1、同濟大學本科課程期終考試（考查）統一命題紙 A卷20062007學年第 一 學期課程名稱：彈性力學 課號： 任課教師：專業年級： 學號： 姓名： 考試（）考查（ ） 考試（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教師簽名：朱合華、許強、王君杰、李遇春、陳堯舜、鄒祖軍、賴永瑾、蔡永昌教學管理室主任簽名：1是非題（認為該題正確，在括號中打；該題錯誤，在括號中打×。）(每小題2分)（1）薄板小撓度彎曲時，體力可以由薄板單位面積內的橫向荷載q來等代。 ( )（2）對于常體力平面問題，若應力函數滿足雙調和方程，那么由確定的應力分量必然滿足平衡微分方程。 （ ）（3）在求解彈性力學問題時，

2、要謹慎選擇逆解法和半逆解法，因為解的方式不同，解的結果會有所差別。 （ ）（4）如果彈性體幾何形狀是軸對稱時，就可以按軸對稱問題進行求解。 （ ）（5）無論是對于單連通桿還是多連通桿，其截面扭矩均滿足如下等式：,其中為扭轉應力函數。 （ ）（6）應變協調方程的幾何意義是：物體在變形前是連續的，變形后也是連續的。 （ ）（7）平面應力問題和平面應變問題的應變協調方程相同，但應力協調方程不同。 （ ）（8）對于兩種介質組成的彈性體，連續性假定不能滿足。 ( )（9）位移變分方程等價于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的靜力邊界條件。（ ）（10）三個主應力方向一定是兩兩垂直的。 ( )2填空題（

3、在每題的橫線上填寫必要的詞語，以使該題句意完整。）（共20分，每小題2分）(1)彈性力學是研究彈性體受外界因素作用而產生的 的一門學科。(2)平面應力問題的幾何特征是： 。(3)平衡微分方程則表示物體 的平衡，應力邊界條件表示物體 的平衡。(4) 在通過同一點的所有微分面中，最大正應力所在的平面一定是 。(5)彈性力學求解過程中的逆解法和半逆解法的理論基礎是： 。(6)應力函數如果能作為應力函數，其的關系應該是 。(7)軸對稱的位移對應的 一定是軸對稱的。(8)瑞利里茲法的求解思路是：首先選擇一組帶有待定系數的、滿足 的位移分量，由位移求出應變、應力，得到彈性體的總勢能，再對總勢能取極值。(9

4、)克希霍夫的直法線假設是指：變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且 。(10)一般說來，經過簡化后的平面問題的基本方程有 個，但其不為零的應力、應變和位移分量有 個。3 分析題（共20分，每題10分）（1）曲梁的受力情況如圖1所示，請寫出其應力邊界條件（固定端不必寫）。 圖1（2）一點應力張量為 已知在經過該點的某一平面上應力矢量為零，求及該平面的單位法向矢量。4計算題（共40分）（1）圖2中楔形體兩側受均布水平壓力q作用，求其應力分量（體力為零）。提示：設應力函數為： （10分）圖2（2） 如圖3所示的懸臂梁結構，在自由端作用集中力P，不計體力，彈

5、性模量為E，泊松比為，應力函數可取，試求應力分量。（15分） 圖3（3） 如圖4所示，簡支梁受均布荷載和跨中集中荷載作用，試用瑞雷里茲法求解跨中撓度。撓度函數表達式分別為：(1) ；（2）。比較兩種撓度函數計算結果間的差異。（15分） 圖4 同濟大學本科課程期終考試（考查）統一命題紙 A卷 標準答案20062007學年第 一 學期1是非題（認為該題正確，在括號中打；該題錯誤，在括號中打×。）(每小題2分)（1）薄板小撓度彎曲時，體力可以由薄板單位面積內的橫向荷載q來等代。 ()（2）對于常體力平面問題，若應力函數滿足雙調和方程，那么由確定的應力分量必然滿足平衡微分方程。 （）（3）在

6、求解彈性力學問題時，要謹慎選擇逆解法和半逆解法，因為解的方式不同，解的結果會有所差別。 （×）（4）如果彈性體幾何形狀是軸對稱時，就可以按軸對稱問題進行求解。 （×）（5）無論是對于單連通桿還是多連通桿，其載面扭矩均滿足如下等式：,其中為扭轉應力函數。 （×）（6）應變協調方程的幾何意義是：物體在變形前是連續的，變形后也是連續的。 （）（7）平面應力問題和平面應變問題的應變協調方程相同，但應力協調方程不同。 （）（8）對于兩種介質組成的彈性體，連續性假定不能滿足。 (×)（9）位移變分方程等價于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的靜力邊界條件。（）（1

7、0）三個主應力方向一定是兩兩垂直的。 (×)2填空題（在每題的橫線上填寫必要的詞語，以使該題句意完整。）（共20分，每小題2分）(1)彈性力學是研究彈性體受外界因素作用而產生的 應力、應變和位移 的一門學科。(2)平面應力問題的幾何特征是： 物體在一個方向的尺寸遠小于另兩個方向的尺寸 。(3)平衡微分方程則表示物體 內部 的平衡，應力邊界條件表示物體 邊界 的平衡。(4) 在通過同一點的所有微分面中，最大正應力所在的平面一定是 主平面 。(5)彈性力學求解過程中的逆解法和半逆解法的理論基礎是： 解的唯一性定律 。(6)應力函數如果能作為應力函數，其的關系應該是 。(7)軸對稱的位移對

8、應的幾何形狀和受力 一定是軸對稱的。(8)瑞利里茲法的求解思路是：首先選擇一組帶有待定系數的、滿足 位移邊界條件或幾何可能 的位移分量，由位移求出應變、應力，得到彈性體的總勢能，再對總勢能取極值。(9)克希霍夫的直法線假設是指：變形前垂直于薄板中面的直線段（法線）在變形后仍保持為直線，并垂直于變形后的中面，且 長度不變 。(10)一般說來，經過簡化后的平面問題的基本方程有8個，但其不為零的應力、應變和位移分量有9個。3 分析題（共20分，每題10分）(1) 主要邊界： 次要邊界： (2) 一點的應力張量與該點的任意斜面上各應力分量的關系為：及 故有及 解得：由此得： 4計算題（共40分）(1)

9、 解：極坐標下的應力分量為：應力邊界條件為：將應力分量代入邊界條件，可解得： 所以應力分量解答為： (2) 解：由題可知，體力X=0，Y=0，且為彈性力學平面應力問題。1）、本題所設應力函數滿足雙調和方程： (a)2）、應力分量為： (b)3)、用應力邊界條件求待定常數A、B、C、D：應力邊界條件，在上、下表面處，必須精確滿足： (c)則有： (d)X=0的左邊界為次要邊界，利用圣維南原理則有：X方向力的等效：；對0點的力矩等效：；Y方向力的等效：。將式(b)代入上式得： (e)聯立式(d)和式(e)，解得：；(4)、應力分量為：(3) 解：1）撓度函數取為：(1) 梁的總勢能為對總勢能求駐值

10、得回代即得梁的撓度函數令，則有跨中撓度 2）撓度函數取為：梁的總勢能為對總勢能求駐值得回代并令，即得梁的跨中撓度兩種撓度函數假定下相差為 b。 完畢同濟大學本科課程期終考試（考查）統一命題紙 B卷20062007學年第 一 學期課程名稱：彈性力學 課號： 任課教師：專業年級： 學號： 姓名： 考試（）考查（ ） 考試（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教師簽名：朱合華、許強、王君杰、李遇春、陳堯舜、鄒祖軍、賴永瑾、蔡永昌教學管理室主任簽名：1、 圖1中楔形體頂端受水平集中力P作用，求其應力分量（體力為零）。提示：設應力函數為： （20分）圖12、如圖2所示的懸臂梁結構，在自由端有一

11、個微小的垂直位移，不計體力，彈性模量為E，泊松比為，應力函數可取，試求應力分量。（20分）圖23、 圖3所示懸臂梁，截面抗彎剛度EI，梁長L，豎向彈簧剛度k；懸臂端受集中荷載F作用。試用瑞雷李茲法求解懸臂端撓度和固定端彎矩。提示：梁的撓度函數可選為： （20分）圖34、圖4所示材料密度為的三角形截面壩體，一側受靜水壓力，水的密度為1，另一側自由。設壩中應力狀態為平面應力狀態：請利用平衡方程和邊界條件確定常數和。（20分）圖5圖45、如圖5所示的半無限平面，證明應力為本問題的解答。（20分）同濟大學本科課程期終考試（考查）統一命題紙 B卷 標準答案20062007學年第 一 學期1、解：極坐標下

12、的應力分量為：兩斜面應力邊界條件為： 自動滿足由隔離體平衡條件：將應力分量代入上面二式，可解得： 所以應力分量解答為： 2、 解：由題可知，體力X=0，Y=0，且為平面應力問題。1）、本題所設應力函數滿足雙調和方程： (a)2）、應力分量為： (b)3）、由物理方程得應變分量為： (c)4）、由幾何方程得出位移分量為： (d)由式(d)的前兩式積分得： (e)將上式(e)代入式(d)的第三式，整理得： (f)欲使上式恒等地成立，只能令 (g)其中，常數a，b滿足 (h)解式(g)得： (i)則位移分量為： (j)5)、由應力邊界條件和位移邊界條件求待定常數A、B、C1、C2和a、b：應力邊界條

13、件，在上、下表面處，必須精確滿足： (k)則有： (l)位移邊界條件，則有： (m)聯立解式(l)、式(h)和式(m)得： (n)6）、本題的應力分量：應力分量為： (o)3、 解：總勢能為對總勢能求駐值得回代并令即得懸臂梁撓度函數令，則有懸臂端撓度為梁彎矩為令，則有固定端彎矩為 完畢4、(一)由平衡方程(1)得：(2)(二)邊界條件(3)在邊界上：故邊界條件可寫為(4)在邊界上：故邊界條件可寫為(5)聯合方程(2)、(3)、(4)可解得5、證明：（1）應力滿足相容方程代入得：滿足。（2）滿足平衡方程將應力代入平衡方程得滿足。（3）邊界條件將應力代入得滿足。故其為本問題解答。同濟大學課程考核試

14、卷（A卷）2007 2008 學年第 一 學期命題教師簽名： 審核教師簽名：課號：030192 課名： 彈性力學 考試考查：考試此卷選為：期中考試( )、期終考試( )、重考( )試卷年級 專業 學號 姓名 得分 一是非題（正確，在括號中打；該題錯誤，在括號中打×。）(共20分，每小題2分)（1）在薄板小撓度彎曲時將邊界上的扭矩變換為靜力等效的橫向剪力，再將它與原來的橫向剪力合并成總的分布剪力來處理邊界條件問題。 （ ）（2）求解位移變分方程時所設的位移分量不必事先滿足位移邊界條件，只要滿足靜力邊界條件即可。 （ ）（3）由彈性扭轉的薄膜比擬可知，最大的剪應力應發生在橫截面周界上，找

15、到周界上斜率最大的點，就是最大剪應力所在之處，它的方向一定沿著周界在該點的切線方向。（ ）（4）如果主應力，則的方向與和的方向可以垂直也可以不垂直，但和的方向相互必須垂直。 （ ）（5） 在軸對稱問題中，與軸對稱應力對應的位移一定是軸對稱的。 （ ）（6） 平面問題中的應力協調方程與材料無關，應變協調方程與材料有關。 （ ）（7）對于單連通和多連通物體來說，應變分量滿足應變協調方程是保證物體連續的充要條件。 （ ）（8）真實解答一定滿足該彈性問題的平衡方程和物理方程。 （ ）（9）滿足平衡方程的一組應力分量，也一定滿足應力相容方程。 （ ）（10）開口薄壁桿的抗扭剛度比相同形狀同材料、同截面積

16、的閉口薄壁桿的抗扭剛度小。（ ）二填空題（在每題的橫線上填寫必要的詞語，以使該題句意完整。）（共20分，每小題2分）(1)圣維南原理：若把作用在物體 邊界上的面力用另一組與它靜力等效的力系來代替，則在力系作用區域的附近，應力分布將有顯著的改變，但在遠處所受的影響可以不計。(2)在平面問題中，取二次多項式為應力函數，對應的應力分量為 應力狀態。(3)最小勢能原理簡述為：在滿足 邊界條件的一切 中，真正的 使總勢能取最小值。(4)用伽遼金法時所選擇的位移函數式，不僅滿足 條件，而且還滿足 條件。(5)過物體內某一點總可以找到三個相互垂直的方向，這三個方向的微分線段在物體變形后只有相對伸長或縮短，而

17、且相互之間的夾角保持直角不變，該方向稱為 主方向。(6) 若已知彈性體僅受體力與面力作用，則彈性體在平衡時，體內各點的應力分量與應變分量是 的；若已知彈性體受體力與面力作用，還在部分邊界上已知位移，則彈性體在平衡時，體內各點的應力、應變以及位移分量是 的。(7)假定物體在不同方向上具有相同的物理性質，從而使應力與應變的關系不隨坐標方向的改變而改變。這個假定為 假設。(8)若t為板厚、z=0為板的中面，則薄板截面上最大正應力（絕對值）發生在薄板 處。 (9) 對于平面應變問題（z 是平面的法向），則 ，但 。(10)已知微體中主應力為，則斜截面上的正應力為 。三分析題（共20分）1、（7分）試寫出右圖所示問題的應力邊界條件2、（13分）已知彈性體某點P的應力張量為 ，三個主應力之一為，求該主應力的方向余弦和另外兩個主應力。四計算