1、§21  逐點(diǎn)比較法逐點(diǎn)比較法是我國數(shù)控機(jī)床中廣泛采用的一種插補(bǔ)方法，它能實(shí)現(xiàn)直線、圓弧和非圓二次曲線的插補(bǔ)，插補(bǔ)精度較高。逐點(diǎn)比較法，顧名思義，就是每走一步都要將加工點(diǎn)的瞬時(shí)坐標(biāo)同規(guī)定的圖形軌跡相比較，判斷其偏差，然后決定下一步的走向，如果加工點(diǎn)走到圖形外面去了，那么下一步就要向圖形里面走；如果加工點(diǎn)在圖形里面，那么下一步就要向圖形外面走，以縮小偏差。這樣就能得出一個(gè)非常接近規(guī)定圖形的軌跡，最大偏差不超過一個(gè)脈沖當(dāng)量。 在逐點(diǎn)比較法中，每進(jìn)給一步都須要進(jìn)行偏差判別、坐標(biāo)進(jìn)給、新偏差計(jì)算和終點(diǎn)比較四個(gè)節(jié)拍。下面分別介紹逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)的原理。一、 逐點(diǎn)比較法直線

2、插補(bǔ)如上所述，偏差計(jì)算是逐點(diǎn)比較法關(guān)鍵的一步。下面以第象限直線為例導(dǎo)出其偏差計(jì)算公式。圖2-1 直線插補(bǔ)過程點(diǎn)擊進(jìn)入動(dòng)畫觀看逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)如圖21所示，假定直線 的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)A的坐標(biāo)為 為加工點(diǎn)，若P點(diǎn)正好處在直線 上，那么下式成立： 若任意點(diǎn) 在直線 的上方（嚴(yán)格地說，在直線 與y軸所成夾角區(qū)域內(nèi)），那么有下述關(guān)系成立：亦即: 由此可以取偏差判別函數(shù) 為：  由 的數(shù)值（稱為“偏差”）就可以判別出P點(diǎn)與直線的相對(duì)位置。即：當(dāng) =0時(shí)，點(diǎn) 正好落在直線上；當(dāng) >0時(shí)，點(diǎn) 落在直線的上方；當(dāng) <0時(shí)，點(diǎn) 落在直線的下方。從圖21看出，對(duì)于起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為A（

3、 ）的第象限直線OA來說，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方（即 >0）時(shí)，應(yīng)該向+x方向發(fā)一個(gè)脈沖，使機(jī)床刀具向+x方向前進(jìn)一步，以接近該直線；當(dāng)點(diǎn)P在直線下方（即 <0）時(shí)，應(yīng)該向+y方向發(fā)一個(gè)脈沖，使機(jī)床刀具向+y方向前進(jìn)一步，趨向該直線；當(dāng)點(diǎn)P正好在直線上（即 =0）時(shí)，既可向+x方向發(fā)一脈沖，也可向+y方向發(fā)一脈沖。因此通常將 >0和 =0歸于一類，即 0。這樣從坐標(biāo)原點(diǎn)開始，走一步，算一次，判別 ，再趨向直線，逐點(diǎn)接近直線 ，步步前進(jìn)。當(dāng)兩個(gè)方向所走的步數(shù)和終點(diǎn)坐標(biāo)A（ ）值相等時(shí)，發(fā)出終點(diǎn)到達(dá)信號(hào)，停止插補(bǔ)。對(duì)于圖21的加工直線OA，我們運(yùn)用上述法則，根據(jù)偏差判別函數(shù)值，就可以獲

4、得如圖中折線段那樣的近似直線。但是按照上述法則進(jìn)行 的運(yùn)算時(shí)，要作乘法和減法運(yùn)算，這對(duì)于計(jì)算過程以及具體電路實(shí)現(xiàn)起來都不很方便。對(duì)于計(jì)算機(jī)而言，這樣會(huì)影響速度；對(duì)于專用控制機(jī)而言，會(huì)增加硬件設(shè)備。因此應(yīng)簡化運(yùn)算，通常采用的是迭代法，或稱遞推法，即每走一步后新加工點(diǎn)的加工偏差值用前一點(diǎn)的加工偏差遞推出來。下面推導(dǎo)該遞推式：已經(jīng)知道，加工點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）時(shí)的偏差為：若 0時(shí)，則向x軸發(fā)出一進(jìn)給脈沖，刀具從這點(diǎn)即（ ）點(diǎn)向x方向前進(jìn)一步，到達(dá)新加工點(diǎn)P（ ）， ，因此新加工點(diǎn)P（ ）的偏差值為即: (2-1)如果某一時(shí)刻，加工點(diǎn)P（ ）的 <0，則向y軸發(fā)出一個(gè)進(jìn)給脈沖，刀具從這一點(diǎn)向y方向前

5、進(jìn)一步，新加工點(diǎn)P（ ）的偏差值為  即: (2-2) 根據(jù)式（21）及式（22）可以看出，新加工點(diǎn)的偏差完全可以用前一加工點(diǎn)的偏差遞推出來。綜上所述，逐點(diǎn)比較法的直線插補(bǔ)過程為每走一步要進(jìn)行以下4個(gè)節(jié)拍（步驟），即判別、進(jìn)給、運(yùn)算、比較。（1） 判別。根據(jù)偏差值確定刀具位置是在直線的上方（或線上），還是在直線的下方。（2） 進(jìn)給。根據(jù)判別的結(jié)果，決定控制哪個(gè)坐標(biāo)（x或y）移動(dòng)一步。（3） 運(yùn)算。計(jì)算出刀具移動(dòng)后的新偏差，提供給下一步作判別依據(jù)。根據(jù)式（21）及式（22）來計(jì)算新加工點(diǎn)的偏差，使運(yùn)算大大簡化。但是每一新加工點(diǎn)的偏差是由前一點(diǎn)偏差 推算出來的，并且一直遞推下去，這樣就要

6、知道開始加工時(shí)那一點(diǎn)的偏差是多少。當(dāng)開始加工時(shí)，我們是以人工方式將刀具移到加工起點(diǎn)，即所謂“對(duì)刀”，這一點(diǎn)當(dāng)然沒有偏差，所以開始加工點(diǎn)的 =0。（4） 比較。在計(jì)算偏差的同時(shí)，還要進(jìn)行一次終點(diǎn)比較，以確定是否到達(dá)了終點(diǎn)。若已經(jīng)到達(dá)，就不再進(jìn)行運(yùn)算，并發(fā)出停機(jī)或轉(zhuǎn)換新程序段的信號(hào)。下面以實(shí)例來驗(yàn)證圖21。設(shè)欲加工直線OA，其終點(diǎn)坐標(biāo)為 =5*, =3*，則終點(diǎn)判別值可取為 （終點(diǎn)判別方法詳見下述）。開始時(shí)偏差 ，加工過程的運(yùn)算節(jié)拍如表21所示。        圖2-2  逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)過程   

7、;                    表2-1   逐點(diǎn)比較法直線插補(bǔ)運(yùn)算舉例序號(hào) 工 作 節(jié) 拍第1拍:判別第2拍:進(jìn)給第3拍:運(yùn)算第4拍:比較1F00=0+xF10= F00-ye=0-3= -3E7= E8-1=72F10(= -3)<0+yF11 = F10+xe= -3+5=2E6= E7-1=63F11(= 2)>0+xF21= F11-ye=2-3= -1E5= E6

8、-1=54F21(= -1) <0+yF22= F21+xe= -1+5=4E4= E5-1=45F22(= 4)>0+xF32= F22-ye=4-3= 1E3= E4-1=36F32(= 1)>0+xF42 = F32-ye=1-3= -2E2= E3-1=27F42(= -2)<0+yF43= F42+xe= -2+5=3E1=E2-1=18F43(= 3)>0+xF53= F43-ye=3-3=0E0=E1-1=0到達(dá)終點(diǎn)二、 逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)加工一個(gè)圓弧，很容易聯(lián)想到把加工點(diǎn)到圓心的距離和該圓的名義半徑相比較來反映加工偏差。這里，我們以第象限逆圓弧為例

9、導(dǎo)出其偏差計(jì)算公式。設(shè)要加工圖23所示第象限逆時(shí)針走向的圓弧，半徑為R，以原點(diǎn)為圓心，起點(diǎn)坐標(biāo)為A( )，對(duì)于圓弧上任一加工點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為P( )，P點(diǎn)與圓心的距離 的平方為 ，現(xiàn)在討論這一加工點(diǎn)的加工偏差。圖2-3 圓弧插補(bǔ)過程點(diǎn)擊進(jìn)入動(dòng)畫觀看逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)                                &#

10、160;                         若點(diǎn)P( )正好落在圓弧上，則下式成立：若加工點(diǎn)P( )在圓弧外側(cè)，則 >R，即：若加工點(diǎn)P( )在圓弧內(nèi)側(cè)，則 <R，即：將上面各式分別改寫為下列形式：(加工點(diǎn)在圓弧上)(加工點(diǎn)在圓弧外側(cè)) (加工點(diǎn)在圓弧內(nèi)側(cè))取加工偏差判別式為： 運(yùn)用上述法則，利用偏差判別式，即獲得圖22折線所示的近

11、似圓弧。若P( )在圓弧外或圓弧上，即滿足 0的條件時(shí)，應(yīng)向x軸發(fā)出一個(gè)負(fù)向運(yùn)動(dòng)的進(jìn)給脈沖(x)，即向圓內(nèi)走一步。若P( )在圓弧內(nèi)側(cè)，即滿足 <0的條件，則向y軸發(fā)出一個(gè)正向運(yùn)動(dòng)的進(jìn)給脈沖(+y)，即向圓弧外走一步。為了簡化偏差判別式的運(yùn)算，仍用遞推法來推算下一步新的加工偏差。設(shè)加工點(diǎn)P( )在圓弧外側(cè)或圓弧上，則加工偏差為x坐標(biāo)需向負(fù)方向進(jìn)給一步(x)，移到新的加工點(diǎn)P( )位置，此時(shí)新加工點(diǎn)的x坐標(biāo)值為 ，y坐標(biāo)值仍為 ，新加工點(diǎn)P( )的加工偏差為：經(jīng)展開并整理，得： (2-3)設(shè)加工點(diǎn)P( )在圓弧的內(nèi)側(cè)，則：<0那么，y坐標(biāo)需向正方向進(jìn)給一步(+y)，移到新加工點(diǎn)P(

12、)，此時(shí)新加工點(diǎn)的x坐標(biāo)值仍為 ，y坐標(biāo)值則改為 ，新加工點(diǎn)P( )的加工偏差為:，展開上式，并整理得: 綜上所述可知：當(dāng) 0時(shí)，應(yīng)走x，新偏差為 ，動(dòng)點(diǎn)(加工點(diǎn))坐標(biāo)為 ， ；當(dāng) <0時(shí)，應(yīng)走+y，新偏差為 ，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為 , 。下面舉例說明插補(bǔ)過程。設(shè)欲加工第象限逆時(shí)針走向的圓弧(見圖24)，起點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ，終點(diǎn)E的坐標(biāo)是 ，終點(diǎn)判別值：       圖2-4 圓弧實(shí)際軌跡               &#

13、160;                                                      &#

14、160;                                             圖2-5 逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)過程     

15、                                                    加工過程的運(yùn)算節(jié)拍見表23

16、，插補(bǔ)后獲得的實(shí)際軌跡如圖23折線所示。可見，圓弧插補(bǔ)偏差計(jì)算的遞推公式也是比較簡單的。但計(jì)算偏差的同時(shí)，還要對(duì)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行加1、減1運(yùn)算，為下一點(diǎn)的偏差計(jì)算做好準(zhǔn)備。和直線插補(bǔ)一樣，除偏差計(jì)算外，還要進(jìn)行終點(diǎn)判別計(jì)算。每走一步，都要從兩坐標(biāo)方向總步數(shù)中減去1，直至總步數(shù)被減為零(發(fā)終點(diǎn)到達(dá)信號(hào))時(shí)為止，才終止計(jì)算。                          

17、60;                                      表2-3  逐點(diǎn)比較法圓弧插補(bǔ)運(yùn)算舉例序號(hào)工作節(jié)拍第1拍：判別第2拍：進(jìn)給第3拍：運(yùn)算第4拍：比較1   F=0-x  

18、0;       F=0-2*4+1=7E=6-1=5(0)2  F(=-7)<0+y          F=-7+2*3+1=0          x=3,y=3+1=4E=5-1=4(0)3  F=0-x         F=0-2*3+1=-5&#

19、160;        x=3-1=2,y=4E=4-1=3(0)4 F(=-5)<0+y        F=-5+2*4+1=4        x=2,y=4+1=5E=3-1=2(0)5 F(=4)>0-x        F=4-2*2+1=1   &#

20、160;    x=2-1=1,y=5E=2-1=10)6 F(=1)>0-x        F=1-2*1+1=0        x=1-1=0,y=5E=1-1=0(終止)     逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)第象限直線和第象限逆圓弧的計(jì)算流程圖分別見圖24和圖25。            &

21、#160;                        圖2-4  直線插補(bǔ)計(jì)算流程圖                      

22、0;                  圖2-5   圓弧插補(bǔ)計(jì)算流程圖三、 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和終點(diǎn)判別問題1象限與坐標(biāo)變換前面所討論的用逐點(diǎn)比較法進(jìn)行直線及圓弧插補(bǔ)的原理和計(jì)算公式，只適用于第象限直線和第象限逆時(shí)針圓弧那種特定的情況。對(duì)于不同象限的直線和不同象限、不同走向的圓弧來說，其插補(bǔ)計(jì)算公式和脈沖進(jìn)給方向都是不同的。為了將各象限直線的插補(bǔ)公式統(tǒng)一于第象限的公式，將不同象限、不同走向的8種圓弧的插補(bǔ)公式統(tǒng)一于

23、第象限逆圓的計(jì)算公式，就需要將坐標(biāo)和進(jìn)給方向根據(jù)象限等的不同而進(jìn)行變換，這樣，不管哪個(gè)象限的圓弧和直線都按第象限逆圓和直線進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算。而進(jìn)給脈沖的方向則按實(shí)際象限和線型來決定，采用邏輯電路或程序?qū)⑦M(jìn)給脈沖分別發(fā)到+X,-X,+Y,-Y四個(gè)通道上去，以控制機(jī)床工作臺(tái)沿X和Y向的運(yùn)動(dòng)。我們用SR1，SR2，SR3，SR4分別表示第，象限的順時(shí)針圓弧，用NR1，NR2，NR3，NR4分別表示第，象限的逆時(shí)針圓弧，如圖26（a）所示；用L1，L2，L3，L4分別表示第，象限的直線，如圖26（b）所示。由圖26可以看出：按第象限逆時(shí)針走向圓弧NR1線型插補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，如將x軸的進(jìn)給反向，即走出第象限順時(shí)針

24、走向圓弧SR2；將y軸的進(jìn)給反向,即走出SR4；將x和y軸兩者進(jìn)給都反向，即走出NR3。此時(shí)NR1，NR3，SR2，SR4四種線型都取相同的偏差運(yùn)算公式，無須改變。圖2-6 直線和圓弧不同象限的走向還可以看出，按NR1線型插補(bǔ)時(shí)，把運(yùn)算公式的坐標(biāo)x和y對(duì)調(diào)，以x作y，以y作x，那么就得到SR1的走向。按上述原理，應(yīng)用SR1同一運(yùn)算公式，適當(dāng)改變進(jìn)給方向也可獲得其余線型SR3，NR2，NR4的走向。這就是說，若針對(duì)不同象限建立類似于第象限的坐標(biāo)，就可得到與第象限直線和第象限逆圓的類似情況，從而可以用統(tǒng)一公式作插補(bǔ)計(jì)算，然后根據(jù)象限的不同發(fā)出不同方向的脈沖。圖26（a）、（b）分別為8種圓弧和4種

25、直線的坐標(biāo)建立情況，據(jù)此可以得到表23的進(jìn)給脈沖分配類型。表2-3 x,y脈沖分配的12種類型圖形脈沖象 限G03xy-X+Y-Y+X+X-Y+X+YG02xy-Y+X+X+Y+Y-X-X-YG01xy+X+Y+Y-X-X-Y-Y+X從表23可以看出，對(duì)于直線（G01）來說，按照第象限直線偏差計(jì)算公式得到的x和y脈沖，根據(jù)不同的象限，分配到機(jī)床不同坐標(biāo)（X，Y）的正負(fù)方向上。即若是第象限直線，則x應(yīng)發(fā)往+Y坐標(biāo)；若是第象限直線，則x應(yīng)發(fā)往 X坐標(biāo)，等等。由此表可以得到發(fā)往±X,±Y坐標(biāo)方向的脈沖分配邏輯式為      

26、60;                   +X=G02·y·+G01·x·+G02·x·+G03·x·                      &

27、#160;            +G03·y·+G01·y·                                 X

28、=G03·x·+G03·y·+G01·y·+G02·y·                      +G01·x·+G02·x·                

29、           +Y=G03·y·+G01·y·+G02·y·+G01·x·                              +G02·

30、;x·+G03·x·                               Y=G02·x·+G03·x·+G03·y·+G01·y·     

31、                        +G02·y·+G01·x·2逐點(diǎn)比較法的終點(diǎn)判別逐點(diǎn)比較法的終點(diǎn)判別方法大致有下列幾種：（1） 設(shè)置一個(gè)終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器JE，插補(bǔ)運(yùn)算開始前記入該程序x及y坐標(biāo)的加工總長（即x和y的位移總步數(shù)），在插補(bǔ)過程中，x或y向每走一步，就從總步數(shù)中減去1，直至JE中存數(shù)被減為零，表示到達(dá)終

32、點(diǎn)。這種方法，前例已作介紹。（2） 設(shè)置兩個(gè)計(jì)數(shù)器JEX及JEY，分別控制兩個(gè)坐標(biāo)軸的加工長度。若沿x軸移動(dòng)一步，從JEX中減1；同樣，若沿y軸移動(dòng)一步，從JEY中減1。當(dāng)JEX及JEY中存數(shù)均被減為零時(shí)，表示到達(dá)終點(diǎn)。（3） 設(shè)置一個(gè)終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器JE，插補(bǔ)運(yùn)算開始前記入該程序x坐標(biāo)軸（或y軸）上的投影加工總長度Ex（或Ey）應(yīng)選取Ex和Ey中較大的坐標(biāo)值作為終點(diǎn)判別坐標(biāo)。在插補(bǔ)過程中，若JE中寄存的是Ex，則每當(dāng)沿x軸走一步，即從JE存數(shù)中減去1（若JE中寄存Ey，則每當(dāng)沿y軸走一步，即從JE中減去1），直至JE存數(shù)被減為零，表示到達(dá)終點(diǎn)。逐點(diǎn)比較法除能插補(bǔ)直線和圓弧之外，還能插補(bǔ)橢圓、拋

33、物線和雙曲線等二次曲線。此法進(jìn)給速度平穩(wěn)，精度較高，無論是在普通NC系統(tǒng)還是在CNC系統(tǒng)中都有著非常廣泛的應(yīng)用。下面就來分析逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)時(shí)的進(jìn)給速度問題。四、逐點(diǎn)比較法的合成進(jìn)給速度 從前面的討論知道，插補(bǔ)器向各個(gè)坐標(biāo)分配進(jìn)給脈沖，這些脈沖造成坐標(biāo)的移動(dòng)。因此，對(duì)于某一坐標(biāo)而言，進(jìn)給脈沖的頻率就決定了進(jìn)給速度。以 坐標(biāo)為例，設(shè) 為以“脈沖/s”表示的脈沖頻率， 為以“mm/min”表示的進(jìn)給速度，它們有如下的比例關(guān)系：式中為脈沖當(dāng)量，以“mm/脈沖”表示。各個(gè)坐標(biāo)進(jìn)給速度的合成線速度稱為合成進(jìn)給速度或插補(bǔ)速度。對(duì)三坐標(biāo)系統(tǒng)來說，合成進(jìn)給速度 為式中 分別為 ， ， 三個(gè)方向的進(jìn)給速度。合成進(jìn)

34、給速度直接決定了加工時(shí)的粗糙度和精度。我們希望在插補(bǔ)過程中，合成進(jìn)給速度恒等于指令進(jìn)給速度或只在允許的范圍內(nèi)變化。但是實(shí)際上，合成進(jìn)給速度 與插補(bǔ)計(jì)算方法、脈沖源頻率及程序段的形式和尺寸都有關(guān)系。也就是說，不同的脈沖分配方式，指令進(jìn)給速度 和合成進(jìn)給速度 之間的換算關(guān)系各不相同。現(xiàn)在，我們來計(jì)算逐點(diǎn)比較法的合成進(jìn)給速度。    我們知道，逐點(diǎn)比較法的特點(diǎn)是脈沖源每產(chǎn)生一個(gè)脈沖，不是發(fā)向 軸（ ），就是發(fā)向 軸（ ）。令 為脈沖源頻率，單位為“個(gè)脈沖/s”，則有 從而 和 方向的進(jìn)給速度 和 （單位為mm/min）分別為 合成進(jìn)給速度 為 當(dāng) （或 ）時(shí)，也就是進(jìn)給

35、脈沖按平行于坐標(biāo)軸的方向分配時(shí)有最大速度，這個(gè)速度由脈沖源頻率決定，所以稱其為脈沖源速度 （實(shí)質(zhì)是指循環(huán)節(jié)拍的頻率，單位為mm/min）。合成進(jìn)給速度 與 之比為 其插補(bǔ)速度 的變化范圍為 ，最大速度與最小速度之比為這樣的速度變化范圍，對(duì)一般機(jī)床來說已可滿足要求，所以逐點(diǎn)比較法的進(jìn)給速度是較平穩(wěn)的。§23  數(shù)字積分法一、 DDA的基本原理由高等數(shù)學(xué)可知，求函數(shù) 對(duì) 的積分運(yùn)算，從幾何概念上講，就是求此函數(shù)曲線 所包圍的面積 （圖27），即             

36、           若把自變量的積分區(qū)間 , 等分成許多有限的小區(qū)間 （其中 ），這樣，求面積可以轉(zhuǎn)化成求有限個(gè)小區(qū)間面積之和，即數(shù)字運(yùn)算時(shí)，t一般取最小單位“1”，即一個(gè)脈沖當(dāng)量，則     由此可見，函數(shù)的積分運(yùn)算變成了變量的求和運(yùn)算。當(dāng)所選取的積分間隔t足夠小時(shí)，則用求和運(yùn)算代替求積運(yùn)算所引起的誤差可以不超過允許的值。 二、 DDA直線插補(bǔ)設(shè)我們要對(duì) 平面上的直線進(jìn)行脈沖分配，直線起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) ，終點(diǎn)為 ，如圖2-8所示。圖2-8 合成速度與分速度的關(guān)系假

37、定 和 分別表示動(dòng)點(diǎn)在 和 方向的移動(dòng)速度，則在 和 方向上的移動(dòng)距離微小增量 和 應(yīng)為               （25）對(duì)直線函數(shù)來說， 和 是常數(shù)，則下式成立： （26）式中K為比例系數(shù)。在t時(shí)間內(nèi)，x和y位移增量的參數(shù)方程為 （27）動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)走向終點(diǎn)的過程，可以看作是各坐標(biāo)每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間間隔t分別以增量 和 同時(shí)累加的結(jié)果。經(jīng)過m次累加后，x和y分別都到達(dá)終點(diǎn) ，即下式成立： （28）則 或 （29） 上式表明，比例系數(shù)K和累加次數(shù) 的關(guān)系是互為倒數(shù)

38、。因?yàn)閙必須是整數(shù)，所以 一定是小數(shù)。在選取K時(shí)主要考慮每次增量 或 不大于1，以保證坐標(biāo)軸上每次分配進(jìn)給脈沖不超過一個(gè)單位步距，即= <1= <1式中 和 的最大容許值受控制機(jī)的位數(shù)及用幾個(gè)字節(jié)存儲(chǔ)坐標(biāo)值所限制。如用TP801（Z80）單板機(jī)作控制機(jī)，用兩個(gè)字節(jié)存儲(chǔ)坐標(biāo)值，因該單板機(jī)為8位機(jī)，故 和 的最大容許寄存容量為216-1=65 535。為滿足 <1及 <1的條件，即= （216-1）<1= （216-1）<1則 如果取 ，則 ，即滿足 <1的條件。這時(shí)累加次數(shù)為 次一般情況下，若假定寄存器是n位，則 和 的最大允許寄存容量應(yīng)為2n-1（各位

39、全1時(shí)），若取 則 顯然，由上式?jīng)Q定的Kxe和Kye是小于1的，這樣，不僅決定了系數(shù) ，而且保證了x和y小于1的條件。因此，刀具從原點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)的累加次數(shù)m就有當(dāng) 時(shí)，對(duì)二進(jìn)制數(shù)來說， 與 的差別只在于小數(shù)點(diǎn)的位置不同，將 的小數(shù)點(diǎn)左移n位即為 。因此在n位的內(nèi)存中存放 （ 為整數(shù)）和存放 的數(shù)字是相同的，只是認(rèn)為后者的小數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)在最高位數(shù)n的前面。當(dāng)用軟件來實(shí)現(xiàn)數(shù)字積分法直線插補(bǔ)時(shí)，只要在內(nèi)存中設(shè)定幾個(gè)單元，分別用于存放 及其累加值 和 及其累加值 。將 和 賦一初始值，在每次插補(bǔ)循環(huán)過程中，進(jìn)行以下求和運(yùn)算：+ + 將運(yùn)算結(jié)果的溢出脈沖x和y用來控制機(jī)床進(jìn)給，就可走出所需的直線軌跡。綜上所述

40、，可以得到下述結(jié)論：數(shù)字積分法插補(bǔ)器的關(guān)鍵部件是累加器和被積函數(shù)寄存器，每一個(gè)坐標(biāo)方向就需要一個(gè)累加器和一個(gè)被積函數(shù)寄存器。一般情況下，插補(bǔ)開始前，累加器清零，被積函數(shù)寄存器分別寄存 和 ；插補(bǔ)開始后，每來一個(gè)累加脈沖 ，被積函數(shù)寄存器里的內(nèi)容在相應(yīng)的累加器中相加一次，相加后的溢出作為驅(qū)動(dòng)相應(yīng)坐標(biāo)軸的進(jìn)給脈沖 （或 ），而余數(shù)仍寄存在累加器中；當(dāng)脈沖源發(fā)出的累加脈沖數(shù)m恰好等于被積函數(shù)寄存器的容量2n時(shí)，溢出的脈沖數(shù)等于以脈沖當(dāng)量為最小單位的終點(diǎn)坐標(biāo)，刀具運(yùn)行到終點(diǎn)。數(shù)字積分法插補(bǔ)第象限直線的程序流程圖如圖2-11所示。圖2-11 DDA直線插補(bǔ)流程圖    下面

41、舉例說明DDA直線插補(bǔ)過程。設(shè)要插補(bǔ)圖212所示的直線軌跡OA，起點(diǎn)坐標(biāo)為 （0，0），終點(diǎn)坐標(biāo)為 （7，10）。若被積函數(shù)寄存器Jvx和Jvy，余數(shù)寄存器 JRx和JRy，以及終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器JE均為四位二進(jìn)制寄存器，則迭代次數(shù)為m=24=16次時(shí)插補(bǔ)完成。在插補(bǔ)前，JE，JRx，JRy均為零，Jvx和Jvy分別存放 =7（即二進(jìn)制的0111）， =10（即二進(jìn)制的1010）。在直線插補(bǔ)過程中Jvx和Jvy中的數(shù)值始終為 和 保持不變。本例的具體軌跡如圖2-12中的折線所示，由此可見，經(jīng)過16次迭代之后， 和 坐標(biāo)分別有7個(gè)和10個(gè)脈沖輸出。直線插補(bǔ)軌跡與理論曲線的最大誤差不超過1個(gè)脈沖當(dāng)量。

42、圖2-13   DDA直線插補(bǔ)過程三、 DDA圓弧插補(bǔ)以第象限逆圓為例，設(shè)刀具沿圓弧移動(dòng)，半徑為R，刀具的切向速度為 , 為動(dòng)點(diǎn)（如圖213），圖2-13 DDA圓弧插補(bǔ)則有下述關(guān)系：式中 為比例常數(shù)。因?yàn)榘霃?為常數(shù)，切向速度 為勻速，所以 可認(rèn)為是常數(shù)。在單位時(shí)間增量 內(nèi)， 和 位移增量的參量方程可表示為               （210）          

43、 （211）                             點(diǎn)擊進(jìn)入動(dòng)畫觀看DDA圓弧插補(bǔ) 根據(jù)此兩式，仿照直線插補(bǔ)方案用兩個(gè)積分器來實(shí)現(xiàn)圓弧插補(bǔ)，如圖214（a）所示。圖中系數(shù)K的省略原因和直線時(shí)類同。但必須指出：第一，坐標(biāo)值 和 存入寄存器Jvx和Jvy的對(duì)應(yīng)關(guān)系與直線不同，恰好位置互調(diào)，即 存入Jvx，而x存入J

44、vy中。第二，Jvx和Jvy寄存器中寄存的數(shù)值與直線插補(bǔ)時(shí)還有一個(gè)本質(zhì)的區(qū)別：直線插補(bǔ)時(shí)Jvx（或Jvy）寄存的是終點(diǎn)坐標(biāo)xe（或ye），是個(gè)常數(shù)；而在圓弧插補(bǔ)時(shí)寄存的是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，是個(gè)變量。因此在刀具移動(dòng)過程中必須根據(jù)刀具位置的變化來更改速度寄存器Jvx和Jvy中的內(nèi)容。在起點(diǎn)時(shí)，Jvx和Jvy分別寄存起點(diǎn)坐標(biāo)值y0和x0；在插補(bǔ)過程中，JRy每溢出一個(gè) 脈沖，Jvx寄存器應(yīng)該加“1”；反之，當(dāng)JRx溢出一個(gè) 脈沖時(shí)，Jvy應(yīng)該減“1”。減“1”的原因是刀具在作逆圓運(yùn)動(dòng)時(shí) 坐標(biāo)須作負(fù)方向進(jìn)給，動(dòng)坐標(biāo)不斷減少。圖214中用 及表示修改動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)這種加“1”或減“1”的關(guān)系。圖214（b）為第象限

45、逆時(shí)針走向的圓弧插補(bǔ)的數(shù)字積分器符號(hào)表示圖。 圖214  DDA圓弧插補(bǔ)運(yùn)算框圖及符號(hào)圖對(duì)于順圓、逆圓及其他象限的插補(bǔ)運(yùn)算過程和積分器結(jié)構(gòu)基本上與第象限逆圓是一致的。其不同在于，控制各坐標(biāo)軸的 和 的進(jìn)給方向不同，以及修改Jvx和Jvy內(nèi)容時(shí)是 還是，要由 和 坐標(biāo)的增減而定，見表25。表2-5 DDA圓弧插補(bǔ)時(shí)的坐標(biāo)修改情況SR1SR2SR3SR4NR1NR2NR3NR4Jvx（y）一 + 一 + + 一 + 一 Jvy（x）+ 一 + 一 一 一 + + x+-+y-+-+-+DDA圓弧插補(bǔ)的終點(diǎn)判別可以利用兩個(gè)終點(diǎn)減法計(jì)數(shù)器，把 和 坐標(biāo)所需輸出的脈沖數(shù)| |和| |分別存入這

46、兩個(gè)計(jì)數(shù)器中， 或 積分器每輸出一個(gè)脈沖，相應(yīng)的減法計(jì)數(shù)器減1，當(dāng)某一坐標(biāo)計(jì)數(shù)器為零時(shí)，說明該坐標(biāo)已到達(dá)終點(diǎn)，這時(shí)，該坐標(biāo)停止迭代。當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)器均為零時(shí)，圓弧插補(bǔ)結(jié)束。下面舉一個(gè)DDA圓弧插補(bǔ)的具體例子。設(shè)有一個(gè)圓弧，起點(diǎn)為 （5,0），終點(diǎn)為 （0，5），即 和 見圖215。 圖2-15 DDA圓弧插補(bǔ)軌跡  圖2-16 DDA圓弧插補(bǔ)過程四、 改進(jìn)DDA插補(bǔ)質(zhì)量的措施使用DDA法插補(bǔ)時(shí)，其插補(bǔ)進(jìn)給速度 不僅與系統(tǒng)的迭代頻率 （即脈沖源頻率）成正比，而且還與余數(shù)寄存器的容量 成反比，與直線段的長度 （或圓弧半徑 ）成正比。它們之間有下述關(guān)系成立： （2-12） 式中 插補(bǔ)

47、進(jìn)給速度；           系統(tǒng)脈沖當(dāng)量；         L 直線段的長度；         N寄存器的容量；         迭代頻率。顯然，即使編制同樣大小的速度指令，但針對(duì)不同長度的直線段，其進(jìn)給速度是變化的（假設(shè) 和 為固定），必須設(shè)法加以改善。常用的改善方法是左移

48、規(guī)格化和進(jìn)給速率編程（FRN）。由上面DDA圓弧插補(bǔ)例子可以看出，當(dāng)插補(bǔ)第象限逆圓時(shí)， 坐標(biāo)率先到達(dá)。這時(shí)若不強(qiáng)制 方向停止迭代，將會(huì)出現(xiàn)超差，不能到達(dá)正確的終點(diǎn)。為了改善這一情況，常用余數(shù)寄存器預(yù)置數(shù)的辦法來解決。以下就來討論使DDA法從原理走向?qū)嵱帽仨毥鉀Q的速度和精度控制問題。1進(jìn)給速度的均勻化措施左移規(guī)格化從上述可知，數(shù)字積分器溢出脈沖的頻率與被積函數(shù)寄存器中的存數(shù)成正比。如用DDA作直線插補(bǔ)時(shí)，每個(gè)程序段的時(shí)間間隔是固定不變的，因?yàn)椴徽摷庸ば谐涕L短，都必須同樣完成 次的累加運(yùn)算。就是說行程長，走刀快；行程短，走刀慢。所以各程序段的進(jìn)給速度是不一致的。這樣影響了加工的表面質(zhì)量，特別是行程

49、短的程序段生產(chǎn)率低。為了克服這一缺點(diǎn)，使溢出脈沖均勻，溢出速度提高，通常采用左移規(guī)格化處理。所謂“左移規(guī)格化”處理，是當(dāng)被積函數(shù)的值比較小時(shí)，如被積函數(shù)寄存器有 個(gè)前零時(shí)，若直接迭代，那么至少需要2i次迭代，才能輸出一個(gè)溢出脈沖，致使輸出脈沖的速率下降。因此在實(shí)際的數(shù)字積分器中，需把被積函數(shù)寄存器中的前零移去即對(duì)被積函數(shù)實(shí)現(xiàn)“左移規(guī)格化”處理。經(jīng)過左移規(guī)格化的數(shù)就成為規(guī)格化數(shù)寄存器中的數(shù)其最高位為“1”時(shí)，該數(shù)即稱為規(guī)格化數(shù)；反之最高位為“0”的數(shù)稱為非規(guī)格化數(shù)。顯然，規(guī)格化數(shù)累加兩次必有一次溢出，而非規(guī)格化數(shù)必須作兩次以上或多次累加才有一次溢出。2提高插補(bǔ)精度的措施余數(shù)寄存器預(yù)置數(shù)前已述及，

50、DDA直線插補(bǔ)的插補(bǔ)誤差小于一個(gè)脈沖當(dāng)量，但是DDA圓弧插補(bǔ)的插補(bǔ)誤差有可能大于一個(gè)脈沖當(dāng)量，其原因是這樣的：由于數(shù)字積分器溢出脈沖的頻率與被積函數(shù)寄存器的存數(shù)成正比，當(dāng)在坐標(biāo)軸附近進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)，一個(gè)積分器的被積函數(shù)值接近于零，而另一個(gè)積分器的被積函數(shù)值卻接近最大值（圓弧半徑），這樣，后者可能連續(xù)溢出，而前者幾乎沒有溢出，兩個(gè)積分器的溢出脈沖速率相差很大，致使插補(bǔ)軌跡偏離理論曲線（見圖25）。為了減小插補(bǔ)誤差，提高插補(bǔ)精度，可以把積分器的位數(shù)增多，從而增加迭代次數(shù)。這相當(dāng)于把圖27矩形積分的小區(qū)間t取得更小。這樣做可以減小插補(bǔ)誤差，但是進(jìn)給速度卻降低了，所以我們不能無限制地增加寄存器的位數(shù)。在實(shí)

51、際的積分器中，常常應(yīng)用一種簡便而行之有效的方法余數(shù)寄存器預(yù)置數(shù)。即在DDA插補(bǔ)之前，余數(shù)寄存器JRx和JRy預(yù)置某一數(shù)值（不是零），這一數(shù)值可以是最大容量，即2n-1，也可以是小于最大容量的某一個(gè)數(shù)，如2n/2，常用的則是預(yù)置最大容量值（稱為置滿數(shù)或全加載）和預(yù)置0.5（稱為半加載）兩種。“半加載”是在DDA迭代前，余數(shù)寄存器JRx和JRy的初值不是置零，而是置1000000（即0.5），也就是說，把余數(shù)寄存器JRx和JRy的最高有效位置“1”，其余各位均置“0”，這樣，只要再疊加0.5，余數(shù)寄存器就可以產(chǎn)生第一個(gè)溢出脈沖，使積分器提前溢出。這在被積函數(shù)較小，遲遲不能產(chǎn)生溢出的情況時(shí)，有很大的

52、實(shí)際意義，因?yàn)樗纳屏艘绯雒}沖的時(shí)間分布，減小了插補(bǔ)誤差。“半加載”可以使直線插補(bǔ)的誤差減小到半個(gè)脈沖當(dāng)量以內(nèi)，一個(gè)顯而易見的例子是：若直線OA的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)坐標(biāo)是A（15，1），沒有“半加載”時(shí)，x積分器除第一次迭代沒有溢出外，其余15次迭代均有溢出；而y積分器只有在第16次迭代時(shí)才有溢出脈沖（見圖217（a）。若進(jìn)行了“半加載”，則x積分器除第9次迭代沒有溢出外，其余15次均有溢出；而y積分器的溢出提前到第8次迭代有溢出，這就改善了溢出脈沖的時(shí)間分布，提高了插補(bǔ)精度（見圖217（a）。 圖2-17 “半加載”后的軌跡“半加載”使圓弧插補(bǔ)的精度得到明顯改善。若對(duì)圖217（b）的例子進(jìn)

53、行“半加載”，其插補(bǔ)軌跡如圖中的折線所示，插補(bǔ)過程見表27。仔細(xì)比較后可以發(fā)現(xiàn)，“半加載”使x積分器的溢出脈沖提前了，從而提高了插補(bǔ)精度。所謂“全加載”，是在DDA迭代前將余數(shù)寄存器JRx 和JRy的初值置成該寄存器的最大容量值（當(dāng)為n位時(shí)，即置入2n-1），這會(huì)使得被積函數(shù)值很小的坐標(biāo)積分器提早產(chǎn)生溢出，插補(bǔ)精度得到明顯改善。圖2-18 “全加載”后的實(shí)際軌跡點(diǎn)擊進(jìn)入動(dòng)畫觀看半加載,全加載DDA圓弧插補(bǔ)圖218是使用“全加載”的方法得到的插補(bǔ)軌跡，由于被積函數(shù)寄存器和余數(shù)寄存器均為三位，置入最大數(shù)為7（111）。五、 其他函數(shù)的DDA插補(bǔ)運(yùn)算為方便起見，現(xiàn)將各種積分單元符號(hào)重畫于圖219，其

54、中增量 ， ， 直接寫成了它們的微分形式 , , ，這里所列的各種單元都可由先前的積分器基本線路演化得到。 圖219 積分器符號(hào)圖對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程經(jīng)微分并整理后可得 （2-13）其框圖如圖2-20（a）所示。對(duì)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 經(jīng)微分并整理后可得 （2-14）其框圖如圖220（b）所示。圖220 其他函數(shù)積分器符號(hào)圖（a）橢圓    （b）雙曲線    （c）拋物線拋物線拋物線的方程為經(jīng)微分并整理可得 （215）其框圖如圖220（c）所示。§24  數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法前面幾節(jié)介紹的逐點(diǎn)比較法、數(shù)字脈沖乘法器法和數(shù)字積

55、分法插補(bǔ)方法，都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是插補(bǔ)計(jì)算的結(jié)果是以一個(gè)一個(gè)脈沖的方式輸出給伺服系統(tǒng)，或者說產(chǎn)生的是單個(gè)的行程增量，因而統(tǒng)稱為脈沖增量插補(bǔ)法或基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)法，這種方法既可用于CNC系統(tǒng)，又常見于NC系統(tǒng)，尤其適于以步進(jìn)電機(jī)為伺服元件的數(shù)控系統(tǒng)。在CNC系統(tǒng)中較廣泛采用的另一種插補(bǔ)計(jì)算方法即所謂數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)法，或稱為時(shí)間分割法。它尤其適合于閉環(huán)和半閉環(huán)以直流或交流電機(jī)為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的位置采樣控制系統(tǒng)。這種方法是把加工一段直線或圓弧的整段時(shí)間細(xì)分為許多相等的時(shí)間間隔，稱為單位時(shí)間間隔（或插補(bǔ)周期）。每經(jīng)過一個(gè)單位時(shí)間間隔就進(jìn)行一次插補(bǔ)計(jì)算，算出在這一時(shí)間間隔內(nèi)各坐標(biāo)軸的進(jìn)給量，邊計(jì)算，邊加工，直至

56、加工終點(diǎn)。與基準(zhǔn)脈沖插補(bǔ)法不同，采用數(shù)據(jù)采樣法插補(bǔ)時(shí)，在加工某一直線段或圓弧段的加工指令中必須給出加工進(jìn)給速度v，先通過速度計(jì)算，將進(jìn)給速度分割成單位時(shí)間間隔的插補(bǔ)進(jìn)給量（或稱為輪廓步長），又稱為一次插補(bǔ)進(jìn)給量。例如，在FANUC 7M系統(tǒng)中，取插補(bǔ)周期為8 ms，若v的單位取mm/min，的單位取/8 ms，則一次插補(bǔ)進(jìn)給量 可用下列數(shù)值方程計(jì)算： 按上式計(jì)算出一次插補(bǔ)進(jìn)給量 后，根據(jù)刀具運(yùn)動(dòng)軌跡與各坐標(biāo)軸的幾何關(guān)系， 就可求出各軸在一個(gè)插補(bǔ)周期內(nèi)的插補(bǔ)進(jìn)給量，按時(shí)間間隔（如8 ms）以增量形式給各軸送出一個(gè)一個(gè)插補(bǔ)增量，通過驅(qū)動(dòng)部分使機(jī)床完成預(yù)定軌跡的加工。由上述分析可知，這類算法的核心問

57、題是如何計(jì)算各坐標(biāo)軸的增長數(shù) 或 （而不是單個(gè)脈沖），有了前一插補(bǔ)周期末的動(dòng)點(diǎn)位置值和本次插補(bǔ)周期內(nèi)的坐標(biāo)增長段，就很容易計(jì)算出本插補(bǔ)周期末的動(dòng)點(diǎn)命令位置坐標(biāo)值。對(duì)于直線插補(bǔ)來講，插補(bǔ)所形成的輪廓步長子線段（即增長段）與給定的直線重合，不會(huì)造成軌跡誤差。而在圓弧插補(bǔ)中，因要用切線或弦線來逼近圓弧，因而不可避免地會(huì)帶來輪廓誤差。其中切線近似具有較大的輪廓誤差而不大采用，常用的是弦線逼近法。有時(shí)，數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)是分兩步完成的，即粗插補(bǔ)和精插補(bǔ)。第一步為粗插補(bǔ)，它是在給定起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線之間插入若干個(gè)點(diǎn)，即用若干條微小直線段來逼近給定曲線，粗插補(bǔ)在每個(gè)插補(bǔ)計(jì)算周期中計(jì)算一次。第二步為精插補(bǔ)，它是在粗插

58、補(bǔ)計(jì)算出的每一條微小直線段上再做“數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化”工作，這一步相當(dāng)于對(duì)直線的脈沖增量插補(bǔ)。目前常用的數(shù)據(jù)采樣方法有兩種，分別出自于FANUC 7M和A-B公司的7360系統(tǒng)。在7M系統(tǒng)中，插補(bǔ)周期為8 ms，位置反饋采樣周期為4 ms，即插補(bǔ)周期為位置采樣周期的2倍，它以內(nèi)接弦進(jìn)給代替圓弧插補(bǔ)中的弧線進(jìn)給。在A-B公司的7300系列中，插補(bǔ)周期與位置反饋采樣周期相同，插補(bǔ)算法為擴(kuò)展DDA算法。下面分別介紹這兩種系統(tǒng)的時(shí)間分割插補(bǔ)算法。一、7M系統(tǒng)中采用的時(shí)間分割法1直線插補(bǔ)設(shè)要求刀具在平面中作如圖2-28所示的直線運(yùn)動(dòng)。在這一程序段中，x和y軸的位移增量分別為和。插補(bǔ)時(shí)，取增量大的作長軸，小的為

59、短軸，要求x和y軸的速度保持一定的比例，且同時(shí)終點(diǎn)。 設(shè)刀具移動(dòng)方向與長軸夾角為， 為一次插補(bǔ)的進(jìn)給步長。根據(jù)程序段所提供的終點(diǎn)坐標(biāo)（，），可以確定出圖2-28 時(shí)間分割法直線插補(bǔ) 和 從而求得本次插補(bǔ)周期內(nèi)長軸的插補(bǔ)進(jìn)給量為 （2-17）導(dǎo)出其短軸的進(jìn)給量為 （2-18）2圓弧插補(bǔ) 如圖229所示，順圓弧為待加工曲線，下面推導(dǎo)其插補(bǔ)公式。在順圓弧上的點(diǎn)是繼點(diǎn)之后的插補(bǔ)瞬時(shí)點(diǎn)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，。所謂插補(bǔ)，在這里是指由點(diǎn)求出下一點(diǎn) ，實(shí)質(zhì)上是求在一次插補(bǔ)周期的時(shí)間內(nèi)，x軸和y軸的進(jìn)給量和。圖中的弦正是圓弧插補(bǔ)時(shí)每個(gè)周期的進(jìn)給步長，是點(diǎn)的圓弧切線，是弦的中點(diǎn)。顯然，是的中點(diǎn)，而。由此，圓心角具有

60、下列關(guān)系： （2-19）圖2-29時(shí)間分割法圓弧插補(bǔ)點(diǎn)擊進(jìn)入動(dòng)畫觀看時(shí)間分割法圓弧插補(bǔ)式中為進(jìn)給步長所對(duì)應(yīng)的角增量，稱為角步距。由于 所以         =顯然       因此 在MOD中 將 = ； =；代入上式，則有 （2-20）因?yàn)?而 ; 又可以推出和，和的關(guān)系式： （2-21）上式充分反映了圓弧上任意相鄰兩點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系。只要找到計(jì)算和 的恰當(dāng)方法，就可以按下式求出新的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)： （2-22） 所以，關(guān)鍵是求解出和。事實(shí)上，只要求出tg

61、值，根據(jù)函數(shù)關(guān)系便可求得，值，進(jìn)而求得，值。由于式（2-20）中的sin和cos均為未知數(shù)，要直接算出tg 很困難。7M系統(tǒng)采用的是一種近似算法，即以cos45°和sin45°來代替cos 和sin ，先求出 （2-23） 再由關(guān)系式 （2-24） 進(jìn)而求得 （2-25）由式（2-23）、（2-24）、（2-25）求出本周期的位移增量后，將其與已知的坐標(biāo)值xi，yi代入式（2-21），即可求得值。在這種算法中，以弦進(jìn)給代替弧進(jìn)給是造成徑向誤差的主要原因。二、 7360系統(tǒng)中采用的時(shí)間分割法美國AB公司的7360 CNC系統(tǒng)采用了擴(kuò)展的DDA采樣插補(bǔ)算法，系統(tǒng)的插補(bǔ)周期與位置反饋采樣周期相同，均為10.24 ms，通過10.24 ms的實(shí)時(shí)時(shí)鐘中斷來實(shí)現(xiàn)。  圖2-30 擴(kuò)展DDA直線插補(bǔ)1.擴(kuò)展DDA直線插補(bǔ)假設(shè)根據(jù)編程的進(jìn)給速度，要在時(shí)間段T內(nèi)走完圖2-30所示的直線段OE，終點(diǎn)為E（,），起點(diǎn)在原