1、第6章數值微分2工程應用：工程應用：用用“表格表格”法給出變量間的函數關系；法給出變量間的函數關系；即使給出了解析表達式，結構復雜，用那些方法不易、即使給出了解析表達式，結構復雜，用那些方法不易、甚至無法求出導數或積分的準確值；甚至無法求出導數或積分的準確值；引言引言36.1 導數的近似值456.1.2 中心差分公式6786.1.4 Richardson 外推法96.2 數值差分更多的中心差分公式10116.2.2 誤差分析121314n利用插值多項式構造微分公式利用插值多項式構造微分公式156.2.3 拉格朗日多項式微分166.2.3 牛頓多項式微分176.2.4 利用三次樣條插值函數構造微

2、分公式利用三次樣條插值函數構造微分公式18196 數值微分數值微分/ /* *Numerical Derivation */一、一、插值型求導公式插值型求導公式/ /* * Derivation Formula of Interpolation Type*/已知表格函數已知表格函數( )yf x xy0 x0y1x1y2x2ynxny以以 構造構造n次次Lagrange插值多項式插值多項式: : 0(,)niiixy ( )nP x( )( )nfxP x 插值型求導公式插值型求導公式: :誤差估計誤差估計 111()( )()()()()!nnnffxPxxn 20111()( )()()(

3、)()!nnnffxPxxn 111111()()( )( )( )( )()!()!nnnnxfxfnn 111()( )()()()()!nininiffxPxxn 0 1 2, , ,in 為了計算方便和估計誤差，節點通常取等距節點。為了計算方便和估計誤差，節點通常取等距節點。21 兩點兩點公式公式已知表格函數已知表格函數( )yf x xy0 x0y1x1y作線性插值作線性插值011010110( )xxxxP xyyxxxx 0110101101101()()()yyP xyyP xxxxxh 10hxx誤差誤差010112()()( )hfxyyfh 110212()()()hfx

4、yyfh 22 三點三點公式公式已知表格函數已知表格函數( )yf x xy0 x0y1x1y2x2y其中其中01 2,kxxkhk 作二次插值作二次插值0212201010210120122021()()()()( )()()()()()()()()xxxxxxxxP xyyxxxxxxxxxxxxyxxxx 2( )( )fxP x 23為了求導數方便，令為了求導數方便，令0 xxth2001211122122()()()()()P xthttyt tyt ty 2001212344212()()()()P xthtytytyh 當當 時得到時得到三點三點公式：公式：0 1 2, ,t 2

5、0012113423()( )hfxyyyfh 21022126()()hfxyyfh 22012314323()()hfxyyyfh 中點中點公式公式24例例3 3：已知函數已知函數 在在 處的函數值處的函數值,( )f x應用三點公式計算應用三點公式計算這些點處的導數值這些點處的導數值. .10 11 12. , . , .x 解：解：ix( )if x1 0 .0 250000.1 1 .0 226757.1 2 .0 206612.應用三點公式應用三點公式00121342()()( )()f xf xf xf xh 2520121432()()( )()f xf xf xf xh ix

6、()ifx 1 0 .0 24792. 1 1 .0 21694. 1 2 .0 18596. 計算結果如下計算結果如下:10212( )()()f xf xf xh 26類似地可以建立高階導數的微分公式：類似地可以建立高階導數的微分公式：20012212()P xthyyyh 24101221212( )()( )hfxyyyfh 二、二、利用利用3次樣條插值函數求數值微分的思想次樣條插值函數求數值微分的思想設函數設函數 ， 是區間是區間 的一個分割，的一個分割， 是關于是關于 的帶有的帶有型型( (斜率邊界斜率邊界) )或或型型( (二階二階導數邊界導數邊界) )邊界條件的插值函數，則有誤差估計邊界條件的插值函數，則有誤差估計4( ) , f xCa b , a b( )S x( )f x440 1 2 3( )()max ( ( )( ), , ,rrra x bf xS xC M hr 27211312() ()( )iiiiixxxxhS xyh 2111312() ()iiiiixxxxhyh 21121() ()iiiixxxxmh 2121() ()iiiixxxxmh 1,iix x 在區間在區間 上上( )( ) , fxS xxa b 28112123()()( )iiiiixxxxxS xmh 1