1、精選優質文檔-傾情為你奉上第十一章 多元函數積分學 一、本章學習要求與內容提要 （一）學習要求1了解二重積分的概念, 知道二重積分的性質.2掌握二重積分在直角坐標系下和極坐標系下的計算方法. 3會用二重積分解決簡單的實際應用題(體積、質量).4了解曲線積分的概念和性質.5會計算簡單的曲線積分.重點 二重積分的概念，直角坐標系與極坐標系下二重積分的計算，曲線積分的概念，格林公式，曲線積分的計算，用二重積分解決簡單的實際應用題.難點 直角坐標系與極坐標系下二重積分的計算，格林公式，曲線積分的計算，用二重積分解決簡單的實際應用題.（二）內容提要1二重積分設二元函數是定義在有界閉區域上的連續函數，用微

2、元法先找出體積微元，再累加求出總體，由這兩步所得的表達式，即稱為函數在閉區域上的二重積分，其中稱為被積函數，稱為被積表達式，稱為積分區域，稱為面積元素，稱為積分變量.2二重積分的幾何意義在區域上當時，表示曲面在區域上所對應的曲頂柱體的體積.當 在區域上有正有負時，表示曲面在區域上所對應的曲頂柱體的體積的代數和.3 二重積分的性質 (1)可加性 .(2)齊次性 .(3)對積分區域的可加性 設積分區域可分割成為、兩部分，則有 .(4)(積分的比較性質) 若，其中，則 .(5)（積分的估值性質） 設，其中，而為常數，則 ,其中表示區域的面積.(6)（積分中值定理）若在有界閉區域上連續，則在上至少存在

3、一點，使得 .4. 二重積分的計算二重積分在直角坐標系下的計算直角坐標系下的面積元素 ,若:,則=，若: ,則=.二重積分在極坐標系下的計算極坐標系下的面積元素，極坐標與直角坐標的關系若: ,則=.5. 對坐標的曲線積分設是有向光滑曲線,是定義在上的向量函數,且在上連續,利用微元法,先寫出弧微元,作乘積=,再無限累加,由這兩步所得的表達式,即稱為函數在有向曲線上對坐標的曲線積分,其中有向曲線稱為積分路徑. 如果中有一個為零，則這時曲線積分的形式為 ,如果曲線是封閉曲線，上積分記為.6.對坐標的曲線積分的性質 設為有向曲線弧，是與方向相反的有向曲線弧，則 . 如果，則有 7.格林公式 設是平面上

4、以分段光滑曲線為邊界的有界閉區域,函數及在上有一階連續偏導數,則有格林公式,其中是區域的正向邊界.8.曲線積分與路徑無關(1)定義 設是一個單連通區域,將簡稱為簡稱為,如果對內任意指定的兩點,以及內從點到點的任意兩條不相同的曲線,若有 ,則稱曲線積分在內與路徑無關.這時,可將曲線積分記為.(2)曲線積分與路徑無關的定理在單連通區域內，曲線積分與路徑無關的充分必要條件是：對內任意一條閉曲線，均有 .設函數和在單連通區域內有一階連續偏導數，則曲線積分與路徑無關的充分必要條件是:在區域內恒成立.9. 曲線積分的計算方法積分路徑由參數方程給出設面上的有向曲線的參數方程為且滿足: 當參數單調地由變到時,

5、曲線上的點由起點運動到終點; ,在以和為端點的閉區間上具有一階連續導數,且;,在有向曲線弧上連續.則曲線積分存在,且=. 積分路徑由給出設面上的有向曲線弧的方程為 ，這時可先將有向曲線弧的方程看作是以為參數的參數方程然后再按（1）中的方法計算.要特別注意:在將對坐標的曲線積分轉換為定積分時,積分下限一定要對應積分路徑的起點， 積分上限一定要對應積分路徑的終點.二 、主要解題方法1在直角坐標系下二重積分的計算例1 計算 其中由直線，和曲線所圍成.解 畫出區域的圖形如圖所示，求出邊界曲線的交點坐標（，2）, （1，1）, （2，2），選擇先對積分，這時的表達式為 于是= . 分析 本題也可先對積分

6、后對積分，但是這時就必須用直線將分和兩部分.其中 1D2D 由此得 =+=+ =+=+= . 顯然，先對積分后對積分要麻煩得多，所以恰當地選擇積分次序是化二重積分為二次積分的關鍵步驟.例2 計算，其中：.1D2D 解 畫出積分區域的圖形， 觀察被積函數，無論先對積分后對積分還是先對積分后對積分都需要將積分區域分成兩部分，計算都較繁，這里選擇先對積分后對積分，其中 因此 =+ =+ =4+4=. 例3 已知 =+ 改變積分次序. 解 積分區域，其中 1D2D 22xy-= 畫出積分區域的圖形，改變為先對積分后對積分， 此時 因此=+ = . 小結 把二重積分化為累次定積分的關鍵在于正確選擇積分次

7、序及積分的上、下限，這里要求上限大于下限.在具體計算重積分時，正確地利用對稱性可以使計算簡化，但是要注意：只有當積分區域和被積函數均關于所給坐標軸對稱時，對稱性才能應用，切不可只顧積分域而忘了被積函數.2 在極坐標系下二重積分的計算例4 計算 ，其中由 , , , 所圍成的第一象限內的區域.解 畫出積分區域的圖形， 1 2 由于積分區域的邊界曲線有圓周，所以選極坐標系積分.此時 ，于是 = =. 例5 求半球體在圓柱()內那部分的體積.解 把所求立體投影到面，即圓柱(）內部,容易看出所求立體的體積以為底，以上半球面為頂的曲頂柱體的體積. cosraq =由于積分區域的邊界曲線為圓周，所以采用極

8、坐標系較好.此時 故 = = =（）. 小結 在計算二重積分時，當積分區域為圓形區域、圓環區域或扇形區域時，選擇用極坐標為好，其他情況用直角坐標為宜.3對坐標的曲線積分的計算方法 例 6 設 = ，其中是沿上半圓周=1上的點（1，0）到一段弧，如圖.解一 首先驗證曲線積分是否與路徑無關.， 因為 = ， 所以曲線積分與路徑無關，可選一條簡單路徑，即選擇線段路徑. 得= ，在線段上， ，從1到，所以=.解二 用參數方程代入法，設為參數 ，從0到 得= =（+cos4t）=.顯然，法一比法二簡單.例7 計算 ，其中為 , 聯成直線段.解 顯然積分路徑不是封閉曲線，不能直接用格林公式，加直線段， 構

9、成封閉曲線，所以 = ，其中 ， = ，= .因為封閉曲線是反方向，所以由格林公式，得 =. 又因為在上， ，故 =0.在上 ， ，從變到，于是 =，因此 =（）.小結 計算對坐標的曲線積分，（1） 若在單連通域內 =時，曲線積分與路徑無關。若為閉曲線，積分為.（2） 若不封閉，可任選一個最簡便的計算路徑，通常選平行于坐標軸的折線，使積分變簡單.（3） 若 時，積分與路徑有關。若積分曲線為閉曲線，可用格林公式計算.若積分曲線不封閉可以補上一條線，構成閉曲線，再用格林公式，化為定積分計算.上述解題思路是對一般情況而言的，解題時應具體問題具體分析.往往一題多種解法，當然選取最簡便做法.如有的雖然滿足格林公式條件，但用格林公式計算不一定簡便，這時可用其他的方法.三、學法建議1本章的重點是二重積分的概念，直角坐標系與極坐標系下二重積分的計算，曲線積分的概念及計算，格林公式，用二重積分解決簡單的實際問題.2二重積分計算方法的核心就是把它化成累次定積分，然后去相繼地計算那些定積分.化為累次定積分，首先