1、例1：（）. A. x | x>3 B. x | x<-2 C. x |-2< x 1 D. x | x1    注意，單選題的解答，有其技巧和方法，可參考本課件“應試指南”中的文章高等數學（一）單項選擇題的解題策略與技巧，這里為說明解題相關的知識點，都采用直接法。例2：函數的定義域為（）.解：由于對數函數lnx的定義域為x>0，同時由分母不能為零知lnx0，即x1。由根式內要非負可知即要有x>0、x1與同時成立，從而其定義域為，即應選C。例3：下列各組函數中，表示相同函數的是（）解：A中的兩個函數是不同的，因為兩函數的對應關系不同，

2、當|x|>1時，兩函數取得不同的值。  B中的函數是相同的。因為對一切實數x都成立，故應選B。  C中的兩個函數是不同的。因為的定義域為x-1，而y=x的定義域為（-，+）。  D中的兩個函數也是不同的，因為它們的定義域依次為（-，0）（0，+）和（0，+）。例4：設解：在令t=cosx-1，得又因為-1cosx1，所以有-2cosx-10，即-2t0，從而有。 例5：f(2)沒有定義。注意，求分段函數的函數值，要把自變量代到相應區間的表達式中。例6：函數是（）。A偶函數 B有界函數 C單調函數 D周期函數解：由于，可知函數為一個奇函數而不是偶函數，即（A）

3、不正確。由函數在x=0，1，2點處的值分別為0，1，4/5，可知函數也不是單調函數；該函數顯然也不是一個周期函數，因此，只能考慮該函數為有界函數。事實上，對任意的x，由，可得，從而有。可見，對于任意的x，有。因此，所給函數是有界的，即應選擇B。例7：若函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),則f(x)是（）。A奇函數 B偶函數 C非奇非偶函數奇偶性不確定解：因為f(x+y)=f(x)+f(y)，故f(0)= f(0+0)=f(0)+f(0)=2f(0)，可知f(0)=0。在f(x+y)=f(x)+f(y)中令y = -x，得0 = f(0) = f(x-x) = f x+(-x) =

4、 f(x)+f(-x)所以有f(-x) = - f(x)，即f(x)為奇函數，故應選 A 。例 8：函數的反函數是（）。A  BC D解：于是，是所給函數的反函數，即應選C。例 9：下列函數能復合成一個函數的是（）。ABCD解：在(A)、(B)中，均有u=g(x)0，不在f (u)的定義域內，不能復合。在(D)中，u=g(x)=3也不滿足f(u)的定義域，也不能復合。只有(C)中的定義域內，可以復合成一個函數，故應選C。例 10：函數可以看成哪些簡單函數復合而成：解：，三個簡單函數復合而成第二章 極限與連續例1：下列數列中，收斂的數列是（）A. B. C. D.解：（A）中

5、數列為0，1，0，1，其下標為奇數的項均為0，而下標為偶數的項均為1，即奇偶數項分別趨于不同的常數值，從而可知該數列沒有極限，是發散的。由于，故（B）中數列發散。由于正弦函數是一個周期為的周期函數，當時，并不能無限趨近于一個確定的值，因而（C）中數列也發散。由于，故（D）中數列收斂。例2：設，則a=( )A.0 B.1 C解：假設=0，則所給極限為，其分子趨于，而分母趨于有限值3，所以極限為，不是1/5，因而0。當0時，所給極限為，故應選C。一般地，如果有理函數，其中、分別為n的k次、l次多項式，那么，當時，當k=l時，f (n)的極限為、的最高次項的系數之比；當k<l時，f (n)的極

6、限為零；當k>l時，f (n)的極限為。對于當x（或+，）時x的有理分式函數的極限，也有類似的結果。例3. A. 0 B. 1 C. D.n解利用重要極限  ，故應選C。注：第一重要極限的本質是，這里的可以想象為一個空的筐子，里面可以填入任意以零為極限的表達式（三個填入的內容要相同）。類似地，第二重要極限可以看作是，其中可以同時填入相同的任意趨于無窮大的表達式。例4.求解法 1 解法 2 解法 3 例5.A. 0 B. 1 C. 1/2 D. 1/4解：由于,故應選D。例6.解 :注意本題屬于“-”型，是個未定式，不能簡單地認為它等于0或認為是，對于此類問題一般需要將函數進行通

7、分，然后設法進行化簡，進而求出其極限值。例7. 當x0時，的（）。A. 同階無窮小量 B. 高階無窮小量 C. 低價無窮小量 D. 較低階的無窮小量  解：由于可知是x的同階無窮小量，所以應選A。例8. 當等價的無窮小量是( )A. B. C. D.解：由于可知的高階無窮小量，同時等價的無窮小量，所以選D。例9. 下列變量在給定的變化過程中是無窮大量的是( )A. B.C. D.解：由于所以應選A.例10要使函數在x=0處連續，f(0)應該補充定義的數值是( ).2 C解：要使函數f(x)在x=0處連續，必須有因此要令f(0)=1.故應選C。例11設求k，使f(x)連續。解：由于函數

8、f(x)在（-，0）和（0，+）兩區間內均由初等函數表示，而且在這兩個區間內均有定義，因此在這兩個區間內是連續的。函數是否連續取決于它在x=0處是否連續。要讓f(x)在x=0處連續，必須由于=又由可知例12證明方程在區間（1，2）內必有一根。證：令，由于f（x）是初等函數，它在區間（-，+）上連續，另外f（1）=-1<1 ，f（2）=13>0， f（x）在1，2上連續，故由零點存在定理知，存在在區間（1,2）內必有一個根第三章導數和微分  例1：討論函數例2：例3：分段函數處是否連續？是否可導？為什么？    例4：   例5：例6

9、： 例7：例8：例9：例10：例11：證明曲線xy=1 (x>0，y>0)上任一點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是一個常數.例12：例13：第四章中值定理與導數應用例1：下列各函數中，在區間-1，1上滿足羅爾定理所有條件的是( )例2：例3：例4：例5：例6：下列極限中能用羅必達法則的有( )例7：例8：列表即(-,-2)及(0,+)為遞增區間，（-2，-1）及（-1，0）為遞減區間；當x=-2時取極大值f(-2)=-4，當x=0時取極小值f(0)=0例9：討論曲線 y=x4-2x3+1的凹向與拐點解：y=4x3-6x2 y=12x2-12x=12x(x-1)當x

10、=0,x=1時 y=0x=0與x=1把定義域（-，+）分成三個區間，列表即(-,0)及(1,+)上凹；（0，1）下凹，兩個拐點（0，1）和（1，0）例10：例11：例12：例13：某種商品需求函數為，求當P=4時的需求彈性。例14：第五章積分  例1：若h(x)是g(x)的一個原函數，則下列表達式中正確的一個是（）。         解：因為各備選答案中的右端均含有積分常數C，故只須驗證各備選答案中右端的導數是否等于其左端積分的被積函數。事實上，由于g(x)未必可導，故可知（A）、（D）不正確；由題意h(

11、x)是g(x)的一個原函數，即h'(x)=g(x)，故（B）正確而（C）不正確，因此，應選（B）。例2：例3：例4：例5：例6：例7：例8：例9：例10：例11：(圖8-1) 例12：例13：例14：例15：例16：例17：例18：例19：例20：例21：例22：試判斷下列廣義積分的斂散性。例23：試判斷下列廣義積分的斂散性。例24：例25：例26：例27：例28：第六章無窮級數例1：例2：例3：例4：例5：例6：根據極限形式的比較審斂法，可知（B）中級數是收斂的；例7： 例8：第一步，根據級數收斂必要性粗略觀察是否有若有,則得出級數發散結論，否則進行下一步。例9：判斷交錯級

12、數的斂散性，若收斂，指出是條件收斂還是絕對收斂。例10：例11：例12：例13：例14：第七章 多元函數微積分例1下列平面方程中，過點（1，1，-1）的方程是（）（A） x+y+Z=0 （B）x+y+Z=1 （C）x+y-Z=1 （D）x+y-Z=0解：判斷一個點是否在平面上，只需將點的坐標代入，看看是否滿足相應的平面方程即可。易見應選（B）。例2指出下列平面的特殊位置（1）x+2z=1；（2）x-2y=0；（3）x-2y+3z=0；（4）z-5=0.解：設平面方程為  Ax+By+Cz+D=0（1）方程中y的系數為B=0，故該平面平行于oy軸（垂直于zox平面）；（2）方程中z的系

13、數C=0且D=0，故平面過oz軸；（3）方程中常數D=0，故該平面過原點；（4）方程中x的系數A=0 且y的系數B=0，故該平面垂直于oz軸（平行于xoy平面）。例3求過點（3，2，1）且平行于yoz平面的平面方程。解：平行于yoz平面即垂直于ox軸，故可設所求平面方程為Ax+D=0，將已知點（3，2，1）的坐標代入上式，得D=-3A，從而所求方程為x-3=0。注意：在求平面方程時，Ax+By+Cz+D=0中的四個待定常數不是完全獨立的，計算時可用其中的一個表示其余的三個，然后通過化簡得出所求結果。例4求點M（2，-3，1）分別關于xOy平面、Oy軸和原點的對稱點。解：點M關于xOy平面的對稱

14、點是第三個分量變號，即（2，-3，-1），關于Oy軸的對稱點是第一，第三分量變號，即（-2，-3，-1），關于原點的對稱點是三個分量都變號即（-2，3，-1）。例5求平面3x+2y-z-6=0分別在三條坐標軸上的截距。解：將平面方程化為截距式方程，得  因此該平面在Ox軸、Oy軸和Oz軸上的截距依次為2、3、和-6。例6求球面的球心坐標和半徑。解：對方程進行配方，化為一般形式的球面方程     從而球心坐標為（3，-1，0），半徑為。例7下列方程在空間直角坐標系中，表示施轉拋物面的方程是（）（A）（B）（C）（D）解：只能x=y=z=0，它表示

15、空間直角坐標系中的原點。是一次方程，D=0表示過原點的一個平面。即表示繞z軸旋轉張口朝z軸負方向的旋轉拋物面。表示雙曲拋物面（馬鞍面）故應選（C）例8函數的定義域是（）。（A）（B）（C）（D）解:由函數的表達式知函數的定義域為即，故應選（C）。例9設（A）（B）（C）（D）解：由題設,故應選（A）。例10設在點處偏導數存在，則（A）（B）（C）（D）解：根據偏導數的定義，有故應選（C）。例11設證明證明：  于是 左注意，本例還可以利用二元函數隱函數來解偏導數：  兩邊取對數代入左端即可得結論。例12設其中f為可微函數，則(A)(B) (C) (D) 故應選（D）。例13

16、設因此，例14設例15設z=z(x,y)是由方程確定的函數，求注意：在求隱函數的偏導數時，其結果中可以有變量度z的出現，結果表達式也常常不是惟一的，如本例用代入兩個偏導還可以表示成  例16設（A）（B）（C）（D）解1：變量之間的關系圖為故應選（A）注意：這里解法2經過代入后變成了一個一元函數求導問題，簡潔明了。例17    證明：設變量之間的關系為例18求函數的極值。解：函數的定義域為 全平面 ，得駐點例19某廠生產甲、乙兩種產品，其銷售單位分別為10萬元和9萬元，若生產x件甲種產品和y件乙種產品的總成本，又已知兩種產品的總產量為100件，

17、求企業獲得最大利潤時兩種產品的產量各為多少？例20計算二重積分解：作積分區域D的草圖，如圖7-1(圖7-1)例21. 求解：作積分區域D的草圖，如圖7-2(圖7-2)例22. 計算二重積分解：積分區域D是一個圓環:內半徑為用極坐標系計算。注意：當積分區域是圓及其部分，被積函數又比較容易化成極坐標時，應考慮使用在極坐標系之下積分。本例關于和關于r的積分上下限均是常數，同時被積函數可以分離，這時二重積分可化成兩個定積分的乘積。例23. 計算其中解法1：即圓心在（0,a）半徑為a的圓。又,因此是右半半圓（如圖7-3）。(圖7-3)用極坐標系計算。解法2：用直角坐標系計算，先對x后對y積分右半圓的方程

18、為第八章 微分方程初步例1微分方程的階是 ( )A.1 B.2 C解：由于微分方程的階是指微分方程中出現的未知函數的最高階導數的階數，這里最高是y"因此，所給方程是二階微分方程，故應選（B）例2方程滿足初始條件的特解是 ( )A. B. C. D.解：四個選擇支中，滿足的是（A）（B）和（C），因此可將（D）排除在外。對（A）代入原方程，等號不成立，對（B）代入原方程，等號成立，即是原方程滿足的特解。故應選（B）例3已知微分方程。（1）驗證（C為任意常數）是該方程的通解；（2）求出方程滿足初始條件的特解。解：（1）由于，所以，將兩式代入原方程，得，兩端恒等，根據微分方程解的定義知為原

19、方程的解。又由于原方程是一階微分方程，中含有一個任意常數C，故是原方程的通解。（2）將 代入通解，得C=2，因而是原方程滿足初始條件的特解。例4求滿足初始條件y（0）=0的特解。解：易見，所給方程為可分離變量的方程，分離變量后得兩端積分得記，注意到也是方程的解，令C為任意常數，則所給方程的通解為。由初始條件y（0）=0，代入通解中得C=1，于是所求特解為。注意為了運算方便，可將兩端積分后方程式中的ln|y+1|寫成ln(y+1)，只要記住最后得到的任意常數可正可負即可。另外，也可以將式中的任意常數寫為lnC，最終C是任意常數。例5求微分方程的通解。解：原方程可改寫成它是一個齊次方程。令即y=x

20、u，從而代入原方程得整理得可分離變量的方程兩端積分，得ln(u+5)=lnx+lnc，即u+5=Cx，以代入，即得為原方程的通解。注意對于齊次方程，我們是用變量代換將其變換為可分離變量的方程然后求解的。例6求微分方程的通解。解法1：將原方程變形，得為一階線性非齊次方程，用公式法求解。此處有為所求通解。解法2：用常數變易法，方程相應的一階線性齊次方程為分離變量得兩邊積分一階線性齊次方程通解為用常數變易法，把C改成設原一階線性非齊次方程的解為那么代入原方程積分u（x）=-cosx+c.因此，一階線性非齊次方程的通解為.解法3：將原方程變形為也就是即有xy=-cosx+C，所以，原方程的通解為.注意：這里給出了三種解法，建議考生熟練掌握第一種解法，比較簡潔，操作性強。例7求微分方程滿足初始條件的特解.解：將原方程變形為是一階線性非齊方程，,用公式法， 因此這是一階線性非齊方程的通解。將代入，得c=1-e，故所求特解為注意，這里用直接代公式的方法解方程，有興趣的考生可以參照上例，用其他兩種方法求解。例8求微分方程滿足的特解。解：將原方程變形為它是一個右端不顯含x的可降階方程。令代入原方程得先分離變量再兩端積分，得。將初始條件代入上式，有.所以，結合條件可得，先分離變量再積分，得，由代入上式解得。于是，原方程的特解為。注