1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第 5講數(shù)論(一)教學(xué)目標(biāo)數(shù)論問題本身范圍很廣，我們考察小學(xué)奧數(shù)的內(nèi)容，完全平方數(shù)等知識(shí)點(diǎn)跟基礎(chǔ)課內(nèi)容結(jié)合很緊密，但又是小奧的重難點(diǎn)，我們有必要加以重視本講需要學(xué)生掌握的知識(shí)點(diǎn)有：平方數(shù)性質(zhì)、平方差公式、約數(shù)個(gè)數(shù)定理、約數(shù)和定理、輾轉(zhuǎn)相除法等.本講內(nèi)容中，平方數(shù)部分是數(shù)論中最基本的部分，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)熟練運(yùn)用平方差公式，對(duì)于約數(shù)和倍數(shù)部分，老師應(yīng)當(dāng)更注重其中的邏輯過程，可以適當(dāng)用一些代數(shù)的方法將題目講的更明白和透徹.專題回顧【例 1】 一個(gè)5位數(shù)，它的各位數(shù)字和為43，且能被11整除，求所有滿足條件的5位數(shù)【分析】 現(xiàn)在我們有兩個(gè)入手的選擇，可以選擇數(shù)字和，也可以選擇被

2、11整除，但我們發(fā)現(xiàn)被11整除性質(zhì)的運(yùn)用要有具體的數(shù)字，而現(xiàn)在沒有，所以我們選擇先從數(shù)字和入手5位數(shù)數(shù)字和最大的為95=45，這樣43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8這樣我們接著用11的整除特征，發(fā)現(xiàn)符合條件的有99979，97999，98989【例 2】 已知是一個(gè)四位數(shù)，若兩位數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)，是一個(gè)完全平方數(shù)，是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是_.【分析】 本題綜合利用數(shù)論知識(shí)，因?yàn)槭且粋€(gè)質(zhì)數(shù)，所以不能為偶數(shù)，且同時(shí)是一個(gè)完全平方數(shù)，則符合條件的數(shù)僅為、，當(dāng)時(shí)，滿足是一個(gè)質(zhì)數(shù)的數(shù)有，時(shí)，此時(shí)同時(shí)保證是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為的完全平方數(shù)之積，只有符合；

3、當(dāng)，滿足是一個(gè)質(zhì)數(shù)的數(shù)有，此時(shí)同時(shí)保證是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為的完全平方數(shù)之積，只有符合專題精講分解質(zhì)因數(shù)【例 1】 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)之和為，若、都是質(zhì)數(shù)，則的最小值是多少？【分析】 遇到等量關(guān)系的表述時(shí)，先將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言設(shè)這個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最小的一個(gè)是，則最大的一個(gè)是(遇到多個(gè)連續(xù)自然數(shù)問題，轉(zhuǎn)化時(shí)一般均采用假設(shè)法，自己需要的量，題目中沒有時(shí)，可以設(shè)未知數(shù))，則它們的和是：，則是質(zhì)數(shù)，所以的最小值是的最小值是：.拓展 101個(gè)連續(xù)的非零自然數(shù)的和恰好是四個(gè)不同的質(zhì)數(shù)的積，那么這個(gè)最小的和應(yīng)該是_分析 設(shè)這個(gè)自然數(shù)中最小的數(shù)為，則101個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為： +(+1)+(+2)+(+100)=(+

4、100)1012=(+50)101因?yàn)?01是質(zhì)數(shù)，所以+50必須是3個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，要使和最小經(jīng)檢驗(yàn)+50=66=2311最小，所以和最小為66101=6666鋪墊 已知=，其中、分別表示不同的數(shù)字，那么四位數(shù)是多少？分析 因?yàn)椋栽陬}述等式的兩邊同時(shí)約去即得作質(zhì)因數(shù)分解得，由此可知該數(shù)分解為個(gè)兩位數(shù)乘積的方法僅有注意到兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字分別在另外的兩位數(shù)和中出現(xiàn)，所以=，=，=即=，=，=，=，所求的四位數(shù)是【例 2】 為自然數(shù)，且，、與690都有大于l的公約數(shù)的最小值為_【分析】 ，連續(xù)9個(gè)數(shù)中，最多有5個(gè)是2的倍數(shù)，也有可能有4個(gè)是2的倍數(shù)，如果有5個(gè)連續(xù)奇數(shù)，這5個(gè)連續(xù)奇數(shù)中

5、最多有2個(gè)3的倍數(shù)，1個(gè)5的倍數(shù)，1個(gè)23的倍數(shù)，所以必然有一個(gè)數(shù)不是2、3、5、23的倍數(shù)，即與690沒有大于l的公約數(shù)所以9個(gè)數(shù)中只有4個(gè)奇數(shù)，這個(gè)數(shù)中，有2個(gè)3的倍數(shù)，1個(gè)5的倍數(shù)，1個(gè)23的倍數(shù)，則、是偶數(shù)，剩下的4個(gè)數(shù)中、是3的倍數(shù)（5個(gè)偶數(shù)當(dāng)中只有是3的倍數(shù)），還有、一個(gè)是5的倍數(shù)，一個(gè)是23的倍數(shù).剩下的可以用中國剩余定理求解，是2和3的倍數(shù)，且相鄰兩個(gè)數(shù)中一個(gè)是23的倍數(shù)，另一個(gè)是5的倍數(shù)，顯然是最小解，所以的最小值為19約數(shù)、倍數(shù)【例 3】 已知，甲乙兩數(shù)的最小公倍數(shù)是288，最大公約數(shù)是4，甲乙兩數(shù)不是288和4中的數(shù)，那么甲乙兩數(shù)的乘積為多少?和為多少?【分析】 設(shè)甲乙兩

6、個(gè)數(shù)為，(和都不等于1或72),則，兩數(shù)互質(zhì)，于是，的最小公倍數(shù)為，所以，由于，互質(zhì)，所以或不可能在，的因子中都出現(xiàn)，所以，一個(gè)是一個(gè)是，所以兩數(shù)的乘積等于，和為.【例 4】 有15位同學(xué)，每位同學(xué)都有編號(hào)，它們是1號(hào)到15號(hào)1號(hào)同學(xué)寫了一個(gè)自然數(shù)，2號(hào)說：“這個(gè)數(shù)能被2整除”，3號(hào)說“這個(gè)數(shù)能被3整除”，依次下去，每位同學(xué)都說，這個(gè)數(shù)能被他的編號(hào)數(shù)整除，1號(hào)作了一一驗(yàn)證，只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說得不對(duì)，其余同學(xué)都對(duì)，問：說得不對(duì)的兩位同學(xué)，他們的編號(hào)是哪兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)？如果告訴你，1號(hào)寫的數(shù)是五位數(shù)，請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)【分析】 首先可以斷定編號(hào)是2，3，4，5，6，7號(hào)的同學(xué)說的一定都對(duì)不然，其中

7、說的不對(duì)的編號(hào)乘以2后所得編號(hào)也將說得不對(duì)，這樣就與“只有編號(hào)相鄰的兩位同學(xué)說的不對(duì)”不符合因此，這個(gè)數(shù)能被2，3，4，5，6，7都整除其次利用整除性質(zhì)可知，這個(gè)數(shù)也能被25，34，27都整除，即編號(hào)為10，12，14的同學(xué)說的也對(duì)從而可以斷定說的不對(duì)的編號(hào)只能是8和9這個(gè)數(shù)是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍數(shù)，由于上述十二個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是60060，因?yàn)?0060是一個(gè)五位數(shù)，而十二個(gè)數(shù)的其他公倍數(shù)均不是五位數(shù)，所以1號(hào)同學(xué)寫的數(shù)就是60060拓展 一個(gè)兩位數(shù)有6個(gè)約數(shù)，且這個(gè)數(shù)最小的3個(gè)約數(shù)和為10，那么此數(shù)為幾？分析 最小的三個(gè)約數(shù)中必然包括約數(shù)1，除去

8、1以外另外兩個(gè)約數(shù)和是9，由于9是1個(gè)奇數(shù)，所以這兩個(gè)約數(shù)的奇偶性質(zhì)一定是相反的，其中一定有一個(gè)是偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即2是它的約數(shù)于是顯然的，2是這個(gè)數(shù)第二小的約數(shù)，而第三小的約數(shù)是7，所以這個(gè)兩位數(shù)是14的倍數(shù)，由于這個(gè)兩位數(shù)的約數(shù)中不含3、4、5、6，所以這個(gè)數(shù)只能是14或98，其中有6個(gè)約數(shù)的是98約數(shù)個(gè)數(shù)定理：設(shè)自然數(shù)的質(zhì)因子分解式如.那么的約數(shù)個(gè)數(shù)為自然數(shù)的約數(shù)和為【例 5】 兩數(shù)乘積為，而且己知其中一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)多，那么這兩個(gè)數(shù)分別是_、_【分析】 ，由于其中一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)比另一數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)多，所以這兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)數(shù)的約數(shù)為奇數(shù)個(gè)，

9、這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)故這個(gè)數(shù)只能為、或經(jīng)檢驗(yàn)，只有兩數(shù)分別為和時(shí)符合條件，所以這兩個(gè)數(shù)分別是和鋪墊 在三位數(shù)中，恰好有個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析 ，所以個(gè)約數(shù)的數(shù)可以表示為一個(gè)質(zhì)數(shù)的次方，或者兩個(gè)不同質(zhì)數(shù)的平方的乘積，前者在三位數(shù)中只有符合條件，后者中符合條件有、,所以符合條件的有個(gè).【例 6】 兩個(gè)整數(shù)、的最大公約數(shù)是，最小公倍數(shù)是，并且已知不等于，也不等于或，那么等于多少？【分析】 最大公約數(shù)，當(dāng)然是最小公倍數(shù)的約數(shù)，因此是的約數(shù)，不等于1，只能是或者如果，那么和都是的約數(shù)，和不能是11，只能是22，44，88，176這四個(gè)數(shù)中的兩個(gè)，但是這四個(gè)數(shù)中任何兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都不是11，由此得出不

10、能是11現(xiàn)在考慮，那么，和是170的約數(shù)，又要是17的倍數(shù)，有，三個(gè)數(shù)，其中只有34和85的最大公約數(shù)是17，因此，和分別是34和85，【例 7】 已知是一個(gè)有12個(gè)約數(shù)的合數(shù)，、有24個(gè)約數(shù)，有40個(gè)約數(shù)，求有多少個(gè)約數(shù)？【分析】 設(shè)，中不含有2、3、5因子，那么的約數(shù)個(gè)數(shù)有(其中為的約數(shù)個(gè)數(shù))的約數(shù)個(gè)數(shù)為，與比較得到,于是，的約數(shù)個(gè)數(shù)為，與比較，于是，的約數(shù)個(gè)數(shù)為，與比較得到，于是，將、代入得到，的約數(shù)個(gè)數(shù)為.鋪墊已知偶數(shù)不是的整數(shù)倍，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)為，求的約數(shù)的個(gè)數(shù).分析 將分解，其中是奇數(shù)，它的約數(shù)的個(gè)數(shù)為，(其中為的約數(shù)個(gè)數(shù))，則的約數(shù)個(gè)數(shù)為.【例 8】 要使這個(gè)積是的倍數(shù)，并要使最

11、小，則【分析】 分析題意，為同一個(gè)數(shù)可以由兩種乘積的形式表示關(guān)于因數(shù)乘積表示形式，類比聯(lián)系我們所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)：質(zhì)因數(shù)的唯一分解式：則是的倍數(shù)，則得到，使最小，則完全平方數(shù)【例 9】 從到的所有自然數(shù)中，乘以后是完全平方數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)？【分析】 完全平方數(shù)，所有質(zhì)因數(shù)必成對(duì)出現(xiàn)，所以滿足條件的數(shù)必為某個(gè)完全平方數(shù)的倍，共個(gè)鋪墊有個(gè)連續(xù)自然數(shù)，它們的和為一個(gè)平方數(shù)，中間三數(shù)的和為立方數(shù)，則這五個(gè)數(shù)中最小數(shù)的最小值為_分析 考查平方數(shù)和立方數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)涉及到數(shù)量較少的連續(xù)自然數(shù)問題，設(shè)未知數(shù)的時(shí)候有技巧設(shè)中間數(shù)是,則它們的和為, 中間三數(shù)的和為是平方數(shù)，設(shè),則是立方數(shù)，所以至少含有和的質(zhì)因數(shù)各個(gè)

12、, 至少是,中間的數(shù)至少是最小數(shù)的最小值為【例10】 志誠小學(xué)三四年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)多人，但比五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)少人，已知五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)和一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)都是完全平方數(shù)，那么志誠中學(xué)總的學(xué)生人數(shù)有多少人？(請(qǐng)寫出最現(xiàn)實(shí)的答案)【分析】 五六年級(jí)的人數(shù)和一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)都是完全平方數(shù)，所以可以設(shè)五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為，一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為，則，而，所以，與可能為和；和；和，由這三個(gè)答案得到的和的值分別為：77和76，13和4，27和24，顯然由前兩組答案得到的學(xué)校人數(shù)不符合現(xiàn)實(shí)，所以，為最佳結(jié)果.此時(shí)五六年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為人，一二年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為576人，三四年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為

13、676，學(xué)校的總?cè)藬?shù)為人.鋪墊能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？分析 假設(shè)能找到，設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別為、，那么這兩個(gè)完全平方數(shù)的差為，由于和的奇偶性質(zhì)相同，所以不是的倍數(shù)，就是奇數(shù)，所以不可能等于兩個(gè)平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找不到.【例11】 一個(gè)正整數(shù)若能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16=,16就是一個(gè)“智慧數(shù)”，那么從1開始的自然數(shù)列中，第2003個(gè)“智慧數(shù)”是_【分析】 =因?yàn)榕c同奇同偶，所以“智慧數(shù)”是奇數(shù)或是4的倍數(shù) 對(duì)于任何大于1的奇數(shù)()，當(dāng)，時(shí)，都有=即任何大于1的奇數(shù)都是“智慧數(shù)” 對(duì)于任何大于4的4的倍數(shù)()

14、，當(dāng)，時(shí)，都有=即任何大于4的4的倍數(shù)都是“智慧數(shù)”除了1和4以外，非“智慧數(shù)”都是不能被4整除的偶數(shù)，“智慧數(shù)”約占全部正整數(shù)的，為，加上1和4這兩個(gè)非“智慧數(shù)”，在12672中共有非“智慧數(shù)”668+2=670(個(gè))，有“智慧數(shù)”2672670=2002(個(gè))所以第2003個(gè)“智慧數(shù)”是2673【例12】 （2008年清華附中入學(xué)考試題）有兩個(gè)兩位數(shù)，它們的差是，將它們分別平方，得到的兩個(gè)平方數(shù)的末兩位數(shù)（個(gè)位數(shù)和十位數(shù)）相同，那么這兩個(gè)兩位數(shù)是 （請(qǐng)寫出所有可能的答案）【分析】 （法一）設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別是和，則與兩個(gè)數(shù)的末兩位相同，即與的末兩位相同，所以是的倍數(shù)，個(gè)位只能是或先設(shè)，則，當(dāng)，

15、時(shí)滿足條件，但時(shí)較大的兩位數(shù)大于不合題意再設(shè)，可求得，時(shí)滿足條件 所以一共有、三組答案 （法二）,是的倍數(shù)，所以是的倍數(shù)，符合條件的只有、鞏固精練1 兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和等于，又有三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的平方和等于，則這兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)為_，這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為_【分析】 ， 所以這兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)為、，所以這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)為、2 有個(gè)自然數(shù)相加： (和恰好是三個(gè)相同數(shù)字組成的三位數(shù))，那么_【分析】 ，由于是個(gè)一位數(shù)，與是兩個(gè)相鄰的整數(shù)，只有當(dāng)，時(shí)滿足題意，所以所求的為3 已知有個(gè)約數(shù)，有個(gè)約數(shù)，有個(gè)約數(shù)，有多少個(gè)約數(shù)？【分析】 設(shè)，有個(gè)約數(shù)，(為的約數(shù)個(gè)數(shù))，于是有個(gè)約數(shù)，所以，有個(gè)約數(shù)，由此求得，所以有個(gè)約數(shù).4 、兩數(shù)都只含有質(zhì)因數(shù)3和2，它們的最大公約數(shù)是18已知有12個(gè)約數(shù)，有8個(gè)約數(shù)，那么_【分析】 ，、至少含有兩個(gè)3和一個(gè)2因?yàn)橛?2個(gè)約數(shù)，所以可能是、或，有8個(gè)約數(shù)，所以，于是只能是，故5 把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干組，要求