1、定義1設(shè)函數(shù)在上有定義，是的聚點(diǎn)，總存在某正數(shù),使得時，都有,則稱在上當(dāng)時，以為極限，記.上述極限又稱為二重極限.2二元函數(shù)極限的求法2.1 利用二元函數(shù)的連續(xù)性命題若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則. 例1求 在點(diǎn)的極限. 解： 因?yàn)樵邳c(diǎn)處連續(xù)，所以 例2 求極限 解： 因函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)連續(xù)，故可直接代入求極限，即=2.2 利用恒等變形法將二元函數(shù)進(jìn)行恒等變形，例如分母或分子有理化等.例3 求 解： 例4解： 原式2.3 利用等價無窮小代換，有 ； ； ；同一元函數(shù)一樣，等價無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用.例5 求 解： 當(dāng) ，時，有.，所以這個例子也可以用恒等變形法計(jì)算，如：2.4 利用兩個重要極限

2、， 它們分別是一元函數(shù)中兩個重要極限的推廣.例6求極限 . 解：先把已知極限化為，而 當(dāng) 時，所以 故原式=例7 求 極限.解： 因?yàn)?，當(dāng)時，所以 ，再利用極限四則運(yùn)算可得：1=.這個例子也可以用等價無窮小代換計(jì)算，如：當(dāng) ，時， ，.所以， 2.5 利用無窮小量與有界量的乘積仍為無窮小量的結(jié)論 例8 求 解:因?yàn)?是無窮小量， 是有界量 ，故可知 ， 例9 求 解 原式=因?yàn)?是有界量，又 是無窮小量，所以 ， .雖然這個方法計(jì)算實(shí)際問題上不那么多用，但計(jì)算對無窮小量與有界量的乘積形式的極限的最簡單方法之一 .通過變量替換可以將某些二元函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限來計(jì)算，從而使二元函數(shù)的

3、極限變得簡單.但利用時一定要滿足下面的定理。定理：函數(shù)點(diǎn)的取心領(lǐng)域內(nèi)有定義的且、沿向量的方向余弦，若二元函數(shù)的極限,則若的值與、無關(guān)，則；若的值與、有關(guān)，則不存在； 例10 求 解因 時， ，令 ，顯然滿足定理的條件，則，所以 ， . 例11 求極限 解：令 又顯然滿足定理的條件，則2.7 利用夾逼準(zhǔn)則二元函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則：設(shè)在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有，且 （常數(shù)），則 . 但要注意求二元函數(shù)極限時是對兩個變量同時放縮例12求 解: 因?yàn)?，由夾逼準(zhǔn)則，得 .例13 求極限解: ，又，故=02.8 先估計(jì)后證明法此方法的運(yùn)用往往是先通過觀察推斷出函數(shù)的極限，然后用定義證明.例14 求函數(shù)在點(diǎn)處的極限.解:此

4、例分2部考慮：先令，考慮沿時的極限， .因?yàn)槁窂綖樘厥夥较颍虼宋覀冞€不能判斷出極限為.所以下面用定義檢驗(yàn)極限是否為：因?yàn)橛谑牵∏?，所以.例15.求在的極限.解：若函數(shù)中動點(diǎn)沿直線趨于原點(diǎn)，則即函數(shù)中動點(diǎn)沿著無窮多個方向趨于原點(diǎn)時，它的極限為；但根據(jù)這個我們不能說它的極限為；由于動點(diǎn)沿著其它的路徑，比如沿拋物線趨于原點(diǎn)時，其極限為從而判斷出不存在；通過例子我們得出任意方向不能代表任意路徑，也就是說，我們沿動點(diǎn)不僅任何路徑而且還必須任意方向；2.9 利用極坐標(biāo)法 當(dāng)二元函數(shù)中含有項(xiàng)時，考慮用極坐標(biāo)變換：通過綜合運(yùn)用恒等變換，不等式放縮等方法將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有參量的函數(shù)，進(jìn)而求二元函數(shù)的極

5、限.例16 計(jì)算 解: 極限中的二元函數(shù)含有，令，使得 ，由夾逼準(zhǔn)則得，所以，.例17 求極限.解：若令t為變量，使且，則，當(dāng)時，t上式均趨于0，但不能下結(jié)論說不存在，這只讓沿著任意方向趨于定點(diǎn)(0,0)，此時.=在運(yùn)用此方法時注意，經(jīng)過初等變換后的函數(shù)滿足用迫斂性得函數(shù)的極限為；若化簡后的函數(shù)為，但對于某個固定的，仍不能判斷函數(shù)的極限為.2.10 利用累次極限法一般情況下，累次極限存在并不能保證二重極限存在，但二元函數(shù)滿足定理2的條件，就可以利用累次極限來計(jì)算極限.定理2 若在點(diǎn)存在重極限與兩個累次極限，則它們必相等.例18求極限解: ，對任意一致的成立；而對存在，根據(jù)定理1，得.這道題也可

6、以用上述所說的先估計(jì)后證明法和極坐標(biāo)法來計(jì)算，如：（1） 用先估計(jì)后證明法：解:通過觀察可知極限中的二元函數(shù)分子是分母的高階無窮小量，故極限應(yīng)為，定義證明： 因?yàn)?，故要使 ，則，故 . （2）用極坐標(biāo)法解令 ，因?yàn)?，由夾逼準(zhǔn)則得，所以，.例19求函數(shù)=的極限.解： 當(dāng)，以為常數(shù)時， 不存在，從而得原函數(shù)極限不存在;很顯然，這種計(jì)算法是錯的；因?yàn)橹校?dāng)時，為無窮小量；時，為有界量，從而得，同樣；所以； 此例題我們推出：如果不熟重極限與累次極限的定義反而混亂它們的存在性，所以應(yīng)該要注意下列三點(diǎn)：一）若累次極限存在且相等，而重極限不一定存在；例：中：但不存在。二）雖然重極限存在，但不一定兩累次極限存在；例：中，兩都不存在；三）兩累次極限和重極限中有一個或兩個存在不能保證其它的極限的存在性；2.11 利用取對數(shù)法這一方法適合于指數(shù)函數(shù)求極限.對于二元指數(shù)函數(shù)，也可以像一元函數(shù)那樣，先取對數(shù)，然后再求極限.例20求 解: 設(shè) ，則 ，而 ，令 ，知 ，故原式=；例21 求解: 由第一章定理7洛必達(dá)法則可知例22 用定義驗(yàn)證：解: =，限定，則從而，故設(shè)為任意正數(shù)，取，則當(dāng)時，就有和一元函數(shù)一樣，在使用函數(shù)定義求極限的時候，也伴隨有放縮，這時要注意是對兩個自變量的同時限制 在二元函數(shù)的定義中，要求任意方式趨于時，函數(shù)都無限接近于因此，很