1、重積分的應用目 錄引言.31 二重積分的概念及應用.41.1 二重積分的概念.41.2 二重積分在積分不等式證明中的應用.41.3 利用二重積分求旋轉體的體積.62 三重積分的概念及應用.62.1 三重積分的概念.62.2 利用三重積分求空間物體的質量.72.3 利用三重積分求物體的重心.72.4 利用三重積分求物體的轉動慣量.83 多重積分的概念及其應用.103.1 多重積分的概念.103.2 多重積分的應用.10結論.12致謝.13參考文獻.14 沈陽大學畢業設計（論文） No 0摘 要為了研究重積分的應用，以及重積分在學習生活中的應用，運用重積分的基本概念和應用解決問題. 通過探索重積分

2、在各個領域中的應用,提高解題的效率,改進用基本方法解重積分問題的思想,和處理重積分在各個領域的應用能力結果表明,重積分的應用非常廣泛,不僅在數學的相關領域有重要的應用,而且在實際問題中也發揮著重要作用由于重積分的重要地位,進而對重積分及其應用進行更深層次的研究和探討是十分必要的關鍵詞:重積分；轉動慣量；不等式 沈陽大學畢業設計（論文） No 1AbstractIn order to research the applications ofmultiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and

3、 application to solve the problemThrough exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in

4、all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its a

5、pplication in a better research and discussion is very necessaryKeywords: multiple integral; moment of inertia; inequality 沈陽大學畢業設計（論文） No 2引 言重積分在數學中是一個知識獨特、應用廣泛的重要內容,是近代數學的重要基礎,是高等數學最基本的內容,也是高等院校其它專業知識聯系緊密的部分,它的引入為解決數學中的問題提供了新的視野重積分是研究曲面面積、旋轉體積、不等式證明、計算物體的質量和解決一些生活實際問題等方面的有力工具它有相當廣泛的應用范圍和非常重要的應用價值

6、數學中有很多問題用其它數學思想來解決可能會非常復雜和繁瑣,而用重積分思想解決此類問題就會迎刃而解達到化繁為簡的目的例如二重積分在積分不等式證明中的應用,借助一些定理,通過變換間接解決相關不等式的證明問題,運用二重積分證明不等式,不但可以豐富不等式證明的方法、開闊視野、創新思路,而且在特定情況下可以起到事半功倍的效果同時,三重積分可以用于解決物體的質量、重心和轉動慣量之類的問題借助重積分工具去研究空間物體問題,不僅能獲得簡便的解題方法且能促進科學思維的培養,提高發散思維的水平 因此,我們應該對重積分有比較深刻的了解,而且在遇到具體問題時要能夠熟練運用由此我們可以看出重積分在各個領域都發揮著重要的

7、作用,因此,對重積分的研究不可忽視. 我們應該加大對重積分的研究深度,使之在各個領域起到更大的作用本文就重積分的應用,談一點個人的感悟和體會 沈陽大學畢業設計（論文） No 31 二重積分的概念及應用本章主要介紹將一元函數積分的概念和應用推廣到二元函數，即二重積分的概念及應用1.1 二重積分的概念設二元函數在有界閉區域有定義，用任意分法 將分成 個小),(yxfRTRn區域：，設它們的面積分別是. 在小區域上任取一nRRR,21n,21點，作和), 2 , 1)(,(nkPkkk knkkkf1),() 11 ( 稱為二元函數在區域的積分和),(yxfR令)(,),(),(max21nRdRd

8、RdT定義 1.1 設二元函數在有界閉區域有定義，若當時，二),(yxfR0T元函數在區域的積分和存在極限 （數 與分法 無關，也與點),(yxfR) 11 ( IIT的取法無關） ，記為kPIfknkkkoT1),(lim即，有nkRPTTkkkk, 2 , 1,),(,:, 0, 0Ifknkkk1),(則稱函數在可積， 是二元函數在的二重積分，記為),(yxfRI),(yxfR或dyxfIR),(dxdyyxfIR),(其中稱為積分區域，稱為被積函數，或稱為面積微元R),(yxfddxdy1.2 二重積分在積分不等式證明中的應用 沈陽大學畢業設計（論文） No 4在一些積分不等式證明中，

9、由于被積函數不確定，不能直接求出積分式，本章介紹借助一些定理，通過變換間接證明積分不等式在積分不等式的證明中，需要用到以下定理及推論：定理 1.1 若函數在閉區域上可積，且),(yxfdycbxayxR;: ),(，定積分存在，則累次積分也存在，bax,dyyxfxIdc),()(dxdyyxfbadc ),(且dxdyyxfdxdyyxfbadcR ),(),(特別地 當在矩形區域上連續時，有),(yxfdycbxayxR;: ),(dydxyxfdxdyyxfdxdyyxfdcbabadcR ),(),(),(推論 若函數在上可積，函數在上可積，則乘積函數)(xba,)(ydc,在閉矩形域

10、上也可積，且)()(yxdycbxayxR;: ),(badcRdyydxxdxdyyx)()()()(例 1.1 若連續且，則)(xf0)(xf222)(sin)()(bababadxxfkxdzxfcoxkxdxxf證明：222)()()()()()(cos)()(sin)(sin)(cos)(cos)(sin)(cos)(ababaRRRRbabadxxfyfdxxfdxdyyfxfdxdyyxkyfxfkydxdyyfkxxfkydxdyyfkxxfkxdxxfkxdxxf 沈陽大學畢業設計（論文） No 5（其中： ）dycbxayxR;: ),(:1.3 利用二重積分求旋轉體的體積

11、本節介紹了通過微元法討論如何用二重積分計算平面圖形繞任意不穿過其內部的共面直線旋轉一周所成旋轉體的體積的一般方法，進而得出一般積分公式在計算中需用到的定理：定理 1.2 由連續曲線，直線，及 軸所圍成)0)()(,(xfyxfybxax ,x的曲邊梯形繞不穿過曲邊梯形內部的共面直線旋轉一周所D0:CByAxl圍成的旋轉體的體積為：dyCByAxdxBAdCByAxBAVxfbaD)(0222222例 1.2 求由，所圍成的平面繞直線旋轉一周所圍成旋轉2xy xy xy 體的體積解：，在右下方，即，都有10 ,),(2xxyxyxDDxy Dyx),(，所以由上述公式有yx Dyxyx),( ,

12、 0602)22(2)(2) 1(121043210222dxxxxdyyxdxdyxVxxD 沈陽大學畢業設計（論文） No 62 三重積分的概念及應用本章介紹的三重積分不僅是二重積分的推廣，也是解決某些實際問題所必需的2.1 三重積分的概念設三元函數在有界閉體有定義，用分法 將分成 個小體：),(zyxfVTVn，設它們的體積分別是在小體上任取一點nVVV,21nVVV,21kV若時，和式的極限存在，且與), 2 , 1)(,(nkPkkkk0TknkkkkVf1),(區域的分法和點的選取無關，則稱在上可積，并稱此極),(kkkkP),(zyxfV限為在上的三重積分，記為),(zyxfV或

13、dVzyxfV),(dxdydzzyxfV),(稱為被積函數，稱為積分區域，或稱為體積微元),(zyxfVdVdxdydz2.2 利用三重積分求空間物體的質量設物體占有空間區域，體密度為，則物體的質量V),(zyxdxdydzzyxMV),(例 2.1 設空間區域由與平面圍成，已知上任意一V122yxz2zV點的密度與該點到原點距離平方成正比，求的質量Vm解：由已知密度，則)0)(),(222kzyxkzyxdxdydzzyxkmV)(222作柱面坐標變換：，則zzyx,sin,coskdzxkddm1517)(212210202.3 利用三重積分求物體的重心 沈陽大學畢業設計（論文） No

14、7設物體占有空間區域，體密度為，則物體關于軸的轉動V),(zyxzyx,慣量為：dVzyxdVzyxzzzyxdVzyxyydVzyxdVzyxxxVVVVVV),(),(,),(),(,),(),(如果是均勻的，即密度函數是常數，不妨設，的V),(zyx1),(zyxV體積是 ，則的重心的坐標分別是IV),(zyxVVVzdVIzydVIyxdVIx1,1,1例 2.2 計算密度函數的均勻上半球體1),(zyx的重心)0(:2222zazyxV 解：因為均勻半球體關于與都對稱，所以在公式中，下yzzx0 yx面求 z設 是半徑為 的的半球體體積，已知，求三重積分，作Ia332aIVzdV柱面

15、坐標變換：，有zzryrx,sin,cos400204122adzzdrrdzdVxaaVadVzIzV831于是，均勻上半球體的重心是)83, 0 , 0(a2.4 利用三重積分求物體的轉動慣量設物體占有空間區域，體密度為，則物體關于軸即原點V),(zyxzyx,的轉動慣量為 沈陽大學畢業設計（論文） No 8dVzyxyxIdVzyxxzIdVzyxzyIVzVyVx),()(,),()(,),()(222222例 2.3 計算密度函數的均勻球體，關于三1),(zyx1:222zyxV個坐標軸的轉動慣量解：由上面公式知，球體關于三個坐標軸的轉動慣量分別是VdVyxIdVxzIdVzyIVz

16、VyVx)(,)(,)(222222因為球體關于三個坐標面對稱，被積函數關于每個變量都是偶函數，所以，設，有zyxIIIzyxIIIIdVzyxIV)(23222作球面坐標變換有,即158sin32104020drrddI158zyxIII 沈陽大學畢業設計（論文） No 93 多重積分的概念及其應用與一元函數的廣義積分概念和應用類似，重積分概念也可以 維空間n3.1 多重積分的概念類似于以上兩章二重積分和三重積分的概念，中在上nR),(21nxxxfV的 重積分，記為nVyfdydydyyyyfnkkTnvn 102121)(lim),(3.2 多重積分的應用本節介紹利用多重積分證明畢達哥拉

17、斯定理的一種推廣考慮 維歐氏仿射空間中的一個 維單形n)2( nRnn ixiiiinnnnixaxRxx11, 1, 0, 1:),(:) 13( 其中有個頂點,即和niai, 1, 01n)0 , 0( OniaAii, 1),0 ,. 0(還有個側面，即個頂點的對面，分別是除某個頂點以外其他 個n1n1nn頂點組成的凸包，是一個維單形顯然，只有一個側面不通過原點，1nO即的對面記作 且以表示它的面積（維體積）;其余 個側面都通過OSS1nn原點，頂點所對側面記作且以表示它的面積，文獻利用單iAiSiSni, 1形體積公式證明了現在利用多重積分來證明2212nSSS) 13( 式因為頂點所

18、對側面是由與超平面，相交所成的) 13( ), 1(niAin0ix維單形，即，所以由文獻求得1n0:),(1innnixRxxS )!1(111111naaaadxdxdxdxSniiniiSiini, 1)23( 沈陽大學畢業設計（論文） No 10是由與超平面相交所成的維單形，有顯示表示Sn12211nnaxaxax1n 11111:nnnnaxaxaxSDxxn),(11其中 111111, 1, 0, 1:),(:niiiinnnixaxRxxD由文獻得 21211111021211)!1(1aaaanaadxdxxxxxSnnnnnnn)33( 根據式(3-2)和式立即推得式，因此畢達哥拉斯的推廣得證)33( ) 13( 沈陽大學畢業設計（論文） No 11結 論重積分在高等數學中應用非常廣泛,涉及到數學知識的許多方面本文討論了重積分的有關知識,深入研究了用二重積分簡便計算平面圖形繞任意直線旋轉所成的旋轉體的體積的一般方法，而且給出了用二重積分證明積分不等式的證明思路利用三重積分的物理意義和性質求物體的質量，空間物體的重心坐標和轉動慣量，簡便了以往復雜的計算過程通過以上討論我們了解到重積分是我們研究數學問題的一個有力工具,在今后的學習和日常生活中,我們需對重積分做進一步全面的理解和認識,