1、3.矢量的模：矢量的模：4.單位矢量：單位矢量： ，僅用來表示方向。，僅用來表示方向。 所以：所以：kajaiaazyxaa或0rr0r0rrr注：空間直角坐標系注：空間直角坐標系X、Y、Z軸的軸的單位矢量分別為單位矢量分別為kji,5.矢量的坐標分解式（分量式）矢量的坐標分解式（分量式）矢徑（向徑：從原點出發的矢量）矢徑（向徑：從原點出發的矢量）rxiy jzkijk一般地一般地：其中，其中，ax、ay、az或或x、y、z分別稱為矢量在分別稱為矢量在X、Y、Z軸軸上的上的分量分量或或投影投影。而。而注意：分量是代數量（可正可負）注意：分量是代數量（可正可負）！恒為正恒為正所以，矢徑或其末端的

2、點所以，矢徑或其末端的點P都可以都可以用三個坐標用三個坐標（x，y，z）來表示來表示.kajaiazyx,則稱則稱分矢量（分向量）分矢量（分向量）由由 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在YOZ平面上，則平面上，則 x=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在ZOX平面上，則平面上，則 y=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在XOY平面上，則平面上，則 z=0。 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在 x 軸上，則軸上，則 y=z=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在 y 軸上，則軸上，則 x=z=0； 若若P點（或矢徑點（或矢徑 ）在）在 z 軸上，則軸上，則 x=y=0。 若若

3、P點為原點，則點為原點，則x=y=z=0rxiy jzk或或 P（x，y，z）可知：可知：rrrrrr6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向已知矢量的分量求矢量的大小和方向大小：大小：矢徑的大小：222rrxyz一般地：222xyzaaaaa方向：方向：方向角、或方向余弦：cosxaa cosyaa coszaa 7.已知矢量的模和方向角（或方向已知矢量的模和方向角（或方向余弦）求矢量的分量余弦）求矢量的分量cos,cos,cosaaaaaazyx注意：因為方向角可以是銳角或鈍角，因此方向余弦注意：因為方向角可以是銳角或鈍角，因此方向余弦可正可負，所以矢量的分量也可正可負，是代數量。可正可負，所

4、以矢量的分量也可正可負，是代數量。二、矢量的加減法二、矢量的加減法1.矢量相加的平行四邊形法則矢量相加的平行四邊形法則（見圖（見圖7-3）2.矢量相加的三角形法則矢量相加的三角形法則（見圖（見圖7-2）3.多個矢量相加的多邊形法則多個矢量相加的多邊形法則（見圖（見圖7-5）5.矢量的減法矢量的減法因為：因為：cababc由矢量相加的三角形法則可得：由矢量相加的三角形法則可得：即：從同一點出發作減矢量和被減矢量，則從減矢量即：從同一點出發作減矢量和被減矢量，則從減矢量的末端引向被減矢量末端的矢量即為所求的矢量。的末端引向被減矢量末端的矢量即為所求的矢量。4.矢量的加法所滿足的運算規律矢量的加法所

5、滿足的運算規律（1）交換律：）交換律：（2）結合律：）結合律：abbacbacbacba6.6.矢量加減的坐標表示式矢量加減的坐標表示式kajaiaazyxkbjbibbzyxkbajbaibabazzyyxx三、矢量與數量的乘法三、矢量與數量的乘法1.定義：定義：aa模（大小）：模（大小）：a方向方向當當 0時（可視為時（可視為 ） 方向與方向與 相同相同當當 0時（可視為時（可視為 ） 方向與方向與 相反相反aaaa2. 滿足的運算規律滿足的運算規律（1）與另一個數量相乘的結合律：）與另一個數量相乘的結合律： aaababaaaa3.矢量與數量相乘的坐標表示式矢量與數量相乘的坐標表示式ka

6、jaiakajaiaazyxzyx（2）分配律：）分配律：四、兩矢量的標量積（標積、數量積、點積、點乘）四、兩矢量的標量積（標積、數量積、點積、點乘）1.定義：定義：引入：恒力對作直線運動的物體所作的功：引入：恒力對作直線運動的物體所作的功：sfsFsFFsA,coscos一般地：一般地：abbababababajPrjPr,cos2.兩個推論：兩個推論：（1）20cosaaaaakkjjii1（2）若兩非零矢量）若兩非零矢量 ，則，則ba02cos0ba反之，若反之，若 ，則必有，則必有0babaikkjji0注意；注意；“點點”不能掉！不能掉！3.標量積滿足的運算規律標量積滿足的運算規律（

7、1）交換律：）交換律：babaabba,cos（2）分配律：）分配律：cbcacba（3）滿足一定條件下的結合律（略）滿足一定條件下的結合律（略）4.4.標量積的坐標（分量）表示式標量積的坐標（分量）表示式 zzyyxxzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyxzyxbababakkbajkbaikbakjbajjbaijbakibajibaiibakbjbibkajaiaba一般地：一般地：bac大小大小：babac,sin方向：方向：垂直于垂直于 所決定的平面，所決定的平面， 指向按指向按 的順序，用右的順序，用右 （手）螺旋法則確定。（手）螺旋法則確定。baba和五、兩矢量的矢量積（矢積

8、、向量積、叉積、叉乘）五、兩矢量的矢量積（矢積、向量積、叉積、叉乘）1.定義：如力矩：大小：定義：如力矩：大小：sinFrFdM力矩是矢量，方向沿轉軸，力矩是矢量，方向沿轉軸，指向按指向按 的順序，用的順序，用右（手）螺旋法則確定。右（手）螺旋法則確定。Fr注意；注意；“”不能掉！不能掉！抽象出抽象出矢量積：矢量積：FrM大小大小：FrFrM,sin方向見上方向見上rFd 2.兩個推論：兩個推論：（1）00sin0aa（2）若兩個非零矢量若兩個非零矢量 ，則：，則：ba/0sin0sin0或aa反之，若反之，若 ，則必有：，則必有：0aaba/3.滿足或不滿足的運算規律滿足或不滿足的運算規律（

9、1）不滿足交換律，而是：）不滿足交換律，而是：（2）滿足分配律：）滿足分配律：（3）滿足如下的結合律：）滿足如下的結合律：baabcbcacbabababa4.4.矢量積的坐標（分量）表示法和行列式表示法矢量積的坐標（分量）表示法和行列式表示法 kbabajbabaibabaibajbaibakbajbakbakbjbibkajaiabaxyyxzxxzyzzyyzxzzyxyzxyxzyxzyx000zyxzyxbbbaaakjiba或或5.矢量積（大小）的幾何意義矢量積（大小）的幾何意義以以 為鄰邊的平行四邊形的面積。為鄰邊的平行四邊形的面積。ba、ab作業：作業：閱讀閱讀高等數學高等數學

10、P289307整理筆記或小結（點乘、叉乘對照）整理筆記或小結（點乘、叉乘對照）復習：標量積和矢量積復習：標量積和矢量積標量積滿足交換律：標量積滿足交換律：abbacos,cosbababababac大小大小：babac,sin方向：方向：垂直于垂直于 所決定的平面，所決定的平面，指向按指向按 的順序，用右（手）螺旋的順序，用右（手）螺旋法則確定。法則確定。baba和矢量積不滿足交換律，矢量積不滿足交換律，而是：而是：baab標量積：標量積：矢量積：矢量積：baab微積分微積分 （高等數學高等數學第二章第一、二、三、五節；第二章第一、二、三、五節； 第四章第一、五節；第五章第一、二節第四章第一、

11、五節；第五章第一、二節 ）第一節第一節 導數與微分導數與微分一、導數的概念一、導數的概念 實例：直線運動的速度實例：直線運動的速度 直線取為直線取為s軸，則質點在任一時刻軸，則質點在任一時刻t 的位置的位置s （即動點（即動點的坐標）是時間的坐標）是時間t 的函數，記為：的函數，記為： tsstfs或如勻速直線運動：若設如勻速直線運動：若設0,0st時 vttsvttfvts或即,對勻加速直線運動：若設對勻加速直線運動：若設 202021,21attvtstfattvs或即00,0vvst，時0s0t則有則有則有則有下面求某一時刻下面求某一時刻t0的（瞬時）速度的（瞬時）速度勻速運動：勻速運動

12、：瞬時速度等于平均速度瞬時速度等于平均速度 tstttststtssvv0000非勻速運動：非勻速運動： t0 0到到t 時間段的時間段的平均速度：平均速度：tsttssv000s0tt0 0ts0 0欲求欲求t0 0的瞬時速度，可令的瞬時速度，可令t接近于接近于t0 0，則此時則此時平均速度的極限值就是平均速度的極限值就是t0 0時刻的瞬時速度。即時刻的瞬時速度。即 dtdststttstsvttt000limlim0稱為稱為 s 對對 t 的導數的導數即：即：瞬時速度等于質點的位置（坐標）對時間瞬時速度等于質點的位置（坐標）對時間的導數的導數一般地，若一般地，若y是是x的函數，的函數， y

13、 對對x的導數：的導數： 0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx注：注：（1）在某一個點的導數記為：）在某一個點的導數記為：（2）導數的意義：函數隨自變量的變化率。）導數的意義：函數隨自變量的變化率。 00,xxxdxdyxy二、常用的導數公式：二、常用的導數公式： xxxxxxeeeeaaaxxCCexxxxsincos7cossin61ln51logln4ln32011為常數 0000limlimxxxyxyxydxdyxyxxx三、函數的和、差、積、商的導數三、函數的和、差、積、商的導數 2.4.3.2.1,vvuvuvuvuvuuvCuCCuvuvuxvvxuu外即常數

14、可提到導數符號為常數都可導，則設四、復合函數的求導法則四、復合函數的求導法則例如：作簡諧振動的質點的位置例如：作簡諧振動的質點的位置 x 是時間是時間t 的函數：的函數： dxdududydxdyxgufdxdyxgfyxguufy或則：即：而若,0000sin0sin,cos,costAAdtdddxdtdxvtAxAtAx質點的速度：而可看成：為常數）、（例例1求勻速直線運動的速度：求勻速直線運動的速度：若設若設0,0sst 時,0vtss求勻加速直線運動的速度：求勻加速直線運動的速度：若設若設,21200attvss00,0vvsst，時則：則：則有則有 vdtdtvvtdtddtdsd

15、tdsv000s0tts0 0所以速度：所以速度：例例2 atvtavdttdavatdtdtvdtddtdsv002020022121021所以速度：所以速度：五、高階導數五、高階導數例如：直線運動的速度是時間的導數例如：直線運動的速度是時間的導數svdtdsv或而加速度又是速度隨時間是變化率即導數，而加速度又是速度隨時間是變化率即導數，所以可得：所以可得：22dtsddtdsdtddtdva ssva 或或這種導數的導數稱為二階導數。這種導數的導數稱為二階導數。一般地，一般地，y對對x的二階導數為：的二階導數為：22dxyddxdydxdy 類似地，可定義類似地，可定義三階、四階三階、四階

16、導數，統稱高階導數。導數，統稱高階導數。例：勻速直線運動例：勻速直線運動,0vtss加速度加速度 022vdtddtdsdtddtsdavdtdsv又如，又如，勻加速直線運動：勻加速直線運動：例例1：,21200attvssaatvdtddtdsdtddtsda022tRxtRxtRxsin,cos,sin2 例例2：,xxxxeyeyeyey 六、微分六、微分1.1.微分的概念：微分的概念： dxxfdydxdyxfdy、dx（以及前面的（以及前面的ds、dt）都叫做微分。）都叫做微分。所以，所以， 也稱微商（二微分之商）也稱微商（二微分之商）lldllldl0冷縮：冷縮：注：物理上也常指一

17、個量（分成無限多份）其中注：物理上也常指一個量（分成無限多份）其中（無限小的）一份：（無限小的）一份：lLdldxdyy 微分的含義：微小（無限小）增量。如微分的含義：微小（無限小）增量。如熱脹：熱脹：2.微分和導數的幾何意義微分和導數的幾何意義dx 、 dy分別是曲線上某點分別是曲線上某點x、y坐標的微小增量；坐標的微小增量；而導數而導數 是曲線這一點處切線的斜率。是曲線這一點處切線的斜率。dxdytandxdy3.函數的微分公式函數的微分公式（等于導數公式乘以自變量的微分）（等于導數公式乘以自變量的微分） （見（見P115116）4.微分的運算法則、和、差、積、商的微分、復合函微分的運算法

18、則、和、差、積、商的微分、復合函 數的微分數的微分（與導數類似，見與導數類似，見P116）（見（見P115圖圖2-11）P117例例3：例例4：dxxdyxy12cos212sindxexedxxeedyeyxxxxx22222122111ln例例5：dxxxedxxexedyxeyxxxxsincos3sincos3cos31313131第二節第二節 積分積分一、一、不定不定積分的概念積分的概念原函數：原函數：設設F（x）的導（函）數是）的導（函）數是 f（x），即，即 dxxfxdFxfxF或那么，那么，F（x）就稱為）就稱為f（x）的原函數。的原函數。例如例如 為任意常數）CCxFdxx

19、f(即積分是已知導（函）數求原函數，即積分是已知導（函）數求原函數，而而求導（微分）求導（微分）是是已知原函數求導（函）數，所以已知原函數求導（函）數，所以積分是微分的逆運算積分是微分的逆運算。.cossin,cossin的原函數就是xxxx所以，定義所以，定義不定積分：不定積分：+ C例例1：例例2：Cxdxxxxx111111)sincos(cossinsincosxxCxxdxCxxdx例例3：求作勻速直線（取為：求作勻速直線（取為s 軸，且軸，且t=0時，時， s= s 0）的質點在任意時刻）的質點在任意時刻 t 的位置。的位置。解：解：vdtds即即s是是v的原函數，所以：的原函數，

20、所以： 0, 0.sstCvtvdtts代入上式，得代入上式，得C=s0，所以，所以 0svtts二、常用積分表二、常用積分表（詳見（詳見P186）例：例： CedxeCxxdxCxdxxCkxkdxxx4ln312.11CxCxdxxdxxCxCxdxxxdx231212121333321212113三、定積分三、定積分1.定積分的意義定積分的意義求連續分布的無限多個無限小部分之和。求連續分布的無限多個無限小部分之和。幾何意義：求曲邊梯形的面積幾何意義：求曲邊梯形的面積（即曲線（即曲線 bxaxyxfy, 0和直線所圍成的圖形的面積）所圍成的圖形的面積） 。 iiixxfA總面積：總面積：

21、niiiniixxfAA11n越多，小面積之和越接近曲邊梯形越多，小面積之和越接近曲邊梯形的面積，當的面積，當 ，量變到質變：，量變到質變：n dxxfxxfAAbaniiixniini101limlim求法：分成很多個（求法：分成很多個（n個）小矩形，個）小矩形，任一小矩形的面積任一小矩形的面積Oxy xfy abix dxxf稱積分表達式，稱積分表達式，a稱積分的下限，稱積分的下限，b稱積分的上限稱積分的上限。其中其中又如：求變速直線運動（又如：求變速直線運動（v=v（t）的路程：）的路程：將路程分成很多小段，每一小段內可近似看成勻速：將路程分成很多小段，每一小段內可近似看成勻速： iiittvs dttvttvssTTniiitniini21101limlim0s1Tis2T0itn即令令 求極限，即得總路程為：求極限，即得總路程為：2.定積分的計算定積分的計算牛頓牛頓-萊布尼茨公式萊布尼茨公式若若 f（x）的一個原函數是）的一個原函數是 F（x），則），則定積分：定積分： aFbFxFdxxfbaba例例1：313031333103102xdxx例例2：21ln2ln1ln2ln1lnln1212xxdx例例3：127431arct