 5-7 所示，質量為m 的剛體放在承物臺上，然后用細線連接砝碼的一端。測出砝碼所降的距離h ，時間為 t，記錄下來滑輪的質量和滑動摩擦力都可以忽略。實驗裝原理的解釋：裝著中有兩種運動，一個是轉動，另一個是勻變速機械運動，我們靈活應用這兩種運動的規律，可以計算形狀不規那么剛體的轉動慣量。假設用來表示形狀不規那么剛提的轉動慣量、圓盤的轉動慣量為： 那么總得轉

20、動慣量可表為：而轉動局部的運動規律為：其中表示圓盤的角加速度，F的大小等于砝碼所受的重力大小，它和圓盤切向加速度的關系測出砝碼所降的距離 h ，時間 t以后，砝碼的運動方程為因h是確定，而時間可以用時間表來記錄。從而可以計算線加速度。從式可以計算，它的值為：代入數據可以算出，且 由 代入式，無規那么的剛提的轉動慣量為： 5.2.5陀螺運動的描述定點轉動如陀螺運動中,由于轉動軸在空間的取向隨時變化,是三維空間問題,需要用兩個坐標系、三個獨立變量來描述。以固定點O為坐標系原點，,為空間固定坐標系，為固定在轉動體上隨轉動體一起轉動的動坐標系.陀螺某時刻的位形如 圖5-7 所示：圖5-8歐拉角的變化范

21、圍為：在這范圍內的歐拉運動學方程為：5-17和如下的歐勒動力學方程為：5-18式5-18中表示對每個轉軸的力矩.利用上面六個方程原那么上可求解剛體的所有定點運動問題,但由于上述六個方程都是互相耦合的非線性常微分方程,其求解是相當繁難的,有時甚至是不可能的,因此到目前為止,只有三種情況可求出其準確的解析解,這三種情況是:歐勒-潘索情況、拉格朗日-泊松情況、柯娃列夫斯卡婭情況,現在只討論第一種相對簡單的情況.對于對稱重剛體,歐勒動力學方程變為：5-19一般理論力學教材的解法是:對5-19的第三方程取積分得(常量),然后將之代入5-19-(1)，(2)兩式得和,，再求解上述兩個二階微分方程等等。這種求解方法比擬繁難,為此,本文給出一種較為簡單的方法.由于,由動量矩定理知,為常矢量表示角動量,為此,取的方向沿靜止坐標系的軸方向,那么在動系OZ軸上的投影為： 5-20又因為 (常量) 5-21由5-20、5-21兩式知為常量,令,那么此時歐勒運動學方程變為：5-22由5-22)中第一，第二兩式得：5-23又因5-24由(5-20)、(5-21)兩式,得：5-25比擬(5-24)、(5-40)兩式,得： 5-26由(5-