1、1第二章 點(diǎn)集主講：胡努春2lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等價(jià)于故的孤立點(diǎn)全體由于說(shuō)明：要證E是開集，只要證 要證E是閉集，只要證)(顯然因?yàn)镋EEE)(顯然因?yàn)榛駿EEEEEEE 若E = E , 則稱E為開集（E中每個(gè)點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)) 若 ,則稱E為閉集（與E緊挨的點(diǎn)不跑到E外）3說(shuō)明：要證E是開集，只要證 )(顯然因?yàn)镋EEEabx),(),(baOx 證明：任取x(a,b),取=min|x-a|,|x-b|, 則 ,從而x是（a,b）的內(nèi)點(diǎn)，故(a,b)是開集。4說(shuō)

2、明： 要證E是閉集，只要證()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因?yàn)轱@然a b xcxbaO,),( 證明：任取xa,bc,取=min|x-a|,|x-b|, 則 ,從而x不是a,b的接觸點(diǎn)，從而a,b的接觸點(diǎn)都在a,b內(nèi)，從而a,b是閉集。5l即：A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)A中的任意收斂點(diǎn)列收斂于A中的點(diǎn)為E的接觸點(diǎn)的充要條件為存在E中點(diǎn)列pn, 使得或p0是E的聚點(diǎn)的充要條件為存在E中的互異的點(diǎn)所成的點(diǎn)列pn, 使得0limppnn0limppnn若 （或 ）,則稱E為閉集。 （與E接近的點(diǎn)不跑到E外）EE EE 6為開集，即從而EEE)(EOOxy),() ,(則) ,(yOEEOx)

3、,()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd7)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex 8E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有當(dāng)時(shí),有x）為閉集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EE9lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的聚點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：

4、lP0為 E的外點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E為開集，則Ec為閉集; 若E為閉集，則Ec為開集。ccccEEEE)()()()(a.10lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得CECE 從而x不是Ec的接觸點(diǎn)， 也即Ec的接觸點(diǎn)一定在Ec內(nèi)， 從而 ，即Ec為閉集。 EOExx),(, 0,使得證明：設(shè)E為開集，即( , )cxOE 從而11lP0為 E的接觸點(diǎn)：lP0為 E的內(nèi)點(diǎn)：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得EE 證明：設(shè)E為閉

5、集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的內(nèi)點(diǎn)， 則x的任一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)屬于E的點(diǎn)，cxE 從而x為E的接觸點(diǎn)，由為閉集可知x在E內(nèi)， 這與 矛盾，所以Ec中的點(diǎn)都為Ec的內(nèi)點(diǎn)，即Ec為開集。12a. 空集，Rn為開集;b. 任意多個(gè)開集之并仍為開集；c. 有限個(gè)開集之交仍為開集。注：無(wú)限多個(gè)開集的交不一定為開集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和Rn既開又閉，存在大量既不開又不閉的集合，如：E=0,1)A B13a.空集，Rn為閉集；b.任意多個(gè)閉集之交仍為閉集；c.有限個(gè)閉集之并仍為閉集。注：無(wú)限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，如：En=0,1-1/n若E為開集，則Ec為閉集;若E為

6、閉集，則Ec為開集ccAA)(ccAA)(14l定理：直線上的任一非空開集都可唯一地表示成有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間的并。( ) ( )( ) ( ) (直線上的閉集或是全直線，或是從直線上挖去有限個(gè)或可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間所得之集.15直線上的閉集的孤立點(diǎn)必是其余區(qū)間的某兩個(gè)相鄰開區(qū)間的公共端點(diǎn);但并不意味無(wú)孤立點(diǎn)的閉集定為互不相交的閉區(qū)間之并。Rn中的開集一般不能表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的開區(qū)間之并，但總可表示成至多可數(shù)個(gè)互不相交的半開半閉區(qū)間之并.( ) ( )( ) ( ) (16Bolzano-Weierstrass定理： 若E是Rn中的一個(gè)有界的無(wú)限集，則E至少有一個(gè)聚點(diǎn).點(diǎn)列

7、a1 , a2 , a3 , a4 , a1 = (a11, a12, a13, ,a1n) a2 = ( a21, a22, a23, , a2n) a3 = ( a31, a32, a33, ,a3n) l注：對(duì)無(wú)限維空間不一定成立。詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)教材 p-183例617 設(shè)F為有界閉集，若開集簇 覆蓋F（ 即 ）， 則 中存在有限個(gè)開集U1 ，U2， ,Un，它同樣覆蓋F:IiUiiIiUF:IiUi注：比較下面幾種不同的證法周民強(qiáng)，實(shí)變函數(shù) p-36尤承業(yè)，基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué) p-52熊金城，點(diǎn)集拓?fù)渲v義 p-2021.教材 p-42注： 逆命題也成立18設(shè)F為Rn中一 集合，若開集簇 覆蓋F（ 即 ）， 則 中存在可數(shù)個(gè)開集U1 ，U2， ,Un ， ，它同樣覆蓋F:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空間中以有理點(diǎn)為中心，正有理數(shù)為半徑的圓全體為可數(shù)集，開集中的點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn)，以及有理點(diǎn)全體在Rn中稠密和有理數(shù)全體是R的稠密集19證明：對(duì)任意的yF，由于yG ，F(xiàn)GGFyxyxF:GOyyy),(,0使得故存在),(121iyiyniOF使得:),(21FyOyy由 組成F的一個(gè)開覆蓋及有限子覆蓋定理，知存在y1