1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十一章 多元函數(shù)積分學(xué) 一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1了解二重積分的概念, 知道二重積分的性質(zhì).2掌握二重積分在直角坐標(biāo)系下和極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法. 3會(huì)用二重積分解決簡單的實(shí)際應(yīng)用題(體積、質(zhì)量).4了解曲線積分的概念和性質(zhì).5會(huì)計(jì)算簡單的曲線積分.重點(diǎn) 二重積分的概念，直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，曲線積分的概念，格林公式，曲線積分的計(jì)算，用二重積分解決簡單的實(shí)際應(yīng)用題.難點(diǎn) 直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，格林公式，曲線積分的計(jì)算，用二重積分解決簡單的實(shí)際應(yīng)用題.（二）內(nèi)容提要1二重積分設(shè)二元函數(shù)是定義在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，用微

2、元法先找出體積微元，再累加求出總體，由這兩步所得的表達(dá)式，即稱為函數(shù)在閉區(qū)域上的二重積分，其中稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分區(qū)域，稱為面積元素，稱為積分變量.2二重積分的幾何意義在區(qū)域上當(dāng)時(shí)，表示曲面在區(qū)域上所對應(yīng)的曲頂柱體的體積.當(dāng) 在區(qū)域上有正有負(fù)時(shí)，表示曲面在區(qū)域上所對應(yīng)的曲頂柱體的體積的代數(shù)和.3 二重積分的性質(zhì) (1)可加性 .(2)齊次性 .(3)對積分區(qū)域的可加性 設(shè)積分區(qū)域可分割成為、兩部分，則有 .(4)(積分的比較性質(zhì)) 若，其中，則 .(5)（積分的估值性質(zhì)） 設(shè)，其中，而為常數(shù)，則 ,其中表示區(qū)域的面積.(6)（積分中值定理）若在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則在上至少存在

3、一點(diǎn)，使得 .4. 二重積分的計(jì)算二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算直角坐標(biāo)系下的面積元素 ,若:,則=，若: ,則=.二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算極坐標(biāo)系下的面積元素，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系若: ,則=.5. 對坐標(biāo)的曲線積分設(shè)是有向光滑曲線,是定義在上的向量函數(shù),且在上連續(xù),利用微元法,先寫出弧微元,作乘積=,再無限累加,由這兩步所得的表達(dá)式,即稱為函數(shù)在有向曲線上對坐標(biāo)的曲線積分,其中有向曲線稱為積分路徑. 如果中有一個(gè)為零，則這時(shí)曲線積分的形式為 ,如果曲線是封閉曲線，上積分記為.6.對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì) 設(shè)為有向曲線弧，是與方向相反的有向曲線弧，則 . 如果，則有 7.格林公式 設(shè)是平面上

4、以分段光滑曲線為邊界的有界閉區(qū)域,函數(shù)及在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有格林公式,其中是區(qū)域的正向邊界.8.曲線積分與路徑無關(guān)(1)定義 設(shè)是一個(gè)單連通區(qū)域,將簡稱為簡稱為,如果對內(nèi)任意指定的兩點(diǎn),以及內(nèi)從點(diǎn)到點(diǎn)的任意兩條不相同的曲線,若有 ,則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān).這時(shí),可將曲線積分記為.(2)曲線積分與路徑無關(guān)的定理在單連通區(qū)域內(nèi)，曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件是：對內(nèi)任意一條閉曲線，均有 .設(shè)函數(shù)和在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件是:在區(qū)域內(nèi)恒成立.9. 曲線積分的計(jì)算方法積分路徑由參數(shù)方程給出設(shè)面上的有向曲線的參數(shù)方程為且滿足: 當(dāng)參數(shù)單調(diào)地由變到時(shí),

5、曲線上的點(diǎn)由起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn); ,在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且;,在有向曲線弧上連續(xù).則曲線積分存在,且=. 積分路徑由給出設(shè)面上的有向曲線弧的方程為 ，這時(shí)可先將有向曲線弧的方程看作是以為參數(shù)的參數(shù)方程然后再按（1）中的方法計(jì)算.要特別注意:在將對坐標(biāo)的曲線積分轉(zhuǎn)換為定積分時(shí),積分下限一定要對應(yīng)積分路徑的起點(diǎn)， 積分上限一定要對應(yīng)積分路徑的終點(diǎn).二 、主要解題方法1在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算例1 計(jì)算 其中由直線，和曲線所圍成.解 畫出區(qū)域的圖形如圖所示，求出邊界曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)（，2）, （1，1）, （2，2），選擇先對積分，這時(shí)的表達(dá)式為 于是= . 分析 本題也可先對積分

6、后對積分，但是這時(shí)就必須用直線將分和兩部分.其中 1D2D 由此得 =+=+ =+=+= . 顯然，先對積分后對積分要麻煩得多，所以恰當(dāng)?shù)剡x擇積分次序是化二重積分為二次積分的關(guān)鍵步驟.例2 計(jì)算，其中：.1D2D 解 畫出積分區(qū)域的圖形， 觀察被積函數(shù)，無論先對積分后對積分還是先對積分后對積分都需要將積分區(qū)域分成兩部分，計(jì)算都較繁，這里選擇先對積分后對積分，其中 因此 =+ =+ =4+4=. 例3 已知 =+ 改變積分次序. 解 積分區(qū)域，其中 1D2D 22xy-= 畫出積分區(qū)域的圖形，改變?yōu)橄葘Ψe分后對積分， 此時(shí) 因此=+ = . 小結(jié) 把二重積分化為累次定積分的關(guān)鍵在于正確選擇積分次

7、序及積分的上、下限，這里要求上限大于下限.在具體計(jì)算重積分時(shí)，正確地利用對稱性可以使計(jì)算簡化，但是要注意：只有當(dāng)積分區(qū)域和被積函數(shù)均關(guān)于所給坐標(biāo)軸對稱時(shí)，對稱性才能應(yīng)用，切不可只顧積分域而忘了被積函數(shù).2 在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算例4 計(jì)算 ，其中由 , , , 所圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域.解 畫出積分區(qū)域的圖形， 1 2 由于積分區(qū)域的邊界曲線有圓周，所以選極坐標(biāo)系積分.此時(shí) ，于是 = =. 例5 求半球體在圓柱()內(nèi)那部分的體積.解 把所求立體投影到面，即圓柱(）內(nèi)部,容易看出所求立體的體積以為底，以上半球面為頂?shù)那斨w的體積. cosraq =由于積分區(qū)域的邊界曲線為圓周，所以采用極

8、坐標(biāo)系較好.此時(shí) 故 = = =（）. 小結(jié) 在計(jì)算二重積分時(shí)，當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形區(qū)域、圓環(huán)區(qū)域或扇形區(qū)域時(shí)，選擇用極坐標(biāo)為好，其他情況用直角坐標(biāo)為宜.3對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法 例 6 設(shè) = ，其中是沿上半圓周=1上的點(diǎn)（1，0）到一段弧，如圖.解一 首先驗(yàn)證曲線積分是否與路徑無關(guān).， 因?yàn)?= ， 所以曲線積分與路徑無關(guān)，可選一條簡單路徑，即選擇線段路徑. 得= ，在線段上， ，從1到，所以=.解二 用參數(shù)方程代入法，設(shè)為參數(shù) ，從0到 得= =（+cos4t）=.顯然，法一比法二簡單.例7 計(jì)算 ，其中為 , 聯(lián)成直線段.解 顯然積分路徑不是封閉曲線，不能直接用格林公式，加直線段， 構(gòu)

9、成封閉曲線，所以 = ，其中 ， = ，= .因?yàn)榉忾]曲線是反方向，所以由格林公式，得 =. 又因?yàn)樵谏希?，故 =0.在上 ， ，從變到，于是 =，因此 =（）.小結(jié) 計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分，（1） 若在單連通域內(nèi) =時(shí)，曲線積分與路徑無關(guān)。若為閉曲線，積分為.（2） 若不封閉，可任選一個(gè)最簡便的計(jì)算路徑，通常選平行于坐標(biāo)軸的折線，使積分變簡單.（3） 若 時(shí)，積分與路徑有關(guān)。若積分曲線為閉曲線，可用格林公式計(jì)算.若積分曲線不封閉可以補(bǔ)上一條線，構(gòu)成閉曲線，再用格林公式，化為定積分計(jì)算.上述解題思路是對一般情況而言的，解題時(shí)應(yīng)具體問題具體分析.往往一題多種解法，當(dāng)然選取最簡便做法.如有的雖然滿足格林公式條件，但用格林公式計(jì)算不一定簡便，這時(shí)可用其他的方法.三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是二重積分的概念，直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算，曲線積分的概念及計(jì)算，格林公式，用二重積分解決簡單的實(shí)際問題.2二重積分計(jì)算方法的核心就是把它化成累次定積分，然后去相繼地計(jì)算那些定積分.化為累次定積分，首先