1、 利率期限結構模型利率期限結構模型簡介利率期限結構相關符號表：利率期限結構相關符號表：( , ):B t T在未來時間T到期的零息票債券在時間t的價格，即在未來時間T支付單位1的債券在時間t的價格。 ( , )R t起息日為時間t，剩余到期期限為 年的零息票債券利率。有： 1( ,)1( , )B t tR t( , )R t起息日為時間t，剩余到期期限為 年的連續復合利率。有： ( ,)exp( , )B t tR t( , ,)F t s Ts在時間t計算的，起息日為時間s，剩余到期期限為T-s的遠期利率。有：( , )( , , )exp () ( , ,)( , )fB t TBt s

2、 TTs F t s TsB t s( , )f t s在時間t計算的，起息日為時間s的瞬時遠期利率。有： 0( , )lim( , ,)Tsf t sF t s Ts ln( , )( , )B t sf t ss tr即期利率，時間t計算的，剩余到期期限無限小時的零息票債券的連續符合內部收益率。有： 0lim( , )trR tln( , )|tT tB t TrT tR起息日為時間t，剩余到期期限為 年的連續復合利率。有： t( ,)tRR tt( , )t T貼現債券價格 在時間t的預期瞬間收益。 ( , )B t T( , )t T貼現債券價格 在時間t的瞬時波動。 ( , )B t

3、 T,W W標準布朗運動。 ( , )t T瞬間遠期利率 的波動。有： ( , )f t T( , )( , )t Tt TT( , )V t貼現債券利率 的波動。 ( , )R t( , )iB n T重組樹中，在第i種狀態下，剩余到期期限為T的貼現債券在時間n的均衡價格。注意，與 的定義不同，此處T表示的是剩余到期期限，而非到期日。 ( , )B t T利率期限結構的概念利率期限結構的概念利率（interest rate）是經濟和金融領域的一個核心變量，它實質上是資金的價格，反映了資金的供求關系。利率期限結構（term structure of interest rates），又稱收益率曲

4、線（yield curve），是指在相同風險水平下，利率與到期期限之間的關系，或者說是理論上的零息債券利率曲線。常見的利率期限結構有以下四種： l貼現因子曲線（discount factor curve）： ；l零息票收益曲線（zero-coupon yield curve），（常用）： 或 ；l遠期利率曲線（forward rates curve）：l瞬時遠期利率期限結構（instantaneous forward term structure），（常用）： 。( ,)B t t( , )R t( , )R t( , ,)TF t s Ts( , )sf t s靜態模型靜態模型動態模型動態模

5、型樣條函數模型節約型模型指數樣條法（Vasicek&Fong，1982）均衡模型套利模型Vasicek模型（Vasicek，1977） CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985）Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986）Hull-White模型（Hull&White，1990）HJM模型（Heath, Jarrow&Morton，1992）Nelson-Siegel模型（Nelsen &Siegel，1987）Svensson擴展模型（Svensson，1994）B樣條法,（Steeley，1991）多項式樣條法（McCulloch，1971，1975）利率期限結構模型利率期

6、限結構模型靜態利率期限結構模型靜態利率期限結構模型概述靜態利率期限結構模型概述 靜態利率期限結構模型以當天市場的債券價格信息為基礎，構造利率曲線函數，利用所構造的利率曲線得到理論價格來逼近債券的市場價格，從而得出符合當天價格信息的利率期限結構。 靜態利率期限結構模型最為常見的有樣條函數模型和節約型模型，樣條函數模型主要包括多項式樣條法、指數樣條法和B樣條法，節約型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其擴展模型。通常，使用靜態模型擬合利率期限結構的具體過程如下：首先，從市場上選出一組無違約風險的附息債券。設該組附息債券在時間t的市場價格為 ，在時間s的現金流入為 ，其中， ，j表示該

7、組的第j支債券。 jtP( ) jsFst由于期限結構指的是零息債券的收益率與其到期日間之關系，因此必須先調整“息票效應”（Coupon Effect）。息票效應是指：對于剩余到期期限相同的債券來說，它們的到期收益率不僅與當前的利率期限結構有關，還與它們的票面利率水平有關。對于相同的即期利率期限結構而言，到期收益率是這些即期利率的加權平均，而權重是各個現金流的現值。 于是，假想出貼現函數 或零息票債券利率 的具體形式，其中 和 為參數向量。然后利用假想出的具體形式，來推導附息債券的理論價格，當推導出的理論價格與給定的市場價格最為接近時，就可以估計出由 和 構成的參數向量，即： 1( , )(;

8、)B t sf st 2( ,)(;)R t stg st1212*21argmin()njjttjPP其中， 是從模型jtP( )(;)jjtssPFf st或模型( )(;)jjtssPFf st( )exp () (;)jjtssPFst g st推導出的附息債券理論價格。顯然，債券樣本中長期品種的價格波動性應大于短期品種，而由此帶來的結果是：以上述方法中表示長期債券的定價誤差往往大于短期債券。這就是在進行收益率曲線擬合時無法避免的樣本異方差特征，導致的結果往往是收益率曲線在遠端出現“過度擬合”（Over fitting）的情況，而在近端則無法很好地表現短期債的實際情況。 為了解決這一問

9、題，應該對短期債券賦予較高的權重，而對長期債券賦予較低的權重，從而允許長期債券存在較高的誤差。在Bolder和Streliski (1999)的論文中，設定了如下的權重系數：1/1/jjjDurwDur而將參數 的估計過程定義為：2*21()argminjjnttjjPPwn多項式樣條法多項式樣條函數假設折現因子是到期期限s的多項式分段連續函數 。在運用此函數時，仔細選擇多項式的階數是至關重要的。階數的多少決定了利率曲線的平滑程度和擬合程度，同時也影響到待估參數的數量。本書將多項式樣條函數的階數定為3。這是因為，當多項式樣條函數為二階時， 的二階導數 是離散的；當階數過高（四階或五階）時，驗證

10、三階或四階導數是否連續的難度將增大，待估參數的數量也將增大。 ( )D s( )D s(2)( )Ds一般選用如下形式的多項式樣條函數： 231111123222222333333( )( )( )( ).D sabsc sd sD sab sc sd sD sD sab sc sd s112230, ,sTsT TsT T注意，對于即期貼現率函數 來說，顯然有 。另外，為了保證分段函數的平滑性以及在分段點的平滑過渡，必須保證貼現函數在整個定義域內連續且一、二階可導，還需要滿足如下約束條件： ( )D s(0)1D 1111221( )( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiiiD

11、TDTDTDTDTDT其中 的一階導數和二階導數。(1)(2)( ),( )( )iiiDTDTD T分別為例如，考慮30年期的貼現率函數，可以用三次多項式分段擬合如下：2301111235222223103333( ) 0, 5( )( ) 5,10( ) 10,30D sabsc sd ssD sD sab sc sd ssDsab sc sd ss其中，函數必須滿足以下的7個約束條件： ( )( )055100(5)(5)(10)(10)0,1,2(0)1iiiiDDDDiD從而，我們可以將互相獨立的參數縮減到5個： 23011133235111232310111332( )1 0,5(

12、 )15-5 5,10( )( )15 -510D sbsc sd ssD sbsc sdssdssD sDsbsc sdssdss 33-10 10,30dss指數樣條法指數樣條函數是Vasicek and Fong (1982)提出的。與在多項式樣條函數部分所述的原因相同，也采用三階指數形式樣條函數，其形式為：231111123222222333333( )( )( )( ).usususususususususD sabec ed eD sab ec ed eD sD sab ec ed e112230, ,sTsT TsT T模型中，除了 u也是一個參數，并且有明顯的經濟含義。Vasi

13、cek and Fong (1982)證明了如下等式：,iiiia b c d 外，lim(0, )sufs即，u可以被認為是當前的起息日為未來無限遠時的瞬間遠期利率。同樣，指數樣條法也必須滿足如下約束條件： 1111221(0)1( )( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiiiDD TDTDTDTDTDT(1)(2)( ),( )( )iiiDTDTD T分別為其中， 的一階導數和二階導數。 選擇樣條函數的分段數量和取樣條分界點在指數樣條法中也同樣十分重要，其方法可以參見多項式樣條法。并且，指數樣條模型也容易導致遠期利率曲線不穩定。不同于多項式樣條法的是，其參數估計必須采用非線性

14、最優化。 Nelson-Siegel模型及其擴展形式Nelson-Siegel模型可以由一個公式來說明，該公式的形式與那些描述動態利率的普通微分方程的解的表達式十分類似。該公式為：012111(0, )exp()exp()f其中， 表示即期計算的，在未來時間 時發生的瞬間遠期利率。 均為待估參數。利用(0, )f0012, 1以及01(0, )(0, )Rfs ds可以得到：110121111 exp()1 exp()(0, )exp R這就是Nelson-Siegel模型的基本表達形式。當固定 時，通過 的不同組合，利用這個模型，可以推出四種不同形狀的零息票債券收益曲線：遞增、遞減、水平和倒

15、置。但是，這個模型無法推導出形狀更為復雜的收益曲線，例如V形收益曲線和駝峰收益曲線。 012和為了克服上述缺點，Svensson (1994)將上述模型擴展如下： 012311122(0, )exp()exp()exp()f于是，可以得到：1101211123221exp()1exp()(0, )exp1exp() expR動態利率期限結構模型動態利率期限模型包括均衡模型和套利模型。 均衡模型是一種由均衡分析方法得出的模型，它從假設一些經濟變量開始，推出短期無風險利率的一個過程，然后尋找該過程對債券價格和期權價格的含義。均衡模型利用以下三步來為利率或有要求權定價：l利用已建立好的因子模型來推導

16、出理論零息票債券收益率曲線。l利用參考債券的市場價格來校準模型并推出模型的參數值。l最后，利用已確定的參數來為金融衍生品定價。套利模型由無套利分析方法得出，它是利用市場上的價格信息來推導出利率隨機微分方程的形式的。 均衡模型 根據狀態變量集中隨機變量的個數，可以將利率期限結構模型區分為單因素和兩(多)因素模型兩大類。 一般單因素模型 ( , )( , )ttttdrt r dtt r dW對 取不同的形式，得到了不同的模型。其一般形式如下： ( , )( , )ttt rt r和1212()()ttttdrr dtrdW1212表21.1 單因素模型總結模型布倫南和施瓦茨(Brennen&Sc

17、hwartz,1979)1瓦西塞克(Vasicek,1977)1克斯-英格爾索爾-羅斯( CIR,1985b)0.5默頓(Merton,1973)1多塞(Dothan,1978)1皮爾遜和孫(Pearson&Sun,1994)0.5Vasicek模型 假設短期利率的歷史數據服從Ornstein-Uhlenbeck過程，即： 121()()tttttdrr dtdWa br dtdW在風險中性測度Q條件下，得到利率 變化的過程為：tr()Qtttdra br dtdW其中 Qbba通過求解偏微分方程或鞅方法，可以推導出在時間T到期的貼現債券在時間t的價格為：12( , )( , )exp( ,

18、) )tB t TA t TA t T r其中，21 exp()( , )a TtA t Ta22222212( , )(/2)( , )( , )exp4QA t TTt a bA t TA t Taa于是，根據公式：1( , )ln( ,)R tB t t 可以推導出起息時間為t，剩余到期期限為 的貼現債券的利率，從而得出時間t的收益率曲線。 貼現債券利率的波動率由下式給出：1 exp()( , )( )()aV tVaCIR模型 CIR模型假設短期利率的風險中性過程為：()Qttttdra br dtr dW 于是，貼現債券價格可以表示為：12( , )( , )exp( , ) )tB

19、 t TA t TA t T r22exp( () 1( , )()exp( () 12TtA t TaTt22/12 exp()()/2)( , )()(exp( () 1)2QabaTtA t TaTt222a其中，貼現債券利率的波動率由下式給出：22( ,)( , )tr A t tV t套利模型在套利模型中，假設在時間T到期的貼現債券在時間t的價格 的相對變化滿足如下Ito過程：( , )B t T( , )( , )( , )21.28( , )tdB t Tt T dtt T dWB t T（）其中， 為貼現債券價格 在時間t的預期瞬間收益； 為貼現債券價格在時間t的瞬時波動；W為

20、標準布朗運動。( , )t T( , )B t T( , )t T將方程(21.28)在等價鞅測度下寫成如下形式 ( , )( , )( , )ttdB t Trdtt T dWB t T其中， 為在另一個概率測度下的標準布朗運動。W根據Ito引例解上面隨機微分方程（stochastic differential equation），得到：20001( , )(0, )exp( , )( , )2tttssB t TBTr dss T dWs T ds可以從方程中消除短期利率，過程如下：首先，利用條件 ，得到：( , )1B t t 200011( , )(0, )exp( , )( , )2

21、1.312tttssB t tBtr dss t dWs t ds（）上面兩式相除，得：2200(0, )1( , )exp ( ( , )( , )( , )( , )21.32(0, )2ttsBTB t Ts Ts t dWs Ts t dsBt（）上式表明，債券的價格僅取決于當前的期限結構以及波動性結構 根據(21.32)式，還可以推出到期期限為T的貼現債券在時間t的利率，以及在時間t計算的，起息日為時間T的瞬時遠期利率，由：1( ,)ln( , )R t TtB t TTt ln( , )( , )B t Tf t TT 可以推得：22001(0, )1( ,)ln()( ( , )

22、( , )( , )( , )(0, )2ttsBtR t Tts Ts t dWs Ts t dsTtBT00( , )(0, )( , )( , ) ( , )21.36ttsf t TfTs T dWs Ts T ds（）其中， 為瞬間遠期利率 的波動，它滿足：( , )t T( , )f t T( , )( , )s Ts TT由(21.36)式，還可以得到：00( , )(0, )( , )( , ) ( , )tttsrf t tfts t dWs ts t dsGHIJKLMABCDEF 圖21.3 重組樹 圖21.4 非重組樹離散時間形式的Ho-Lee模型 基本假設基本假設Ho

23、 and Lee (1986)假定市場滿足離散狀態時間框架下的標準完全資本市場假設：1. 市場無摩擦。即：無稅收，無交易成本，所有的證券都完全可分。2. 市場在離散時間點出清。3. 市場完全。即：對任意期限n，存在貼現債券。4. 對任意的時間點n，存在有限個狀態。二項式過程Ho and Lee (1986)假定利率期限結構移動遵循二項式過程隨時間變化。即：( , )iB n T1(1,1)iBnT(1,1)iB nT其中， 定義為在第i種狀態下，剩余到期期限為T的貼現債券在時間n的均衡價格。當利率上升時，該價值向 運動，當利率下降時，該價值向 運動。( , )iB n T1(1,1)iBnT(

24、1,1)iB nT干擾函數 定義干擾函數和如下：如果利率下降，則債券的價值向上移動到：1( ,1)(1, )( )( ,1)iiiB n TBnTh TB n如果利率上升，那么債券的價值向下移動到：*( ,1)(1, )( )( ,1)iiiB n TB nTh TB n其中， *( )1( )1(0)(0)1h Th Thh，。風險中性概率無套利條件對每個結點（n, i）給出了其擾動函數的約束。*( )(1)( )1h Th T其中，n, i0。 與到期期限T，初始貼現債券價格無關，但可能與時間n，狀態i有關，稱為隱含二項式概率。根據干擾函數的定義，上式可寫為： 1( , )(1,1)(1)

25、(1,1)( ,1)iiiiB n TBnTB nTB n隱含二項式概率為Cox Ross and Rubinstein (1979)模型中的風險中性概率（Risk Neutral Probability），于是，rdud其中，1( ,1)irB n1(1,1)( , )iiBnTuB n T(1,1)( , )iiB nTdB n T對重組樹的要求在定義了干擾函數之后，就可以用公式來明確對重組樹的要求了。( ,2)iB n T 1(1,1)iBnT(1,1)iB nT1(2, )iBnT圖21.6 利率期限結構的二項式過程（2）當狀態先上移后下移時，有：*111(1,1)(2, )( )(1

26、,1)iiiBnTBnTh TBn1( ,2)(1,1)(1)( ,1)iiiB n TBnTh TB n又因為：*1( ,2) (1)( )(2, )21.42( ,2) (1)iiiB n Th Th TBnTB nh（）1( ,2)(1,1)(1)( ,1)iiiB nBnhB n故有：當狀態先下移后上移時，同樣可以得到：*1*( ,2)(1) ( )(2, )21.43( ,2)(1)iiiB n Th Th TBnTB nh（）比較(21.42)式和(21.43)式，得：*(1)( )(1)(1) ( ) (1)h Th T hh Th T h*( )(1)( )1h Th T(1)

27、1( )1(1)(1) (1) ( )1(1)h Th Thhh Th T又由于：故有： 上式可簡化為一個一階線性差分方程：1(1)( )h Th T(1)1/(1) )h ( (1) 1)(1) (1)hh其中，于是， 和 均為常數。求解上述一階線性差分方程，得：1( )21.46(1)Th T （）*( )21.47(1)TTh T （）故：*( )( )21.48Th Th T（）為風險中性概率： rdud由(21.48)式，可以推導出：*(1)(1)hh利率期限結構在第i種狀態下剩余到期期限為T的貼現債券的時間n的價格用初始利率期限結構表示如下： *0*0(0,)(1)(2)() (1

28、)( )( , )(0, )(1)(2)( ) (1)(1)iBTn h Tnh Tnh Ti h Tih TB n TBnh nh nh i h ih 將(21.46)式和(21.47)式代入上式，得：()00(0,) (1) (2)( )( , )(0, )(1) (2)(1)T n iiBTn h Tnh Tnh TB n TBnh nh nh特別的，當T=1時，債券價格為：00(0,1)( ,1)(0, )(1)n iinBnB nBn 于是，短期利率為：00(0, )( ,1)ln( ,1)lnln(1)ln(0,1)niiBnr nB niBn 設隱含二項概率為q，則 是關于i的一

29、個二項分布，均值為：( ,1)ir n(1)( )( )lnln(1)lnlnln(1)(1)(1)nq nqnP nP nnqP nP n 方差為：2var(1)(ln )nqq連續時間形式的Ho-Lee模型 連續時間形式的Ho-Lee模型實際上是單因素HJM模型的一個特例。它假設為瞬間遠期利率 的波動 與t和T無關，即：( , )f t T( , )t T( , )t T于是，短期利率由下式給出：2(0, )ttftdrt dtdWt 貼現債券價格由下式給出：22(0, )()( , )exp( ()(0, )()(0, )2tBTTttB t TTt rftBt貼現債券利率由下式給出：2()( ,)