1、有限元法在應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算中的應(yīng)用馬源 myeric90（原創(chuàng)）摘要：本文構(gòu)建了含裂紋平板的二位1/4模型及三維1/2模型，分別用于計(jì)算張開型、滑移型和撕開型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。有限元分析的結(jié)果在誤差范圍內(nèi)可以較好地與解析解吻合。計(jì)算結(jié)果表明，裂紋周向單元的劃分會嚴(yán)重影響有限元計(jì)算的結(jié)果，三維模型沿厚度方向提高劃分密度可以有效提高計(jì)算精度。關(guān)鍵詞：有限元 應(yīng)力強(qiáng)度因子 精度分析 11前言工程分析中，材料中的裂紋會對結(jié)構(gòu)可靠性帶來很大的影響。歷史上有很多航空航天事故、建筑事故都是由于裂紋引起的斷裂導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效的。為了檢驗(yàn)結(jié)構(gòu)是否能夠一般用于判斷裂紋是否延伸的重要判據(jù)就是應(yīng)力強(qiáng)度因子K（Stre

2、ss Intensity Factor，SIF）。對于任何材料，其應(yīng)力強(qiáng)度因子極限KC只與材料本身的屬性有關(guān)，而和裂紋尺寸、裂紋周圍應(yīng)力強(qiáng)度無關(guān)。在具體的工程分析中，評估含裂紋結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，只需要計(jì)算含裂紋結(jié)構(gòu)在要求的工況下的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子K值，若K>Kc，則裂紋會發(fā)生擴(kuò)展，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效。具體工況下，應(yīng)力強(qiáng)度因子K的計(jì)算可以通過多種方法完成。彈性力學(xué)給出了三種基本斷裂模式（分別為張開型、滑移型和撕開型，見圖1）的應(yīng)力強(qiáng)度因子解析解。但是對于一般幾何結(jié)構(gòu)而言，求解析解的復(fù)雜程度會隨結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度成倍增加，很多情況甚至無法求出解析解。有限單元法及邊界元法可以用于具有復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的含裂紋模

3、型分析。有限單元法中，經(jīng)常使用的方法包括1/4節(jié)點(diǎn)位移法和J積分法。本文使用有限元法建立裂紋的二維、三維模型，分別求解I型、II型和III型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，并對有限元法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的精確性進(jìn)行分析。FFF（a） （b） （c）圖1張開型（a）、滑移型（b）和撕開型（c）裂紋的受力狀態(tài) 1 馬源 機(jī)械71班 2007010423Email：myeric90 1 / 72有限元法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子理論分析有限元法求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法包括1/4節(jié)點(diǎn)法、J積分法等方法，其中，J積分法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)的計(jì)算過程較為繁雜，不便于多次重復(fù)求解分析，因此本文選擇1/4節(jié)點(diǎn)法計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子K

4、值。使用ANSYS有限元分析軟件計(jì)算K值時(shí)，只需要將裂紋尖端進(jìn)行1/4節(jié)點(diǎn)劃分（圖2），進(jìn)行求解，再沿著裂紋設(shè)定相應(yīng)的路徑，即可自動求解出該模型、邊界條件下的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子值。彈性力學(xué)給出裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的解析解與1/4節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系如（1）式。K= (1) 其中，u(1/4)為1/4節(jié)點(diǎn)的位移。圖2 二維、三維單元1/4節(jié)點(diǎn)3有限元分析模型的構(gòu)建為了對張開型、滑移型和撕開型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行有限元求解，本文分別構(gòu)建了二維1/4模型（PLANE82）和三維1/2模型（SOLID45及SOLID95）。其中，PLANE82為平面8節(jié)點(diǎn)單元，SOLID95為三維20節(jié)點(diǎn)單元。（圖3）。

5、圖3 平面1/4模型和三維1/2模型2 / 7圖中，網(wǎng)格最密集的中心即為裂紋尖端（如箭頭所指），裂紋尖端向左側(cè)即為裂紋。 為了使用1/4節(jié)點(diǎn)法計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，需要對裂紋尖端周圍的單元進(jìn)行1/4節(jié)點(diǎn)設(shè)置（見圖2）。二維單元設(shè)置1/4節(jié)點(diǎn)可以使用KSCON命令實(shí)現(xiàn)。該命令可以控制裂紋尖端周圍單元的劃分。包括周向單元數(shù)以及第一周單元的尺寸。三維模型無法使用KSCON命令對單元進(jìn)行自動劃分，因此需要通過直接設(shè)定節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)再構(gòu)建單元的方法進(jìn)行建模。考慮到裂紋兩側(cè)表面在分析中設(shè)為距離為0，則兩層節(jié)點(diǎn)會擁有相同的坐標(biāo)。層與層之間的節(jié)點(diǎn)也會出現(xiàn)坐標(biāo)重合的現(xiàn)象。為了保證計(jì)算精度，需要將層與層見的重合節(jié)點(diǎn)進(jìn)行融合

6、，同時(shí)還要保證裂紋兩側(cè)的節(jié)點(diǎn)不被融合。這個(gè)過程是通過節(jié)點(diǎn)的選擇完成的。4裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算4.1張開型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算張開型裂紋常被記為I型裂紋，彈性力學(xué)給出了無限大平面上張開型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式KI= (2)實(shí)際問題中，大部分模型不可能具有無限大的外形，因此有限寬度板件上的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子往往更能夠說明問題。有限寬度板件的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子修正公式是KI= (3) 此情況下的受力狀態(tài)如圖4圖4 有限寬度平板張開型裂紋計(jì)算模型簡圖為以上模型進(jìn)行如下賦值計(jì)算：一塊寬度為2b,高度為2h,其中間沿寬度方向有長度為2a的裂紋，平板沿高度方向兩側(cè)承受拉力。材料：E =3

7、010psi, =0.3幾何：a=1 in, b=5in, h=5 in3 / 76載荷：= 0.5641895psi分別使用上文所述的平面模型和三維模型進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，可以得到KI計(jì)算結(jié)果如表1表1 平面、三維模型求解張開型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果KI二維模型三維模型理論解 1.0249 1.0249 數(shù)值解 1.0587 0.9922 誤差 3.3% 3.2%4.2滑移型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算滑移型裂紋常被記為II型裂紋，彈性力學(xué)給出了無限大平面上張開型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式KII= (2)現(xiàn)有文獻(xiàn)并沒有針對有限寬度平板滑移型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算。從4.1的張開型裂紋修正值與

8、原始解相差不大，可以使用無限大平板的解析解來近似替代。本問題中的受力狀態(tài)如圖5圖5 有限寬度平板滑移型裂紋計(jì)算模型簡圖為以上模型進(jìn)行如下賦值計(jì)算：一塊寬度為2b,高度為2h,其中間沿寬度方向有長度為2a的裂紋，平板沿裂紋方向兩側(cè)承受剪切應(yīng)力。材料：E =3010psi, =0.3幾何：a=1 in, b=5in, h=5 in載荷：= 1.08psi分別使用上文所述的平面模型和三維模型進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，可以得到KI計(jì)算結(jié)果如表264 / 7表2 平面模型求解滑移型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果KII二維模型 理論解 1.914 數(shù)值解 1.936 誤差 1.2%4.2滑移型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算撕開型

9、裂紋常被記為III型裂紋，彈性力學(xué)給出了無限大平面上張開型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式KIII= (2)現(xiàn)有文獻(xiàn)并沒有針對有限寬度平板滑移型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算。從4.1的張開型裂紋修正值與原始解相差不大，可以使用無限大平板的解析解來近似替代。本問題中的受力狀態(tài)如圖6圖5 有限寬度平板滑移型裂紋計(jì)算模型簡圖為以上模型進(jìn)行如下賦值計(jì)算：一塊寬度為2b，高度為2h，厚度為t，其中間沿寬度方向有長度為2a的裂紋，平板沿裂垂直于平板方向承受剪切應(yīng)力。材料：E =3010psi, =0.3幾何：a=1 in, b=5in, h=5 in載荷：= 1.00psi分別使用上文所述的平面模型和三維模型

10、進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)，可以得到KI計(jì)算結(jié)果如表3表3 平面模型求解滑移型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子結(jié)果 6KIII三維模型 理論解 1.7725 數(shù)值解 1.7661 誤差 3.6%5 / 75有限元劃分方式對分析精度的影響由于裂紋尖端對于線彈性斷裂力學(xué)而言屬于奇點(diǎn)，而且要求尖端周圍的單元進(jìn)行特殊的1/4節(jié)點(diǎn)劃分，因此容易推知裂紋尖端的劃分情況會對有限元分析精度帶來很大的影響。通過改變裂紋尖端的劃分方式，可以推出數(shù)值分析精度隨劃分的改變的改變結(jié)果。 根據(jù)圖6可以看出，改變周向單元劃分可以從以下兩個(gè)方面討論：1、 周向單元劃分?jǐn)?shù)2、 周向劃分半徑圖6 裂紋尖端局部的網(wǎng)格劃分因此，在同樣的載荷條件下，使用平面

11、滑移型裂紋模型，分別改變裂紋尖端周向劃分?jǐn)?shù)和周向單元半徑，得到結(jié)果如圖7、圖8。圖7 周向單元數(shù)對結(jié)果的影響周向單元數(shù)周向劃分半徑圖8 周向劃分半徑對結(jié)果的影響6 / 7從圖7、圖8中可以看出，隨著周向劃分單元的減少，誤差呈增大趨勢。同時(shí)，若周向劃分半徑過小，則計(jì)算精度大幅下降。從兩條曲線的趨勢也可以發(fā)現(xiàn)，對于平面滑開型裂紋，存在著可以消除的系統(tǒng)誤差。周向單元數(shù)與周向劃分半徑對三種裂紋的影響方式是相同的。對于撕開型裂紋，平面應(yīng)變模型不再使用，因而平板的厚度必然會對結(jié)果分析產(chǎn)生影響。因此，在選用厚度合適的模型下，改變厚度方向的劃分密度，可以得到圖9所示結(jié)果。圖9 厚度方向劃分密度對分析精度的影響 周向劃分半徑從圖9可以看出，隨著劃分密度的提高，有限元分析精度越來越靠近解析解。6結(jié)論分別構(gòu)建了裂紋的二維1/4模型及三維1/2模型，用于分析張開型、滑移型和撕裂型裂紋的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子分析。 從有限元分析的結(jié)果可以看出，這些模型的構(gòu)建是有效的。使用有限元模擬的方法，得到的大部分結(jié)果精度與理論值的誤差在4%以下。隨著網(wǎng)格劃分的不同，數(shù)值計(jì)算