1、第二章 實數一、 內容概述：整體設計思路：無理數的引入無理數的表示實數及其相關概念（包括實數運算），實數的應用貫穿于內容的始終。本章學習對象實數概念及其運算；學習過程通過拼圖活動引進無理數，通過具體問題的解決說明如何表示無理數，進而建立實數概念；以類比，歸納探索的方式，尋求實數的運算法則；學習方式操作、猜測、抽象、驗證、類比、推理等。本章先設置具體的活動求面積為2的正方形的邊長，提出問題：它可能是整數嗎？它可能是分數嗎？讓學生親身經歷這些活動，在討論中引起認知沖突，感知生活中確實存在不同于有理數的數，產生探求的欲望：它不是有理數，那它是什么數？再讓學生進一步借助計算器充分探索，得出它是一個無限

2、不循環小數，從而給出無理數的概念。這與歷史上無理數的產生和發展過程是一致的，符合人的認識規律，同時讓學生體會到抽象的數學概念在現實世界中有其實際背景。無理數有很多，開方開不盡的數是其中的一種，也是我們計算中經常接觸到的。教科書選取了一些生動的素材，引入平方根和立方根的概念和開方運算。由于在實際情境中的開平方運算結果取的都是算術平方根，而且正數有兩個平方根與學生長期的經驗不符，學生不易接受，因此教科書先引入算術平方根的概念，然后再引入一般的平方根的概念。在實際生活和生產實際中，對于無理數我們常常通過估算來求它的近似值。教科書安排了一節內容：公園有多寬，介紹估算的方法，包括通過估算比較大小，檢驗結

3、果的合理性等等，其目的是發展學生的數感。當無理數的概念和表示形式為學生熟知以后，實數概念的引入就水到渠成了。本章最后總結實數的概念及其分類，并用類比的方法引入實數的相關概念、運算律和運算性質等。本章對概念的處理上，抓住主要概念，注重概念的形成過程，讓學生在具體的活動中獲得認識，增強理解；對內容的安排上，聯系實際情境，導入新知識，注意前后知識間的對比，同時讓學生在運用中促進對知識的理解和掌握。二、 本章教學重點：1. 經歷無理數發現的過程，了解無理數的概念和意義。2. 了解算術平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、立方根；能用平方運算與立方運算求某些數的平方根與立方根；會用計算器

4、求平方根和立方根，并能探索一些有趣的數學規律。3. 能用有理數估計一個無理數的大致范圍，包括通過估算比較大小，檢驗計算結果的合理性等等。4. 了解實數的概念，會按要求對實數進行分類，了解實數的相反數和絕對值的意義，知道實數與數軸上的點具有一一對應的關系，了解有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用。5. 能對帶根號的數進行化簡，并能利用化簡進行有關實數的簡單四則運算。6. 能運用實數的運算解決簡單的實際問題。三、 本章教學難點：1. 無理數概念的理解及應用；2. 解決與實數有關的實際問題時的思維轉化；3. 運算性質的掌握與應用。四、 教學關鍵：1. 講清無理數概念的形成過程，讓學生真正理解無理數

5、的引入的意義；2. 了解實數的概念，掌握實數運算；3. 解決與實數有關的實際問題。五、教學策略：1注重概念的形成過程，讓學生在概念的形成的過程中，逐步理解所學的概念。概念是由具體到抽象、由特殊到一般，經過分析、綜合去掉非本質特征，保持本質屬性而形成的。概念的形成過程也是思維過程，加強概念形成過程的教學，對提高學生的思維水平是很必要的。如無理數的引入，要讓學生親身經歷活動，感受引入的必要性，初步認識無理數是無限不循環小數這一意義。在教學時，教師要鼓勵學生動手、動腦、動口，與同伴進行合作，并充分地開展交流。再如，平方根的概念，對正數有兩個平方根學生不太容易接受，往往丟掉負的平方根，因為這與他們以前

6、的運算結果唯一的經驗不符。對此，在平方根的引入時，教師可多提一些具體的問題，如9的算術平方根是3，也就是說，3的平方是9。還有其他的數，它的平方也是9嗎？等等，旨在引起學生的思考，特別是負數的情況，讓學生從具體的例子中抽象出初步的平方根的概念。接著讓學生去討論：一個正數有幾個平方根？0有幾個平方根？負數呢？引導學生更深刻地理解平方根的概念，然后再通過具體的求平方根的練習，鞏固新學的概念。2對于抽象的概念，教學時要把握住要求，盡量采用淺顯、直觀的描述性講法，通過對后面知識的學習逐步加深對它們的認識。概念的掌握不是一次完成的，有的概念不可能一下子就要求學生達到較深刻的理解，教學時要把握好階段性，不

7、要超前。例如無理數概念，定義為“無限不循環小數”，在活動中學生能夠體會“無限”，但對“不循環”不可能有清楚的認識，只能通過后面的理論分析來補充，這里只要求學生了解無理數的概念和意義，理解無限不循環小數是一類新數即可，教學時不必作另外的補充。再如實數的稠密性即實數與數軸上的點一一對應，不可能要求學生有深刻的理解，只能通過后繼的學習逐步完成。3注意運用類比的方法，使學生清楚新舊知識的區別和聯系。類比法是本章的重要方法之一。最主要的就是類比于有理數建立起實數中的相反數和絕對值的概念。當然類比的對象間可能會表現出差異，這在進一步的類比有理數與數軸的關系時表現出來了：有理數與數軸上的點不是一一對應的，而

8、實數與數軸上的點是一一對應的。對于實數的運算律、運算性質等，也是通過類比得出的。4.鼓勵學生進行探索與交流 本章為學生提供了許多有趣而富有數學含義的問題，教學中應當讓學生進行充分的探索和交流，如大正方形的邊長a是什么數，教師應引導學生充分進行交流、討論與探索等數學活動，從中感受無理數引入的必要性，并體會無限不循環的過程；再如實數的相關運算法則，在教學過程中應讓學生從中經歷從具體問題到一般規律的探索過程，并鼓勵學生用自己的語言清楚的表達。5. 對于二次根式，只給出了兩條運算規律（加法和減法用合并同類項）只要求學生會用它們進行有關實數的簡單四則運算（不要求分母有理化），因此教學中不要補充、引申。6

9、.允許和鼓勵學生使用計算器 一方面，在保證基本運算技能的同時，教師應引導學生使用計算器完成較復雜的開方計算和實數計算，在課堂教學、課外作業以及考試中，應允許學生使用計算器；另一方面，應鼓勵學生使用計算器進行探索規律的活動，發展學生的合情推理能力。六、評價建議：1關注學生對無理數和實數概念的意義理解。實數涉及的理論較深，學生目前沒有必要也不可能有太深的認識，評價學生對無理數和實數概念的意義理解是主要方面，而不是讓學生簡單記憶概念。為什么要引入無理數？無理數與有理數有什么不同？什么是實數？2關注考查學生對知識技能的理解和運用。如能否舉出或構造與無理數有關的實例，能否運用開方運算解決與實數有關的簡單

10、問題，能否用有理數估計一個無理數的大小（一般只要求估計到整數部分或一位小數，對于較復雜的無理數的運算則可以通過計算器來完成）。3重視學生的分析、概括、交流等能力的考察。本章為學生提供了豐富的活動，如操作、猜測、驗證、類比、推理等，在教學中教師應在活動中注意觀察學生的表現，如是否積極主動地參與活動，是否獨立思考，是否與同伴交流及能夠使用數學語言、有條理地表達自己的思考過程，能否從具體問題抽象、概括等等，將此與書面考試的評價結合起來。2.1 數怎么又不夠用了教學核心： 1. 感受無理數產生的實際背景和引入的必要性；2. 經歷無理數是無限不循環小數的探索過程，體會無限逼近思想。 3. 會判斷一個數是

11、有理數還是無理數。教學課時：2課時教學內容：1. 通過創設的操作活動，提出本節課的主要問題，感受無理數產生的實際背景；2. 讓學生感受書本中的兩個正方形邊長等都不是分數和有理數，理解引入無理數的必要性；3. 借助計算器探索無理數是無限不循環小數，體會無限逼近思想；4. 學會判斷一個數是有理數還是無理數，能對簡單常見數作出估算。分析與建議：第一課時教材分析：教材首先設置了一個簡單的操作活動，兩個小正方形剪拼成一個大正方形，把學生的思維和學習的積極性調動起來，然后提出本課時的主要問題，引起學生的思考與討論，讓學生體會到現實生活中確實存在著不是有理數的數。緊接著通過“做一做”、課本隨堂練習及習題再次

12、進入無理數的實際背景，使學生知道就在學生身邊大量存在著無理數，懂得無理數引入的必要性。教學建議：1. 重視標題。讓學生回憶七年級上冊“有理數及其運算”中的標題“數怎么不夠用了”，回顧一下數的發展史，使學生了解數是隨著社會的發展而不斷發展的，小數是怎樣產生的？負數、有理數是怎樣產生的？有理數是怎樣分類的？體會每一次的“不夠用”就有新的數出現。2. 課本中的操作活動，學生的做法肯定有多種，不僅可以讓學生感受無理數產生的實際背景，而且能夠提高學生的動手操作能力和培養學生的創新意識，因此，教師應給予充足的時間。3. 對于問題（3）“a可能是什么數？說說你的理由。”、“（4）a可能是分數嗎？說說你的理由

13、。”學生回答有一定的難度，教師應鼓勵學生進行思考和討論，并做出適當的引導。只需使學生知道a不能用分數來表示。4. “做一做”讓學生自己完成，進一步豐富無理數的實際背景，同時體會無理數在現實生活中是大量存在的。5. 在教學設計時，最好設計讓學生舉出一些類似于課本中的無理數的實際背景。6. 注意運用類比的方法，使學生清楚新舊知識的區別和聯系。教學素材：一個正方形木塊的面積為8平方厘米，那么它的邊長滿足什么條件？可能是整數嗎？可能是分數嗎？請你估計一下，它大概是多少？第二課時教材分析： 本節是前一節知識的延續，從前一節的定性描述轉化為定量研究，進一步引起學生的思考。由創設的問題“面積為2的正方形的邊

14、長究竟是多少”作為引入，在學生已有的知識（這個數既不是整數也不是分數）的基礎上提出的一個很自然的問題，讓學生通過估計、借助計算器進行探索、討論等途徑，體會無限逼近的數學思想，得到“這個數是一個無限不循環小數”的結論；通過“做一做”讓學生熟悉求無理數近似值的估算方法，同時體會無理數的無限不循環的特點。最后理解無理數的概念和無理數的判斷的方法。教學建議：1. 由于本節的重點之一是讓學生經歷借助計算器探索無理數是無限不循環小數的過程，因此，要重視課本創設（或相同類型）的問題，針對內容應該花較多的時間，教師應積極引導，讓學生有充分的時間借助計算器進行思考和交流，循序漸進地縮小范圍，體會無限逼近的思想。

15、2. 課本 設計的P27第（3）個小問題的意圖是想讓教師引導學生整理自己前面探索的思維過程。對于記號“1a2” 、“1s4”等，學生可能不習慣，教師要講清意義和寫法即可。3. 本節滲透了用有理數近似的表示無理數和用有理數逼近無理數的數學思想，通過探索學生容易理解“無限”，但對“不循環”一般不會有清楚的認識，只有逐步滲透理解，教學中不必多說。“逼近”思想可以借用中央電視臺的“幸運52”的猜商品的價格游戲進行解釋。4. 為進一步讓學生理解無理數的概念，應強調“無限不循環小數”與“無限循環小數”的聯系和區別，前者不能化為分數，后者可以化為分數，但如何化成分數，教師不必深入講解。5. 鼓勵學生自學課本

16、中的“讀一讀”，了解無理數產生的歷史背景和人類的科學精神，特別是對學有余力的學生，在教師引導下，可閱讀“邊長為1的正方形的對角線的長是無理數”的嚴格證明。教學素材：一根長為5米的電線桿豎立于地面，為保證它的安全，要用三根鋼絲把它固定，要求每根鋼絲一頭拉著電線桿的最上端，一頭系在離電線桿3米的地面木樁上，問每根鋼絲的長要滿足什么條件？它是有理數嗎？大概是多長？2.2 平方根本節的教學核心：開平方運算是本節內容的核心。本節課分二個課時，主要內容有算術平方根、平方根的概念，用根號表示一個非負數的算術平方根和平方根，引入實數的第六種運算-開方運算。第一課時 教材分析：實數概念的建立實際上是從本節課開始

17、的，故本節課在這一章中占有非常重要的地位。教材上通過實際背景引入算術平方根，這是根據在現實生活中學生接觸到的開平方運算大多是正的，教材這樣的安排很有道理，符合學生的認知規律。教學建議：1)教學中可以通過素材引入算術平方根的概念，如：有4個邊長為1的小正方形拼成一個長方形，任意連結這些小正方形的若干個頂點，可得到四條對角線，則這些對角線的長分別是多少？為了解決這個實際問題，學生產生了認知沖突，感覺到已往的知識不能解決這個問題，教師因時導勢，引出算術平方根的概念。2)教材中用平方的方法求算術平方根，是為了讓學生體會平方與開平方是互為逆運算，教學中教師要注意這個問題。第二課時教材分析：一個正數進行開

18、平方運算會有二個結果，即一個正數有二個平方根，學生由于認知的原因，可能會出現理解上的困難，教材中為了解決這個問題，通過具體的例子讓學生進行理解，并且特別強調了這二個平方根是互為相反數。負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算以及零的平方根是零教材中也重點指出。教材中的想一想實際上是對平方根概念的具體運用。教學建議：(1) 教材中通過算術平方根引出平方根的概念，即可以方便學生的理解，又可以溝通二者之間的關系，再由學生議一議，使學生對正數、零、負數的平方根的不同情況產生好奇，從而激發學生的興趣，教學中應充分利用這一點。(2) 開平方運算和乘方運算是互為逆運算。學生對乘方運算比較熟悉，所以教學中應引

19、導學生從乘方運算出發進行開平方運算。教學中，不妨提出這樣一個問題：4=5嗎、你看了這個等式一定會說“錯”，可是這是可以說明的，不信嗎？請看下列推理16-36=25-45，兩邊同時加上，得16-36+=25-45+，即-=-根據完全平方公式，得。，4=5。究竟錯在哪里呢？這一問題提出以后，留時間讓學生去思考、討論，引入平方根的概念。2.3 立方根【教學核心】了解立方根的概念，會用根號表示數的立方根；能用立方運算求某些數的立方根。【課時及內容】§3立方根 1課時 本節內容和平方根合起來構成了初中數學方根運算的一個整體。教材從“某化工廠要建造一個新的球形儲氣罐”這個實際問題引入立方根的概念

20、，說明學習數的立方根的意義，同時又體現了立方根的計算有著廣泛的應用。通過“做一做”，讓學生體會一個數的立方根的唯一性。通過“議一議”，既突出平方根與立方根的對比，又加深對“做一做”的感受。教材安排的兩個例題也是分步到位：“例1”采用語言敘述和符號表示互為補充的做法，著眼于讓學生理解立方根的概念，在此基礎上引出基本規律，“例2”著眼于符號表示的立方根的計算，是今后求開方運算的書寫格式。【分析與建議】1注重概念的形成過程，讓學生在概念的形成的過程中，逐步理解所學的概念。如，立方根的概念，教師可多舉一些具體的問題，特別像P36“做一做”，讓學生從具體的例子中體會立方根的概念和唯一性。在此基礎上讓學生

21、去討論：一個正數有幾個立方根？0有幾個立方根？負數呢？引導學生更深刻地理解立方根與平方根的概念的區別，然后再通過具體的求立方根的練習，鞏固新學的概念。這里可借助表格作對比，以加深對概念的認識。2在（正數、0、負數）數的平方根與立方根的對比中交代清楚數的立方根的含義，以及立方根的符號表示，防止出現像“8的立方根是”這種現象。3對例1的教學，要著眼于立方根的概念的理解，要學生模仿和適應這種書寫格式，突出體現開立方與三次方的互逆運算以及利用互逆運算求數的立方根的方法。4對于P37“想一想”，教學時應抓住立方根的意義去分析，如果，那么就是的立方根，即，所以；同樣，根據定義，是的立方根，所以的立方根就是

22、，即。這樣為例2的學習以及以后的知識學習提供了思考的方法和公式上的準備。5本節課中立方根的值都是可求的（有理數），教師在舉例時要注意。【教學素材】1判斷正誤，在后面的括號內，對的打“”，錯的畫“×”。（1）；（ ）（2）互為相反數的立方根互為相反數；（ ）（3）任何數的立方根只有一個；（ ）（4）（ ）（5）如果一個數的平方根與其立方根相同，則這個數是1；（ ）（6）如果m是n的立方根，那么m·n0；（ ）解：（1）×（2）（3）（4）×（5）×（6）2將一個體積為125cm3的銅塊改鑄成8個相同大小的小立方體小銅塊，求每個小立方體銅塊的表面積

23、。解：設每個小立方體銅塊的邊長為，則，所以每個小立方體銅塊的表面積為。3判斷下列語句是否正確？在后面的括號內，對的打“”，錯的畫“×”。（1）8的立方根是。（）（2）0.001的立方根是0.1。（）（3）的立方根是。（）（4）64的平方根的立方根是2。（）解：（1）×（2）（3）（4）×2.4 公園有多寬【教學核心】能用有理數估計一個無理數的大致范圍，包括通過估算比較大小和檢驗計算結果的合理性等；掌握估算的方法，形成估算的意識，發展學生的數感。【課時及內容】§4公園有多寬 1課時本節內容是方根運算的生活化。教材通過兩例“實際問題”-（1）估計公園的寬，（

24、2）求梯子穩定擺放時的頂端高度，發展學生的估算意識，使學生掌握估算的方法，并能按照要求形成對估算結果合理化的解釋，進而導出本節課的教學核心-估算比較兩上數的大小，通過“議一議”進一步使學生掌握估算的方法。【分析與建議】1估算的方法是（1）通過開方運算，采用“夾逼法”，確定其值所在范圍；（2）根據問題中誤差允許的范圍，在其值的范圍內取出近似值。2“精確到”與“誤差小于”意義不同。如精確到1m是四舍五入到個位，答案惟一；誤差小于1m，答案在其值左右1m都符合題意，答案不惟一。在本節中誤差小于1m就是估算到個位，誤差小于10m就是估算到十位。3本章對估算的要求較低，開立方要求估算到個位，開平方運算要

25、求估算到0.1，對于較復雜的運算可借助計算器平完成。4在應用中體現平方根、立方根的簡單應用。突出估算的思想方法，體會估算的必要性和合理性。能用有理數估計一個無理數的大致范圍，如例1。5對于P40“議一議”，比較兩個數的大小也只局限于簡單的小數型分母或同分母型，對于學生來說，這類數的比較有一定的難度，因此教師在教學中宜采用分析法講解，對于學生的說法，只要合理均可。對于“試一試”型的題目，只要求有學有余力的學生去嘗試，或在學習了“用計算器開方”后再做。6“去尾”和“進1”的近似值取法，應視具體問題而定。一般來說，求實際問題中的長度，個數，面積和體積之類的采用“進1”法。【教學素材】托爾斯泰是俄羅斯

26、最偉大的作家，他曾在作品一個人需要很多土地嗎？中寫了如下一個故事：有一個叫巴河姆的人到草原上去購買土地，賣地的人提出了一個非常奇怪的地價：“每天1000盧布”，意思是誰出1000盧布，那么他從日出到日落走過的路所圍成的土地都歸他；不過如果在日落之前，買地的人回不到原來的出發點，那他就只好白出1000盧布。巴河姆于是付了1000盧布，等第二天太陽剛剛從地平線上升起，就連忙在草原上大步向前走去。他走了足足有10俄里（1俄里1.0668公里），這才朝左拐彎；接著又走了許久許久，才再向左拐彎；這樣又走了2俄里，這時他發現天色已經不早，而自己離出發點足足還有15俄里的路程，于是只得改變方向，徑直朝出發點

27、跑去最后，他總算如期趕回出發點，卻口吐鮮血死去。請你算一算，他這一天共走了多少路？他走過的路圍成的土地有多大？（精確到0.1）1582他這一天共走了俄里。他走過的路圍成的土地大小為 76.1俄里2。2.5 用計算器開方【教學核心】會用計算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的數學規律。讓每個學生經歷運用計算器探求規律的活動，發展合情推理的能力。【課時及內容】§5用計算器開方 1課時本節內容是七年級上冊“有理數及其運算”中計算器使用的延續，介紹了用計算器進行開平方和開立方運算，一方面是繼續熟悉計算器的用法，包括利用計算器進行探索規律的活動，同時又是對第4節估算方法的進一步認識和提升。【

28、分析與建議】1講清用計算器求平方根和立方根的基本操作步驟，見P42表格部分。2對于借助計算器探索規律的題目，目前局限于簡單數字的運算，要鼓勵學生動手去做，但由于這個探索過程蘊涵著極取思想，故教學中不必作拓展。3用計算器比較數的大小要注意培養學生分析和說理的方法。【教學素材】ACB高速公路旁有一矩形坡面，其橫截面如圖所示，公路局為了美化公路沿線環境，決定把該矩形坡面平均分成11段相間的種樹與栽花。已知該矩形坡面的長為550米，鉛直高度AB為2米，水平寬度BC為1米，若種草每平方米需投資20元，栽花每平方米需投資15元，求公路局將這一坡面美化最少需投資多少元？（結果保留三個有效數字）解析：550米

29、長的坡面平均分成11段，則每快坡面長為50米，為減少投資，應用6塊坡面種花，5塊坡面種草，則需最少投資故公路局將這一坡面美化最少需投資2.12×104元。§2.6 實數教學核心：1、了解實數的意義，能對實數按要求進行分類；2、了解有理數的運算法則在實數范圍內仍然適用；3、能運用化簡對實數進行簡單的四則運算教學課時：3課時。教學內容：1、實數的分類，相反數、倒數、絕對值在實數范圍內的應用，實數與數軸的關系； 2、實數的運算及運算法則在實數范圍內的應用； 3、實數的簡化計算及運算法則的靈活應用。§2.6.1（第一課時）分析與建議：本節課對這段時間以來學過的數作一歸納性

30、的總結，這個總結過程可由學生自己通過對具體的數比較的基礎上引入，分清帶根號的數不一定是無理數，對提出實數的概念（有理數和無理數的總稱）表示接受和理解。通過議一議，掌握數的分類要遵循的規則，領會分類的思想；在此過程中，通過對上述數的特點的分析，指出實數的絕對值和相反數的意義與在有理數范圍內的意義是一樣的，設計有針對性的例題和習題鞏固對這些概念的認識，會求一個數的絕對值、相反數及倒數。同時讓學生思考，數的絕對值與相反數往往與數軸有密切的聯系，進而讓學生議一議“有理數能填滿整個數軸嗎？”，引出實數與數軸的關系，“每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。即實數和數軸上的點是一一對應的。”，掌握如何在數軸上畫出如：，等數，真切感受實數在數軸上的存在和實際大小，掌握實數大小比較的方法。參考素材：1、把下列各數寫入相應的集合中：，0.2323323332（相鄰兩個2之間3的個數逐次加1）。 正數集合 ；負數集合 ；有理數集合 ；無理數集合 整數集合 ；實數集合 。 2、在數軸上表示下列各數：，并把它們用“”連接起來。你能說說實數大小比較的方法嗎？§2.6.2（第二課時）分析與建議：在上一節課的基礎上，提出實數和有理數一樣