1、數的開方數的開方練習：練習：填空：填空：1 1、( ( ) )2 2=9 =9 ；2 2、( ( ) )2 2=0.25=0.25；3 3、( ) ( ) ；4 4、( ( ) )2 2=4=4； 5 5、( ( ) )2 2=0.0081=0.0081最容易出現的錯誤是丟掉負數解最容易出現的錯誤是丟掉負數解 25162 平方根平方根(square root) 如果一個數的平方等于如果一個數的平方等于a a，那么這個數就叫做那么這個數就叫做a a的的平方根平方根. . 用數學語言表達即為：若x2=a，則x叫做a的平方根二、平方根的性質：二、平方根的性質： 1 1、一個正數有兩個平方根，它們、一

2、個正數有兩個平方根，它們互為相反數互為相反數2 2、0 0有一個平方根，它是有一個平方根，它是0 0本身本身3 3、負數沒有平方根、負數沒有平方根 三、開平方：三、開平方： 求一個數求一個數a a的平方根的運算，的平方根的運算，叫做開平方的運算叫做開平方的運算 +3+3與與-3-3的平方是的平方是9 9，9 9的平方根是的平方根是+3+3和和-3-3，可，可見平方運算與開平方運算互為逆運算見平方運算與開平方運算互為逆運算根據這種關系，我們可以通過平方運算來求根據這種關系，我們可以通過平方運算來求一個數的平方根一個數的平方根 平方根的表示方法平方根的表示方法: : 2a被開方數被開方數根指數根指

3、數根號根號2a表示正數表示正數a a的正的平方根的正的平方根2a 表示正數表示正數a a的負的平方根的負的平方根2a 記作記作2讀作讀作“二次根號二次根號”；2a讀作讀作“二次根號二次根號a”a”；提問：提問：777 、各表示什么意義？各表示什么意義？、可以省略可以省略例例1.1.填空題填空題(1)(1)a a是一個正數，是一個正數， 表示表示a a的的_，- - 表示表示a a的的_， 表示表示a a的的_aaa(2)(2)若若7 7是是x x的一個平方根，則的一個平方根，則x x的另一的另一個平方根是個平方根是_x=_.x=_.五、算術平方根定義：五、算術平方根定義： 正數正數a a有兩個

4、平方根，其中有兩個平方根，其中正數正數a a的正的平方根，也叫做的正的平方根，也叫做a a的算術平方根，記作：的算術平方根，記作：說明：說明：1 1、因為正數均有一正一負兩個平方根，、因為正數均有一正一負兩個平方根，所以正數均有算術平方根所以正數均有算術平方根 2 2、0 0的平方根也叫做的平方根也叫做0 0的算術平方根。的算術平方根。 2a做一做：做一做：例例2 2、說出下列式子的含義：、說出下列式子的含義：立方根立方根 概念概念: :如果一個數的立方等于如果一個數的立方等于a a，這個數就叫做這個數就叫做a a的立方根的立方根( (也稱數也稱數a a的三次方根的三次方根) .) . 即若即

5、若x x3 3=a=a，則則x x叫做叫做a a的立方根，的立方根，或稱或稱x x叫做叫做a a的三次方根的三次方根 2.2.表示方法：表示方法：3a被開方數被開方數根指數根指數根號根號3讀作讀作“三次根號三次根號”；3a讀作讀作“三次根號三次根號a”a”；不能省略不能省略開立方概念：開立方概念： 求一個數的立方根的運算，求一個數的立方根的運算，叫做開立方叫做開立方. .開立方運算開立方運算 立方運算立方運算 互為逆運算互為逆運算立方根的性質：立方根的性質： (1) (1)正數有一個正的立方根；正數有一個正的立方根； (2) (2)負數有一個負的立方根；負數有一個負的立方根； (3)0 (3)

6、0的立方根是的立方根是0 0例例3 3、填空練習：、填空練習：(1)1(1)1的平方根是的平方根是_；立方根為；立方根為_；算術平方根為算術平方根為_ (2)(2)平方根是它本身的數是平方根是它本身的數是_ (3)(3)立方根是其本身的數是立方根是其本身的數是_ (4)(4)算術平方根是其本身的數是算術平方根是其本身的數是_ (5) (5) 的立方根為的立方根為 . . 64 (6) (6) 的平方根為的平方根為 . . 32)8( (7) (7) 的立方根為的立方根為 . . 3512 (8)(8)一個自然數的算術平方根是一個自然數的算術平方根是a a，那么與這那么與這個自然數相鄰的下一個自

7、然數的平方根是個自然數相鄰的下一個自然數的平方根是_；立方根是；立方根是_ 例例4 4、(1) (1) 的平方根是的平方根是 。(2)(2)一個自然數的一個平方根是一個自然數的一個平方根是m m，那那么緊跟它后面的一個自然數的平方根么緊跟它后面的一個自然數的平方根是（是（ ） ( (A)A) (B) (B) (C) (C) (D) (D)81m1m1m 1m213 3D例例5 5、填空：、填空：(1)0.000036(1)0.000036的平方根是的平方根是_，算，算術平方根是術平方根是_(2)(-41)(2)(-41)2 2的平方根是的平方根是_(3)(3)當當a a為為_時，時，4 4a

8、a2 2的算術平方的算術平方根是根是2 2a.a.（4 4） 的平方根是的平方根是_，算術平方，算術平方根是根是_. _. 2)6(練習、判斷題：練習、判斷題：1 11212是是144144的平方根的平方根( )( )2 2-12-12是是144144的平方根的平方根( )( )3 3144144的平方根是的平方根是-12-12( )( )4 4-1-1的平方根是的平方根是-1-1( )( )5 5-1-1是是1 1的平方根的平方根( )( )6 6(-1)(-1)2 2的平方根是的平方根是-1-1( )( )( (是是12)12)(-1(-1無平方根無平方根) )( (是是1)1)例例6 6

9、、19961996年某市全年完成國內生產年某市全年完成國內生產總值總值264264億元，比億元，比19951995年增長年增長23%23%，問：（問：（1 1）19951995年該市全年完成國內年該市全年完成國內生產總值是多少億元（精確到生產總值是多少億元（精確到1 1億億元）？元）？ （2 2）預計該市）預計該市19981998年國內生產年國內生產總值可達到總值可達到386.5224386.5224億元，那么億元，那么19961996年到年到19981998年平均年增長率是多年平均年增長率是多少？（黃岡市中考試題）少？（黃岡市中考試題） 解：（解：（1 1）設）設19951995年某市全年完

10、成國內生產總值年某市全年完成國內生產總值 億元，億元， 根據題意有：根據題意有： （2 2）設）設19961996年到年到19981998年平均年增長率為年平均年增長率為 ， 根據題意有：根據題意有： 用計算器求得：用計算器求得： 或 （不合題意，舍去）（不合題意，舍去） 答：（答：（1 1）19951995年生產總值為年生產總值為215215億元；億元； （2 2）19961996年到年到19981998年平均年增長率是年平均年增長率是21%21% 想一想：想一想：什么叫有理數？有理數如何分類？什么叫有理數？有理數如何分類？觀察下列數特點：觀察下列數特點：41421356. 12 73205

11、080. 13 64575131. 27 2599120. 123 14159265. 3 無理數無理數 的由來的由來 公元前公元前500500年，古希臘畢達哥拉斯年，古希臘畢達哥拉斯( (Pythagoras)Pythagoras)學派的弟子希勃索斯學派的弟子希勃索斯( (Hippasus)Hippasus)發現了一個驚人的事實，一個正發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的( (若正方形邊長是若正方形邊長是1 1，則對角線的長不是一個，則對角線的長不是一個有理數有理數) )這一不可公度性與畢氏學派這一不可公度性與畢氏學派“萬物

12、萬物皆為數皆為數”(”(指有理數指有理數) )的哲理大相徑庭。這一的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后競遭到沉舟此被囚禁，受到百般折磨，最后競遭到沉舟身亡的懲處。身亡的懲處。 不可通約的本質是什么？長期以來不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個不眾說紛壇，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數。的數。1515世紀意大利著名畫家達世紀意大利著名畫家達.

13、.芬奇芬奇稱之為稱之為“無理的數無理的數”，1717世紀德國天文世紀德國天文學家開普勒稱之為學家開普勒稱之為“不可名狀不可名狀”的數。的數。 然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是氏學派抹殺真理才是“無理無理”。人們為。人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名為敬學者，就把不可通約的量取名為“無無理數理數”這便是這便是“無理數無理數”的由來的由來 無理數定義：無理數定義：無限不循環小數叫做無理數無限不循環小數叫做無理數斷以下說法是否正確？斷以下說法是否正確？(1)(1)無限小數都是無理數；無限

14、小數都是無理數；(2)(2)無理數都是無限小數；無理數都是無限小數； (3)(3)帶根號的數都是無理數。帶根號的數都是無理數。數的發展歷史數的發展歷史 數系的擴張過程數系的擴張過程以自然數為基礎，德以自然數為基礎，德國數學家克羅內克國數學家克羅內克（KroneckerKronecker，1823-1823-18911891）說說“上帝創造上帝創造了整數，其它一切都了整數，其它一切都是人造的是人造的” ” 。零與。零與自然數的產生源于人自然數的產生源于人類在生存活動中的原類在生存活動中的原始沖動。始沖動。 類似于類似于 2+3=5 2+3=5 的事實產生了加法的概的事實產生了加法的概念，然而念，

15、然而2 2加上幾會等于加上幾會等于1 1呢？由此需要定義呢？由此需要定義負數：一個數的負數：一個數的“負數負數”即它與該數之和等即它與該數之和等于于0 0；進而定義減法。產生零、負自然數，；進而定義減法。產生零、負自然數，合稱整數；合稱整數； 加法的重復進行產生了乘法，加法的重復進行產生了乘法，2 23=6 3=6 就是三個就是三個2 2相加。然而相加。然而2 2乘以幾會等于乘以幾會等于1 1呢？呢？由此需要定義倒數：一個數的由此需要定義倒數：一個數的“倒數倒數”即即它與該數之積等于它與該數之積等于1 1，進而定義除法，產生，進而定義除法，產生既約分數，合稱有理數。既約分數，合稱有理數。 無理

16、數是一個能恰好地描述數無理數是一個能恰好地描述數學特征的案例學特征的案例 從數學發展史看，從數學發展史看，人類對無理數的發蒙人類對無理數的發蒙始于古希臘畢達哥拉始于古希臘畢達哥拉斯（斯（PythagorasPythagoras，公公元前元前582-497582-497）學派，）學派，但二千四百年后才產但二千四百年后才產生包括無理數在內的生包括無理數在內的實數嚴格定義。實數嚴格定義。 乘法的重復進行產生了乘方，乘法的重復進行產生了乘方，2 23 3 就是三個就是三個2 2相乘，然而哪個數相乘，然而哪個數的平方會等于的平方會等于2 2呢？畢達哥拉斯呢？畢達哥拉斯學派提出了這個問題，邊長為學派提出了

17、這個問題，邊長為1 1的正方形的對角線的長度不是的正方形的對角線的長度不是既約分數，后來用既約分數，后來用22表示對角表示對角線的長度，無理數的概念初步線的長度，無理數的概念初步形成。形成。 由于有理數可表示成有限小數或無由于有理數可表示成有限小數或無限循環小數，人們想到用限循環小數，人們想到用“無限不循環無限不循環小數小數”來定義無理數，這也是直至來定義無理數，這也是直至1919世世紀中葉以前的實際做法。它看起來很通紀中葉以前的實際做法。它看起來很通俗，不明白無理數奧妙的人大體也是這俗，不明白無理數奧妙的人大體也是這樣理解無理數的。樣理解無理數的。 但這樣做遇到的困難更大：關鍵的但這樣做遇到

18、的困難更大：關鍵的問題是你無法判斷一個數是無限不循環問題是你無法判斷一個數是無限不循環的，也不能將兩個無限不循環的數進行的，也不能將兩個無限不循環的數進行加減乘除。加減乘除。 啟示：啟示： 每個有理數作為有長每個有理數作為有長度的線段，對應著數軸上度的線段，對應著數軸上的坐標。邊長為的坐標。邊長為1 1的正方的正方形的對角線線段也應對應形的對角線線段也應對應數軸上的一個點，這意味數軸上的一個點，這意味著如果只有有理數，數軸著如果只有有理數，數軸上存有上存有“空隙空隙”盡管盡管有理數非常稠密。應當填有理數非常稠密。應當填補這些補這些“空隙空隙”使數軸成使數軸成為完美的，歐幾里德幾為完美的，歐幾里

19、德幾何原本中曾記載過這一何原本中曾記載過這一思想的雛形。思想的雛形。 戴德金戴德金歷史上的兩種無理數定義歷史上的兩種無理數定義戴德金戴德金的說法，一個實的說法，一個實數是有理數的一個集合數是有理數的一個集合 康托康托的說法，一個實數是的說法，一個實數是有理數的一個（柯西）序有理數的一個（柯西）序列列 18741874年康托還證明了無理數比年康托還證明了無理數比有理數多得多，這也意味著，無形有理數多得多，這也意味著，無形的、不是根式的無理數竟比直觀的、的、不是根式的無理數竟比直觀的、根式的無理數多得多！數軸上代表根式的無理數多得多！數軸上代表有理數的點雖然是稠密的有理數的點雖然是稠密的任何任何兩

20、個有理數點之間恒有無數多有理兩個有理數點之間恒有無數多有理數點，但是除有理數點外的數點，但是除有理數點外的“空隙空隙”更多。更多。“空隙空隙”一旦填滿，稠密概一旦填滿，稠密概念發展成了連續的概念，數軸上點念發展成了連續的概念，數軸上點與實數完全對應，無理數問題畫上與實數完全對應，無理數問題畫上了永遠的句號。了永遠的句號。 數學家所知道的無理數確實少的可憐：數學家所知道的無理數確實少的可憐： 知道得最多的只是各式知道得最多的只是各式各樣的根式，這是古希臘人各樣的根式，這是古希臘人即已知道的；其次是即已知道的；其次是與與e e兩個非代數數。那些比代數兩個非代數數。那些比代數數多得多的無理數在哪兒？

21、數多得多的無理數在哪兒？19001900年數學家希爾伯特年數學家希爾伯特（HilbertHilbert，1862-19431862-1943）提提出著名的出著名的2323個數學問題即包個數學問題即包括了這一內容。然而，若稍括了這一內容。然而，若稍微追問一句微追問一句“(“(+e e) )是無理是無理數還是有理數數還是有理數”？則至今都？則至今都沒有嚴密的答案。沒有嚴密的答案。總之：總之： 數學家心安理得的是建立了數學家心安理得的是建立了無懈可擊的實數體系，在堅實的無懈可擊的實數體系，在堅實的基礎上，任何閑言碎語都是不足基礎上，任何閑言碎語都是不足道的。無理數所體現的完美無缺、道的。無理數所體現

22、的完美無缺、一絲不茍的純粹理性與無孔不入、一絲不茍的純粹理性與無孔不入、盡人皆知的世俗應用，可謂占盡盡人皆知的世俗應用，可謂占盡天上人間風光，正是數學的魅力天上人間風光，正是數學的魅力之所在。之所在。 實數的定義：實數的定義： 有理數和無理數統稱為實有理數和無理數統稱為實數數三、實數的分類：三、實數的分類： （1 1）按定義分類：）按定義分類： 無無限限不不循循環環小小數數負負無無理理數數正正無無理理數數無無理理數數環環小小數數有有限限循循環環小小數數或或無無限限循循負負有有理理數數正正有有理理數數有有理理數數實實數數0（2 2）按大小分類）按大小分類 ： 負負實實數數正正實實數數實實數數0例

23、例7 7、把下列各數寫入相應的集合中：、把下列各數寫入相應的集合中： 四、實數軸四、實數軸 我們知道數軸上的點表示的并不都是有我們知道數軸上的點表示的并不都是有理數，也有無理數如果我們把所有的有理理數，也有無理數如果我們把所有的有理數連起來，組成的是一條斷斷續續的數軸，數連起來，組成的是一條斷斷續續的數軸，這其中的空缺就是我們剛剛學習的無理數，這其中的空缺就是我們剛剛學習的無理數，可見由有理數和無理數把整個數軸填充完整可見由有理數和無理數把整個數軸填充完整了，所以我們把這個數軸又稱為實數軸了，所以我們把這個數軸又稱為實數軸 實數與數軸上的點是一一對應的這其實數與數軸上的點是一一對應的這其中包含

24、著兩層含義：第一，每一個實數都可中包含著兩層含義：第一，每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；第二，數軸上以用數軸上的一個點來表示；第二，數軸上的每一個點都可以用一個實數來表示的每一個點都可以用一個實數來表示 我們把實數表示在數軸上，最直觀地表我們把實數表示在數軸上，最直觀地表明了實數的大小，以原點為分界線，在原點明了實數的大小，以原點為分界線，在原點的右側，表示正數，在原點的左側為負數，的右側，表示正數，在原點的左側為負數，我們知道數軸上的實數從左到右是由小變大，我們知道數軸上的實數從左到右是由小變大，并且數軸上的右側的數總是比它左側的數大，并且數軸上的右側的數總是比它左側的數大，這就引出了實數比較大小的問題顯然同有這就引出