1、第三章 流體流動的基本方程海南大學工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1 描述流體運動的方法及概念運動要素：運動要素：表征流體運動狀態的物理量 一、場一、場運動要素之間的規律運動要素之間的規律 每一運動要素都隨空間與時間在變化；每一運動要素都隨空間與時間在變化； 各要素之間存在著本質聯系。各要素之間存在著本質聯系。場的概念場的概念：流體的運動是以空間坐標和時間為變量描述的，或者說流體運動：流體的運動是以空間坐標和時間為變量描述的，或者說流體運動空間的每一點、某時刻都對應著描述流體運動狀態的參量的一個確定的值，空間的每一點、某時刻都對應著描述流體運動狀

2、態的參量的一個確定的值，即物理的場即物理的場場的描述方法場的描述方法： Largrange法和Euler法場的分類：場的分類： 矢量場矢量場 穩定場穩定場 標量場標量場 時變場時變場工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院二、拉格朗日法（隨體法或跟蹤法）二、拉格朗日法（隨體法或跟蹤法） )()()(tcbazztcbayytcbaxx，ttcbaFtB,1.1 描述流體運動的方法工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院二、拉格朗日法（隨體法或跟蹤法）二、拉格朗日法（隨體法或跟蹤法） 對于某個確定的流體質點，（對于某個確定的流體質點，（a，b，c）為常數，）為常數，t為變量為變量軌跡軌跡 a，b

3、，c為為Lagrange變量，不是空間坐標的函數，是流體質點的標號，變量，不是空間坐標的函數，是流體質點的標號，表示流體質點的初始時刻的位置表示流體質點的初始時刻的位置1.1 描述流體運動的方法 t為常數，（為常數，（a，b，c）為變量）為變量某一時刻不同流體質點的位置分布某一時刻不同流體質點的位置分布工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院流體質點的運動方程流體質點的運動方程x=x (a，b，c，t) y=y (a，b，c，t) z=z (a，b，c，t),(),(tcbauttcbaxu),(),(tcbavttcbayv),(),(tcbawttcbazw),(),(),(22tcbaa

4、ttcbaxttcbauaxx),(),(),(22tcbaattcbayttcbavayy),(),(),(22tcbaattcbazttcbawazz1.1 描述流體運動的方法工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院 直觀性強、物理概念明確、可以描述各質點的時變過程直觀性強、物理概念明確、可以描述各質點的時變過程 數學求解較為困難，一般問題研究中很少采用數學求解較為困難，一般問題研究中很少采用 ：1.1 描述流體運動的方法工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院三、三、 EulerEuler法（歐拉法）法（歐拉法） 流體質點的流動是空間點坐標（x，y，z）和時間t 的函數例如：流體質點的三

5、個速度分量、壓強和密度可表示為： u=u (x，y，z，t) v=v (x，y，z，t) w=w (x，y，z，t)p=p (x，y，z，t)=(x，y，z，t)注：l 當參數x，y，z不變而改變時間t，則表示空間某固定點的速度隨時間的變化規律。l 當參數t不變，而改變x，y，z，則代表某一時刻，空間各點的速度分布。B=F (x，y，z，t)1.1 描述流體運動的方法工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.1 描述流體運動的方法四、質點導數四、質點導數 ttcbaFtB,zBwyBvxButBtBtzzBtyyBtxxBttzyxBttzzyyxxBdtdBtt lim ,lim00Bvt

6、BtdBzkyjxi工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.1 描述流體運動的方法四、質點導數四、質點導數 zwwywvxwutwazvwyvvxvutvazuwyuvxuutuazyxzBvyBvxBvtBdtdBzyx 利用歐拉法得到的是場，在工程實際中，并不關心每一質點的來利用歐拉法得到的是場，在工程實際中，并不關心每一質點的來龍去脈。因此，歐拉法在流體力學研究中廣泛被采用。龍去脈。因此，歐拉法在流體力學研究中廣泛被采用。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院五、兩種方法的比較五、兩種方法的比較 拉格朗日法拉格朗日法 歐拉法歐拉法分別描述有限質點的軌跡分別描述有限質點的軌跡 同時描

7、述所有質點的瞬時參數同時描述所有質點的瞬時參數表達式復雜表達式復雜 表達式簡單表達式簡單不能直接反映參數的空間分布不能直接反映參數的空間分布 直接反映參數的空間分布直接反映參數的空間分布不適合描述流體元的運動變形特性不適合描述流體元的運動變形特性 適合描述流體元的運動變形特性適合描述流體元的運動變形特性 拉格朗日觀點是重要的拉格朗日觀點是重要的 流體力學最常用的解析方法流體力學最常用的解析方法1.1 描述流體運動的方法工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念一、流動的分類一、流動的分類 定常和非定常流動定常和非定常流動 1. 1. 定常流動定常流動流動參量流動參量

8、不隨不隨時間變化的流動。時間變化的流動。),(),(),(zyxzyxppzyxvv特點：流場內的速度、壓強、密度等參量只是坐標的函特點：流場內的速度、壓強、密度等參量只是坐標的函數，而與時間無關。數，而與時間無關。 0tB即：即：工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念一、流動的分類一、流動的分類 定常和非定常流動定常和非定常流動 2. 2. 非定常流動非定常流動流動參量流動參量隨隨時間變化的流動。時間變化的流動。特點：流場內的速度、壓強、密度等參量不僅是坐標的函特點：流場內的速度、壓強、密度等參量不僅是坐標的函數，而且與時間有關。數，而且與時間有關。 0tB即

9、：即：),(),(),(tzyxtzyxpptzyxvv工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念一、流動的分類一、流動的分類 定常和非定常流動定常和非定常流動 流體的出流工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念一、流動的分類一、流動的分類 一維流動、二維流動和三維流動一維流動、二維流動和三維流動流動參量是幾個坐標變量的函數，即為幾維流動。流動參量是幾個坐標變量的函數，即為幾維流動。)(xvv),(zyxvv),(yxvv一維流動一維流動二維流動二維流動三維流動三維流動1. 1. 定義定義實際流體力學問題均為三元流動。工程中一般根據具體

10、情況加以實際流體力學問題均為三元流動。工程中一般根據具體情況加以簡化。簡化。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念一維流動、二維流動和三維流動一維流動、二維流動和三維流動繞無限翼展的流動工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念一維流動、二維流動和三維流動一維流動、二維流動和三維流動繞有限翼展的流動工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念二、跡線與流線二、跡線與流線 跡線：跡線：同一流體質點在不同時刻形成的曲線同一流體質點在不同時刻形成的曲線流星、流星、 煙火、煙火、 木屑順水而下木屑順水而下工程流體力學

11、工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念二、跡線與流線二、跡線與流線 在同一瞬間，位于某條線上每一個流體微團的速度矢量都與此線在該在同一瞬間，位于某條線上每一個流體微團的速度矢量都與此線在該點的切線重合，則這條線稱為流線。適于點的切線重合，則這條線稱為流線。適于歐拉方法歐拉方法。u21uu2133u6545u46u流線流線0d svdsdvvzvdsdyvvyvdsdxvvxvzyx),cos(),cos(),cos(zyxvdzvdyvdx流線微分方程流線：流線：工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念二、跡線與流線二、跡線與流線 流線的性質流

12、線的性質（1 1）流線彼此不能相交。）流線彼此不能相交。（2 2）流線是一條光滑的曲線，）流線是一條光滑的曲線， 不可能出現折點。不可能出現折點。（3 3）定常流動時流線形狀不變，）定常流動時流線形狀不變， 非定常流動時流線形狀發生變化。非定常流動時流線形狀發生變化。v1v2s1s2交點v1v2折點sl 強調的是空間連續質點而不是某單個質點強調的是空間連續質點而不是某單個質點l 形成是在某一瞬間而不是一段連續時間內形成是在某一瞬間而不是一段連續時間內l 表示的是質點的速度方向而不是空間位置連線表示的是質點的速度方向而不是空間位置連線工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的

13、基本概念流線與跡線的區別流線與跡線的區別流線流線定義定義拉格朗日法拉格朗日法歐拉法歐拉法質點的運動軌跡質點的運動軌跡某一瞬時，速度方向線某一瞬時，速度方向線研究方法研究方法 跡線跡線 工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念流線計算舉例流線計算舉例【解解】 由于w=0，所以是二維流動，二維流動的流線方程微分為 將兩個分速度代入，得到 即 xdx+ydy=0 積分上式得到 x2+y2=c 即流線簇是以坐標原點為圓心的同心圓。【例例3-13-1】 有一流場，其流速分布規律為：u= -ky，v= kx，w=0，試求其流線方程。vyuxddxyyxkdkd工程流體力學工程

14、流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念 三、流管和流束三、流管和流束 工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.2 描述流體運動的基本概念 系統系統質量交換質量交換有有單純界面相互作用單純界面相互作用有有界面相互作用界面相互作用流體流入流出作用流體流入流出作用無無有有動量和能動量和能量交換量交換 控制體控制體 四、系統和控制體四、系統和控制體 工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院 在管路和明渠等流體力學計算中得到極為廣泛的應用。在管路和明渠等流體力學計算中得到極為廣泛的應用。 l 流體連續地充滿所占據的空間，當流體流動時在其內部不形

15、成空隙，流體連續地充滿所占據的空間，當流體流動時在其內部不形成空隙，這就是這就是流體運動的連續性假設流體運動的連續性假設。l 質量守恒定律質量守恒定律(conservation of mass)(conservation of mass) ：u若在某一定時間內，流出的流體質量和流入的流體質量不相等時，若在某一定時間內，流出的流體質量和流入的流體質量不相等時，則這封閉曲面內一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個則這封閉曲面內一定會有流體密度的變化，以便使流體仍然充滿整個封閉曲面內的空間；封閉曲面內的空間；u如果流體是不可壓縮的，則流出的流體質量必然等于流入的流體質如果流體是不可壓縮的，則

16、流出的流體質量必然等于流入的流體質量。量。連續性方程連續性方程2 連續性方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院控制體邊長分別為dx、dy和dz形心O的坐標為x、y、z某一瞬時t 經過形心O的流體質點沿各坐標軸的速度分量為u、v、w形心O的密度為流體從左向右流動經過控制體2 .1 直角坐標系下連續性微分方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院分析沿分析沿x x軸方向控制體內流體質量軸方向控制體內流體質量d dt t 時間內變化量時間內變化量流入控制體左面質量流入控制體左面質量tzytzyxxutzyxxddd,2d,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2d

17、ddd2d),(2d),(2 .1 直角坐標系下連續性微分方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院流出控制體右面質量，流出控制體右面質量，可同理得出，即可同理得出，即tzyxtuuxtddd2d2d二者之差即為二者之差即為dtdt時間內沿時間內沿x x軸控制體內流體質量軸控制體內流體質量dtdt時間內變化量，即時間內變化量，即tzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd分析沿分析沿x x軸方向微元內流體質量軸方向微元內流體質量dtdt時間內變化量時間內變化量2 .1 直角坐標系下連續性微分方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院同理得沿同理得沿y y 和和z z 軸方向在軸方向

18、在dtdt時間內質量的變化量時間內質量的變化量y y 軸軸因此，在因此，在dt 時間內經過六面體控制體的時間內經過六面體控制體的流體質量總變化量流體質量總變化量為三個方為三個方向變化量之和，即向變化量之和，即tzyxvydddd)(z z 軸軸tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxudddd2 .1 直角坐標系下連續性微分方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院 式應和由于流體密度的變化而產生的六面體內的流體質量變化相等。設開始瞬時流體的密度為，經過dt 時間后的密度為ttttzyxd)d,(則在dt 時間內，六面體內因密度的變化而引起的質量變化為tzyxtzyxzyxttdddddd

19、ddddd2 .1 直角坐標系下連續性微分方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院 由 = ，簡化得0zwyvxut可壓縮流體非定常三維流動的連續性方程可壓縮流體定常三維流動0t0zwyvxu可壓縮流體定常三維流動的連續性方程不可壓縮流體三維流動C0zwyvxu不可壓縮流體三維流動的連續性方程2 .1 直角坐標系下連續性微分方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院 對于二維流動，不可壓縮流體的連續性方程為0yvxu注：連續性方程對于理想流體和粘性流體均適用2 .1 直角坐標系下連續性微分方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程一維流動的問題一維流動

20、的問題在管道中流動的流體在管道中流動的流體在單位時間內通過微元流管的任一有效截面的流體質量都應相等，即在單位時間內通過微元流管的任一有效截面的流體質量都應相等，即 1 1、在流場中取一微元流束、在流場中取一微元流束2 2、假定流體的運動是連續的、定常的、假定流體的運動是連續的、定常的研究對象：研究對象：constVdAdAVdAV222111微元流束的連續性方程微元流束的連續性方程 工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程dAdA1 1 、dAdA2 2 分別為分別為1 1、2 2兩個兩個有效截面的面積，有效截面的面積，m m2 2； V V1 1 、V V2

21、 2 分別為分別為dAdA1 1和和dAdA2 2上的流速，也稱為真實流速，上的流速，也稱為真實流速，m/sm/s；1 1 、2 2 分別為分別為dAdA1 1和和dAdA2 2處的流體密度，處的流體密度，kg/mkg/m3 3。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程 對于由無限多微元流束所組成的總流（例如流體在管道中的流動），可對式進行積分得常數AAAAVAVAVddd21222111A1 和A2分別為總流1和2兩個有效截面的面積，m2。一維流動積分形式總流的連續性方程設 和 是總流兩個有效截面l和2上的平均流速，可化為1V2V222111AVAV1和2分

22、別代表截面和上的平均密度，kg/m3可壓縮流體一維定常流動的總流連續性方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程 對于不可壓縮流體2211AVAV不可壓縮流體一維定常流動的總流連續性方程 該式說明一維不可壓縮流體在定常流動條件下，沿流動方向的體積流量為一個常數，平均流速與有效截面面積成反比，即有效截面面積大的地方平均流速小，有效截面面積小的地方平均流速就大。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程【解解】 根據不可壓縮流體三維流動連續性方程進行判斷 所以故此流動不連續。不滿足連續性方程的流動是不存在的 3xu4yv2zw09

23、 zwyvxu【例例3-23-2】 假設有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布規律為）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。試分析該流動是否連續。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程 【解解】 根據不可壓縮流體二維流動連續性方程進行判斷 所以 故此流動是連續的。yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu【例例3-33-3】 有一不可壓縮流體平面流動，其速度分布規律為u=x2siny，v=2xcosy，試分析該流動是否連續。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程【例例3-43-4】

24、 有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，試求截面2-2處的平均流速 為多少？2V2V工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院2.2 微元流束和總流的連續性方程【例例3-43-4】 有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，試求截面2-2處的平均流速 為多少？2V2V【解解】 由不可壓縮定常總流連續性方程，對兩個截面有 所以 (m/s)22221144dVdV5 . 015 . 02222112ddVV工程流體力學工程流體力學

25、海南大學機電學院工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院3.1 動量方程yxzodAnv1vn1vn2nfsndAdAdVfv212sCVCSCSCSCVfdVf dAndAndAdVt11221122vvvvvvvvv 單位時間內單位時間內單位時間內質量力表面力流入的動量流出的動量動量的增量適于控制體的積分形式動量方程適于控制體的積分形式動量方程一、一般形式的動量方程一、一般形式的動量方程 工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院3.1 動量方程二、定常流動動量方程二、定常流動動量方程 0t2122snnCVCSCVCSCSfdVf dAdVvdAvdAt2121vvvvv1222snnCV

26、CSCSCSfdVf dAvdAvdAvvvv2222多個出口與入口各端口上流體密度與速度均勻分布221 1221 1221 1fxsxmxmxfysymymyfxszmzmzFFq vq vFFq vq vFFq vq v1dAnv 表示在控制體流入面的微元面上的速度在內法線方向的投影2dAnv 表示在控制體流出面的微元面上的速度在外法線方向的投影工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院3.1 動量方程三、一維定常流動動量方程三、一維定常流動動量方程 z212121fxsxmxxfysymyyfzszmzzFFqvvFFqvvFFqvv221 1221 1221 1fxsxmxmxfysym

27、ymyfxszmzmzFFq vq vFFq vq vFFq vq v一維定常流動動量方程一維定常流動動量方程注：適用于慣性坐標系或者相對于慣性坐標系做勻速直線運動的坐標系工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院3.1 動量方程三、一維定常流動動量方程三、一維定常流動動量方程 一維定常流動動量方程的應用一維定常流動動量方程的應用彎管內流動的計算彎管內流動的計算)(sin)(cos1222122211yyyyxxxxvvQRGApFvvQRApApFsinsin)cos(cos222122211QvGApRvvQApApRyxjRiRRRRRyxyx22xyRRarctg工程流體力學工程流體力學

28、海南大學機電學院3.1 動量方程三、一維定常流動動量方程三、一維定常流動動量方程 一維定常流動動量方程的應用一維定常流動動量方程的應用射流作用在固定平面上的沖擊力射流作用在固定平面上的沖擊力1 12200mvm vm vRx向向0sinmvR sinsin2000vAmvR射流對平板的沖擊力射流對平板的沖擊力 /RR為 的反作用力射流后平板兩側的分流流量與總流流量的關系式通過聯立連續性方程射流后平板兩側的分流流量與總流流量的關系式通過聯立連續性方程和動量方程自行推導（習題和動量方程自行推導（習題3-143-14）x工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院3.2 理想流體的運動微分方程 理想流體

29、運動微分方程式是研究流體運動學的重要理論基礎。可以用理想流體運動微分方程式是研究流體運動學的重要理論基礎。可以用牛頓第二定律牛頓第二定律加以推導。加以推導。 l 受力分析：受力分析：1 1、質量力：、質量力：2 2、表面力：、表面力：fxdxdydz切向應力切向應力0 0（理想流體）（理想流體）法向應力壓強法向應力壓強2dxxpp2dxxppx軸正方向軸正方向x軸正方向軸正方向x軸負方向軸負方向理想流體中任一微元平行六面體的微團工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院3.2 理想流體的運動微分方程根據根據牛頓第二定律牛頓第二定律得得x x 軸方向的運動微分方程軸方向的運動微分方程dtduzyx

30、zyxxppzyxxppzyxfxxddddd2ddd2dddddtduxpfxx1dtduypfyy1dtduzpfzz1理想流體的運動微分方程理想流體的運動微分方程歐拉運動微分方程歐拉運動微分方程xpXuzuuyuuxutuzxyxxxx1ypYuzuuyuuxutuzyyyxyy1zpZuzuuyuuxutuzzyzxzz1工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程一一 、方程的推導、方程的推導xpXuzuuyuuxutuzxyxxxx1ypYuzuuyuuxutuzyyyxyy1zpZuzuuyuuxutuzzyzxzz1(1) 不可

31、壓縮理想流體的定常流動；不可壓縮理想流體的定常流動；(2) 沿同一微元流束（也就是沿流線）積分；沿同一微元流束（也就是沿流線）積分；(3) 質量力只有重力。質量力只有重力。即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。即可求得理想流體微元流束的伯努利方程。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程0 zwyvxuconst 0tuxpXuzuuyuuxuzxyxxx1ypYuzuuyuuxuzyyyxy1zpZuzuuyuuxuzzyzxz1乘以乘以dx乘以乘以dy乘以乘以dz工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程zzwwzywvzxwuzzpzfyzvwyyvvyxvuy

32、ypyfxzuwxyuvxxuuxxpxfzyxdddd1ddddd1ddddd1d由流線微分方程有 udy=vdx ydz=wdy wdx=udz代入上式可得：工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程將3式相加，得wwzzwwyywwxxwwzzpzfvvzzvvyyvvxxvvyypyfuuzzuuyyuuxxuuxxpxfzyxddddd1dddddd1dddddd1dwwvvuuzzpyypxxpzfyfxfzyxdddddd1)ddd(工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程而pzzpyypxxpdddd2222d21)(d21dddVwvuwwvvuu

33、假設質量力只有重力，fx=0，fy=0，fz= -g，即 z 軸垂直向上，oxy為水平面。則式可寫成0d21d1d2Vpzg又假設為不可壓縮流體，即=常數，積分后得常數22Vpgz常數gVgpz22或理想流體流線上的伯努利方程理想流體流線上的伯努利方程工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程二二 、方程的適用范圍、方程的適用范圍該方程的適用范圍：該方程的適用范圍： 理想不可壓縮流體； 質量力只有重力； 定常流動； 沿同一流線（或微元流束）。若1、2為同一條流線（或微元流束）上的任意兩點，則常數gVgpz22gVgpzgVgpz2222222111在特殊情況下，絕對靜止流體V=0，

34、可得到靜力學基本方程常數gpz工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程三三 、方程的物理意義和幾何意義、方程的物理意義和幾何意義pggu22z位能位能壓力能壓力能動能動能pzg勢能勢能22puzgg機械能機械能伯努利方程表明伯努利方程表明 理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流動時，沿同一流線（或微元流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持流束）上各點的單位重量流體所具有的位勢能、壓強勢能和動能之和保持不變，即機械能是一常數，但位勢能、壓強勢能和動能三種能量之間可以不變，即機械能是一常數，但位勢能、

35、壓強勢能和動能三種能量之間可以相互轉換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學中的一種特殊表現相互轉換，所以伯努利方程是能量守恒定律在流體力學中的一種特殊表現形式。形式。1、物理意義、物理意義工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程三三 、方程的物理意義和幾何意義、方程的物理意義和幾何意義22upzHgg常數bc1aa2cbH總水頭線靜水頭線gv2/21gp/11zgv2/22gp/22z速速度度水水頭頭位位置置水水頭頭壓壓強強水水頭頭總總水水頭頭2、幾何意義、幾何意義注：理想流體的總水頭線注：理想流體的總水頭線: :水平線水平線 實際流體的總水頭線實際流體的總水頭線: :斜線斜

36、線工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程VBAZZ皮托管測速原理0Hh(一一)、皮托管測速、皮托管測速1 皮托管四四 、方程的應用、方程的應用皮托管工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程對A、B兩點列伯努利方程伯努利方程AAABBBzgugpzgugp2222在點A處為流動駐點 0Au且 BAzz ABBppu22則 ghppvBA22駐點：流體中速度為0的點（A點）總壓（滯止壓強）：駐點的壓強（A點壓強）一、皮托管一、皮托管工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程ABBppu22A點的總壓=B點的總壓任一點壓強與總壓的關系220upp總壓靜壓動壓

37、2 靜壓管靜壓管工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程3 動壓管迎流孔迎流孔順流孔順流孔接差壓計接差壓計尾柄尾柄頭部頭部ppppvBA022ppv02工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(二二)、文丘里流量計、文丘里流量計 用于管道中流體的流量測量，主要是由收縮段、喉部和擴散段三部分組成。它是利用收縮段，造成一定的壓強差，在收縮段前和喉部用形管差壓計測量出壓強差，從而求出管道中流體的體積流量。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程測流量原理對測壓處1-1和2-2列伯努利方程連續方程靜壓方程gVgpgVgp20202222112121VAAV )

38、/(1 )(2212212AAppV液液ghpp)(21)/(1 )(22122AAhgV液液工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程測流量原理)/(1 )(242122222AAhgdVAqV液液流量計算式對于實際情況)/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液實式中Cd為流量系數，通過實驗測定。文特里流量計是節流裝置中的一種，除此之外還有孔板，噴嘴等，其基本原理與文特里流量計基本相同。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(三三)、方程使用時的幾點注意、方程使用時的幾點注意 伯努利方程是流體力學的基本方程之一，與連續性方程和流體靜力學方程聯立，可

39、以全面地解決一維流動的流速(或流量)和壓強的計算問題，用這些方程求解一維流動問題時，應注意下面幾點：1 弄清題意，看清已知什么，求解什么，是簡單的流動問題，還是既有流動問題又有流體靜力學問題。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(三三)、方程使用時的幾點注意、方程使用時的幾點注意2 選好有效截面。 選擇合適的有效截面，應包括問題中所求的參數，同時使已知參數盡可能多。通常對于從大容器流出，流入大氣或者從一個大容器流入另一個大容器，有效截面通常選在大容器的自由液面或者大氣出口截面，因為該有效截面的壓強為大氣壓強，對于大容器自由液面，速度可以視為零來處理。工程流體力學工程流體力學海

40、南大學機電學院4 伯努利方程(三三)、方程使用時的幾點注意、方程使用時的幾點注意3選好基準面。基準面原則上可以選在任何位置，但選擇得當，可使解題大大簡化，通常選在管軸線的水平面或自由液面，要注意的是，基準面必須選為水平面。4求解流量時，一般要結合一維流動的連續性方程求解。伯努利方程的 p1和 p2應為同一度量單位，同為絕對壓強或者同為相對壓強， p1和 p2 問題與靜力學中的處理完全相同。 5 有效截面上的參數，如速度、位置高度和壓強應為同一點的，絕對不許在式中取有效截面上點的壓強，又取同一有效截面上另一點的速度。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉

41、例【例例3-53-5】 有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例【例例3-53-5】 有一貯水裝置如圖所示，貯水池足夠大，當閥門關閉時，壓強計讀數為2.8個大氣壓強。而當將閥門全開，水從管中流出時，壓強計讀數是0.6個大氣壓強，試求當水管直徑d=12cm時，通過出口的體積流量(不計流動損失)。【解解】 當閥門全開時列1-l、2-2截面的伯努利方程

42、當閥門關閉時，根據壓強計的讀數，應用流體靜力學基本方程求出值gVgppgpHaaa26 . 00022aaappgHp8 . 2工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例(m)288 . 2gpHa)m/s(78.209806980606 . 08 . 2806. 926 . 022gpHgVa/sm235. 078.2012. 0785. 043222VdqV則代入到上式，得所以管內流量工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例【例例3-63-6】水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：形測壓管中水銀柱高差h=0.2

43、m，h1=0.72m H2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例【例例3-63-6】水流通過如圖所示管路流入大氣，已知：形測壓管中水銀柱高差h=0.2m，h1=0.72m H2O，管徑d1=0.1m，管嘴出口直徑d2=0.05m，不計管中水頭損失，試求管中流量qv。【解解】 首先計算1-1斷面管路中心的壓強。因為A-B為等壓面，列等壓面方程得：11Hgghphg)OmH(272. 02 . 06 .1321Hg1hhgp工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4

44、 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例列1-1和2-2斷面的伯努利方程gVgpzgVgpz2222222111 由連續性方程： 將已知數據代入上式，得 管中流量21221ddVVgVgV201521612202221m/s1 .12151676 .192V/sm024. 01 .1205. 04432222VdqV工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院1.3 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例【例例3-73-7】水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等直徑管相連接處的斷面1-1上壓力表讀數p1=17.6104Pa，管中流量qv=0.1m3/s，若直徑d1=300，d2=200，

45、轉角=600，如圖所示。求水對彎管作用力F的大小工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例【解解】 水流經彎管，動量發生變化，必然產生作用力F。而F與管壁對水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，將R分解成Rx和Ry兩個分力。 取管道進、出兩個截面和管內壁為控制面，如圖所示，坐標按圖示方向設置。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例1.根據連續性方程可求得： m/s42. 13 . 041 . 042211dqvVm/s18. 32 . 041 . 042222dqvV2.列管道進、出口的伯努利方程gvg

46、pgvgp222222112/ )(222112vvpp2/ )18. 342. 1 (1000106 .17224kPa172工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例3.所取控制體受力分析 進、出口控制面上得總壓力：kPa43 .123 . 041762111ApPkPa40. 52 . 041722222ApP壁面對控制體內水的反力Rx、Ry4.寫出動量方程 選定坐標系后，凡是作用力（包括其分力）與坐標軸方向一致的，在方程中取正值；反之，為負值。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例 沿x軸方向)cos(

47、cos1221vvqRPPVxcos)cos(1212PPvvqRVxkN568. 060cos43.1240. 5)60cos42. 118. 3(1 . 0 沿y軸方向)sin0(sin11vqRPVysinsin11vqPRVykN88.1060sin42. 11 . 060sin43.12工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院4 伯努利方程(四四)、計算舉例、計算舉例管壁對水的反作用力kN89.1088.10)568. 0(2222yxRRR水流對彎管的作用力F與R大小相等，方向相反。工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院工程流體力學工程流體力學海南大學機電學院6.1 積分形式的能量方程yxzodAnv1vn1vn2nfsndAdAdVfv2輸入功率輸入功率做功做功熱熱量量傳遞傳遞 單位時間內單位時間內輸入的功率向內的傳熱率凈流入的能量能量的增量2222CSCVvvPugzv dAugzdVt傳熱率傳熱率 單位質量流體的總