1、2017年9月24日數(shù)學試卷 一、選擇題（共2小題；共10分）1. 若隨機變量 X 的概率分布如下表所示，則表中 a 的值為 X1234P121616aA. 1B. 12C. 13D. 16 2. 已知隨機變量 X 的分布列為：PX=k=k15，k=1，2，3，4，5，則 P12X52 的值為 A. 12B. 15C. 16D. 19 二、填空題（共2小題；共10分）3. 隨機變量 X 等可能取值為 1，2，3，n，如果 PX4=12，那么 n= 4. 在 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c若 a2=b2+c2+bc，則 A= 三、解答題（共4小題；共52分）5. 如圖，四

2、棱錐 PABCD 的底面是直角梯形，ABCD，ABAD，PAB 和 PAD 是兩個邊長為 2 的正三角形，DC=4，O 為 BD 的中點，E 為 PA 的中點（1）求證：PO平面ABCD；（2）求證：OE平面PDC；（3）求直線 CB與平面PDC 所成角的正弦值 6. 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知 4sin2AB2+4sinAsinB=2+2（1）求角 C 的大小；（2）已知 b=4，ABC 的面積為 6，求邊長 c 的值 7. 如圖1，在矩形 ABCD 中，AB=2BC=4，M 、 N 、 E 分別為 BC 、 AD 、 CD 的中點，現(xiàn)將 ADE 沿

3、AE 折起，折起過程中點 D 仍記作 D，得到如圖2所示的四棱錐 DABCE（1）證明：MN平面CDE；（2）當 ADBE 時，求直線 BD 與平面 CDE 所成角的正弦值 8. 如圖所示，在四棱錐 PABCD 中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，點 E 為棱 PC 的中點（1）證明：BEDC；（2）若 F 為棱 PC 上一點，滿足 BFAC，求二面角 FABP 的余弦值答案第一部分1. D2. B第二部分3. 64. 23【解析】由余弦定理得 cosA=12因為 0A，所以 A=23第三部分5. （1） 設 F 為 DC 的中點，連接 BF（如圖），則

4、DF=AB因為 ABAD，AB=AD，ABDC，所以四邊形 ABFD 為正方形，因為 O 為 BD 的中點，所以 O 為 AF，BD 的交點，因為 PD=PB=2，所以 POBD，因為 BD=AD2+AB2=22，所以 PO=PB2BO2=2，AO=12BD=2，在三角形 PAO 中，PO2+AO2=PA2=4，所以 POAO，因為 AOBD=O，所以 PO平面ABCD（2） 方法1：如圖，連接 PF因為 O 為 AF 的中點，E 為 PA 中點，所以 OEPF，因為 OE平面PDC，PF平面PDC，所以 OE平面PDC方法2：由（1）知 PO平面ABCD又 ABAD，所以過 O 分別做 AD

5、，AB 的平行線，以它們做 x，y 軸，以 OP 為 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系由已知得：A1,1,0，B1,1,0，D1,1,0，F(xiàn)1,1,0，C1,3,0，P0,0,2，E12,12,22，則 OE=12,12,22，PF=1,1,2，PD=1,1,2，PC=1,3,2因為 OE=12PF，所以 OEPF因為 OE平面PDC，PF平面PDC，所以 OE平面PDC（3） 設平面 PDC 的法向量為 n=x1,y1,z1，直線 CB 與平面 PDC 所成角 ，由 nPC=0,nPD=0, 得 x1+3y12z1=0,x1y12z1=0, 令 z1=1，則平面 PDC 的一個法向量為 n

6、=2,0,1，又 CB=2,2,0，則 sin=cosn,CB=22322=33，所以直線 CB 與平面 PDC 所成角的正弦值為 336. （1） 由已知得21cosAB+4sinAsinB=2+2,化簡得2cosAcosB+2sinAsinB=2,故cosA+B=22,所以A+B=34,因為 A+B+C=，所以 C=4（2） 因為SABC=12absinC,由 SABC=6，b=4，C=4，所以 a=32，由余弦定理，得c2=a2+b22abcosC,所以 c=107. （1） 取 AE 的中點 F，連接 MF，NF，因為 M 、 F 分別為 BC 、 AE 的中點，所以 MFCE，又 M

7、F平面CDE，CE平面CDE，所以 MF平面CDE同理 NF平面CDE，又 MF，NF平面MNF，MFNF=F，所以 平面MNF平面CDE因為 MN平面MNF，所以 MN平面CDE（2） 在題圖1中，連接 BE，因為 AB=2BC=4，所以 BE=AE=22，AE2+BE2=AB2，所以 BEAE又 ADBE，AE，AD平面ADE，AEAD=A，所以 BE平面ADE又 BE平面ABCE，所以 平面ADE平面ABCE連接 DF，因為 ADE 為等腰三角形，F(xiàn) 為 AE 的中點，所以 DFAE，所以 DF平面ABCE因為 AD=DE=2，所以 AE=22，所以 DF=2以點 E 為坐標原點，建立如

8、圖所示的空間直角坐標系 Exyz，則 E0,0,0，B2,2,0，C0,2,0，D1,1,2，EC=0,2,0，ED=1,1,2設平面 CDE 的法向量為 n=x,y,z，則 nEC=0,nED=0, 即 2y=0,xy+2z=0, 令 z=2，則平面 CDE 的一個法向量為 n=2,0,2設直線 BD 與平面 CDE 所成的角為 ，又 BD=1,3,2，則 sin=cos=BDnBDn=4126=23，即直線 BD 與平面 CDE 所成角的正弦值為 238. （1） 方法一：依題意，以點 A 為原點，AB,AD,AP為x,y,z軸 建立空間直角坐標系（如圖所示），可得 B1,0,0，C2,2

9、,0，D0,2,0，P0,0,2由 E 為棱 PC 的中點，得 E1,1,1向量 BE=0,1,1，DC=2,0,0，故 BEDC=0，所以 BEDC方法二：如圖所示，取 PD 中點 M，連接 EM，AM由于 E，M 分別為 PC，PD 的中點，故 EMDC，且 EM=12DC又由已知，可得 EMAB 且 EM=AB，故四邊形 ABEM 為平行四邊形，所以 BEAM因為 PA底面ABCD，故 PACD，而 CDDA，從而 CD平面PAD因為 AM平面PAD，所以 CDAM又 BEAM，所以 BECD（2） 方法一：向量 BC=1,2,0，CP=2,2,2，AC=2,2,0，AB=1,0,0由點

10、 F 在棱 PC 上，設 CF=CP，01故 BF=BC+CF=BC+CP=12,22,2由 BFAC，得 BFAC=0，因此 212+222=0，解得 =34，即 BF=12,12,32設 n1=x,y,z 為平面 FAB 的法向量，則n1AB=0,n1BF=0,即x=0,12x+12y+32z=0.不妨令 z=1，可得 n1=0,3,1 為平面 FAB 的一個法向量取平面 ABP 的法向量 n2=0,1,0，則cosn1,n2=n1n2n1n2=3101=31010.易知二面角 FABP 是銳角，所以其余弦值為 31010方法二：如圖所示，在 PAC 中，過點 F 作 FHPA 交 AC 于點 H因為 PA底面ABCD，所以 FH底面ABCD，從而 FHAC又 BFAC，得 AC平面FHB，因此 ACBH在底面 ABCD 內(nèi)，可得 CH=3HA，從而 CF=3FP在平面 PDC 內(nèi)，作 FGDC 交 PD 于點 G，于是 DG