1、-1-7.1.2復數的幾何意義復數的幾何意義課前篇自主預習一二三一、復數的幾何意義1.思考(1)什么是平面直角坐標系?如何表示平面內的點?提示同一平面內互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系.水平的數軸稱為x軸,垂直的數軸叫做y軸,平面內任一點都可以用一個有序實數對表示.(2)復數與平面向量建立一一對應關系的前提是什么?提示前提是向量的起點為原點,若起點不是原點,則復數與向量不能建立一一對應關系.課前篇自主預習一二三2.填空(1)復平面復平面:建立了平面直角坐標系來表示復數的平面叫復平面;實軸:坐標系中的x軸叫實軸,在它上面的點都表示實數;虛軸:坐標系中的y軸叫虛軸,除去原點外,在它

2、上面的點都表示純虛數.(2)復數的幾何意義復數與復平面內的點一一對應:復數z=a+bi(a,bR) 復平面內的點Z(a,b);復數與復平面內從原點出發的向量一一對應:復數z=a+bi(a,bR) 平面向量 .課前篇自主預習一二三3.做一做(1)復數z=3-5i在復平面內對應的點的坐標是()A.(3,-5)B.(3,5)C.(3,-5i) D.(3,5i)A.等于0B.-3C.在虛軸上D.既不在實軸上,也不在虛軸上答案:(1)A(2)C解析:(1)復數z=3-5i在復平面內對應的點的坐標是(3,-5).課前篇自主預習一二三二、復數的模1.思考什么是向量的模?提示表示向量的有向線段的長度叫做向量的

3、模,即向量的大小. 2.填空(3)模的幾何意義:復數z的模就是復數z=a+bi(a,bR)所對應的點Z(a,b)到原點(0,0)的距離.課前篇自主預習一二三3.做一做(1)復數4-2i的模等于()答案:C(2)判斷復數的模一定是正實數.()兩個復數相等,它們的模一定相等,反之也成立.()答案:課前篇自主預習一二三三、共軛復數1.思考若z1,z2是共軛復數,那么在復平面內它們所對應的點有怎樣的關系?提示設z1=a+bi,對應的點為Z1(a,b),則z2=a-bi,對應點為Z2(a,-b),點Z1與Z2關于實軸對稱.2.填空一般地,當兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫做互為共軛復數

4、.通常記復數z的共軛復數為 ,虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數.課前篇自主預習一二三3.做一做已知復數z=3+4i,則z的共軛復數的模為.答案:5課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練復數與復平面內點的對應復數與復平面內點的對應例例1已知復數z=(a2-4)+(2a-3)i,其中aR.當復數z在復平面內對應的點Z滿足下列條件時,求a的值(或取值范圍).(1)Z在實軸上;(2)Z在第二象限;(3)Z在拋物線y2=4x上.分析根據復數與點的對應關系,得到復數的實部與虛部之間應滿足的條件,建立關于a的方程或不等式,即可求得實數a的值(或取值范圍).課堂篇探究學習探究一探

5、究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟反思感悟 1.復數與復平面內點的對應關系的實質:復數的實部就是其對應點的橫坐標,復數的虛部就是其對應點的縱坐標.2.已知復數在復平面內對應點滿足的條件求參數值(或取值范圍)時,可根據復數與點的對應關系,找到復數實部與虛部應滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求得參數值(或取值范圍).課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓練變式訓練1(1)在復平面內,復數6+5i,-2+3i對應的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應的復數是()A.4+8iB.8

6、+2iC.2+4iD.4+i(2)若復數z=(m+1)+(m-2)i,其中mR,則復數z對應的點不可能位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案:(1)C(2)B解析:(1)兩個復數對應的點分別為A(6,5),B(-2,3),則點C(2,4).故其對應的復數為2+4i.(2)若令 則該不等式組無解,故復數z對應的點不可能位于第二象限.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練復數與復平面內向量的對應復數與復平面內向量的對應例例2在復平面上,點A,B,C對應的復數分別為1+4i,-3i,2,O為復平面的坐標原點.(2)求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數

7、.分析根據復數與點、復數與向量的對應關系求解. 課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練反思感悟反思感悟 1.若復數z=a+bi(a,bR),則復數z在復平面內對應的向量 =(a,b).2.復平面內向量對應的復數可以通過向量的坐標運算求得.3.一個向量不管怎樣平移,它所對應的復數是不變的,但其起點與終點對應的復數可能改變.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓練變式訓練2四邊形ABCD是復平面內的平行四邊形,A,B,C三點對應的復數分別是1+3i,-i,2+i.(1)求點D對應的復數;

8、(2)求ABC的邊BC上的高.解:(1)復平面內A,B,C對應點的坐標分別為(1,3),(0,-1),(2,1),設點D的坐標為(x,y),x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5,故點D(3,5),其對應的復數為3+5i.(2)B(0,-1),C(2,1),直線BC的方程為x-y-1=0,課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練復平面內兩點間距離公式的應用復平面內兩點間距離公式的應用例例3已知zC,指出滿足下列條件的復數z對應的點Z的軌跡:(1)|z+1+i|=1.(2)|z-1|=|z+2i|.(3)|z+1|+|z+1-i|=2.分析充分利用復平面內兩點間的距離公式

9、以及相關曲線的定義進行分析求解.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練解:(1)由于|z+1+i|=|z-(-1-i)|=1,它表明點Z到點(-1,-1)的距離等于1,因此軌跡是以點(-1,-1)為圓心,以1為半徑的圓.(2)由于|z-1|=|z+2i|,它表示點Z到點(1,0)的距離等于Z到點(0,-2)的距離,因此軌跡是以點(1,0),(0,-2)為端點的線段的垂直平分線.(3)由于|z+1|+|z+1-i|=2,它表示點Z到兩定點(-1,0),(-1,1)的距離之和等于常數2,滿足橢圓的定義,因此軌跡是以點(-1,0)和(-1,1)為焦點,長軸長為2的橢圓.反思感悟

10、反思感悟 1.|z1-z2|表示復平面內,復數z1,z2對應的點Z1,Z2之間的距離,在具體應用中,要注意絕對值符號內應是兩個復數差的形式.2.判斷復數形式表示的點的軌跡時,要充分利用復平面內兩點間的距離公式以及相關曲線的定義進行分析判斷.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練分析根據復數的幾何意義,利用數形結合的方法進行求解. 課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練復數的模及其應用復數的模及其應用例例4若復數z=(a+2)-2ai的模等于 ,求實數a的值.分析根據復數模的計算公式求解. 反思感悟反思感悟 1.計算復數的模時,應先確定其實部與虛部,再

11、套用公式計算.2.兩個復數相等,其模必相等,反之,兩個復數的模相等,這兩個復數不一定相等.3.兩個復數不一定能夠比較大小,但兩個復數的模一定可以比較大小.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓練變式訓練4若復數z對應的點在直線y=2x上,且|z|= ,則復數z=. 答案:1+2i或-1-2i解析:依題意可設復數z=a+2ai(aR),解得a=1,故z=1+2i或z=-1-2i.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練共軛復數及其應用共軛復數及其應用例例5(2019全國高考)設z=-3+2i,則在復平面內 對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限

12、C.第三象限 D.第四象限分析先由定義寫出 ,再由復數的幾何意義求解.答案:C解析:由z=-3+2i,得 =-3-2i,則在復平面內 對應的點(-3,-2)位于第三象限,故選C.反思感悟反思感悟 本節內容對共軛復數的要求有兩點:一是會利用定義寫出已知復數的共軛復數;二是明確互為共軛的兩個復數表示的點的對稱關系.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓練變式訓練5已知i是虛數單位,復數z=1+i,則 的實部與虛部之差為()A.1B.0C.-2 D.2答案:D解析: =1-i,實部為1,虛部為-1,所以實部與虛部之差為1-(-1)=2.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究

13、四探究五思維辨析隨堂演練混淆復數的模與實數的絕對值致誤典例典例若復數z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復數z對應的點Z的軌跡是()A.兩個點B.一個圓C.兩個圓D.四個點解析:由|z|2-2|z|-3=0可得(|z|+1)(|z|-3)=0,而|z|+10,所以|z|=3,由復數模的幾何意義可知,復數Z對應的點到原點的距離等于3,即點Z的軌跡是一個圓.答案:B易錯提醒復數z=a+bi(a,bR)的模|z|的幾何意義是復平面內點Z(a,b)到原點的距離,而實數x的絕對值|x|的幾何意義是數軸上點x到原點的距離.課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練變式訓練變式訓練已知復數z=x-2+yi(x,yR)的模是2 ,則點(x,y)的軌跡方程是. 答案:(x-2)2+y2=8課堂篇探究學習探究一探究二探究三探究四探究五思維辨析隨堂演練1.若復數z=-2+i,則復數z的共軛復數 在復平面內對應的點位于()A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案:C解析:復數z的共軛復數 =-2-i,在復平面內對應的點為(-2,-1),位于第三象限.2.已知平行