1、.本 科 畢 業(yè) 設(shè) 計(jì) (論 文)無(wú)限長(zhǎng)帶通濾波器Infinite bandpass filter無(wú)限長(zhǎng)帶通濾波器設(shè)計(jì)摘要本文分別研究了在MATLAB環(huán)境下IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法及實(shí)現(xiàn)方法，并進(jìn)行圖形用戶界面設(shè)計(jì)，以顯示本文所介紹濾波器的特性。在無(wú)限脈沖響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中，先進(jìn)行模擬濾波器的設(shè)計(jì)，然后進(jìn)行模擬-數(shù)字濾波器轉(zhuǎn)換，即采用脈沖響應(yīng)不變法及雙線性Z變化法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，最后進(jìn)行濾波器的頻帶轉(zhuǎn)換。為方便分析者直觀，形象，方便的分析濾波器的特性，創(chuàng)新的設(shè)計(jì)出了圖形用戶界面濾波器分析系統(tǒng)。整個(gè)系統(tǒng)分為兩個(gè)界面，其內(nèi)容主要包含四部分：System(系統(tǒng))、Analysis(分

2、析)、Tool(工具)、Help(幫助)。關(guān)鍵詞：數(shù)字濾波器、MATLAB、無(wú)限脈沖響應(yīng)、有限脈沖響應(yīng)、圖形用戶界面Infinite bandpass filterAbstractIn this thesis, designs of the Infinite Impulse Response digital filter (IIR) under MATLAB are studied. And the Graphical User Interfaces (GUI) to analysis the characteristics of filter is designed. The design

3、of IIR filters can be achieved through three steps: firstly, the design of analog low-pass filter; secondly, it is analog-to-digital filter conversion; lastly, it is the conversion of filter frequency band. In design of FIR filters, We design the Graphical User Interfaces (GUI) of the digital filter

4、 analysis system makes sure of people can analysis the characteristics of the design directly and easily. The whole system divide into two graphical interfaces, it contains four parts: System, Analysis, Tool and Help.Keywords:Digital Filter, MATLAB,IIR, Graphical User Interfaces 目錄1 緒論12 IIR濾波器設(shè)計(jì)Y2.

5、1 模擬濾波器設(shè)計(jì)Y2.2 巴特沃斯濾波器Y2.3切比雪夫?yàn)V波器Y3 ×××××Y（略）X ×××××Y結(jié)論 Y致謝 Y參考文獻(xiàn)Y附錄Y1 緒論1.1 數(shù)字濾波技術(shù)數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理的重要基礎(chǔ)，數(shù)字信號(hào)處理主要是研究用數(shù)字或符號(hào)的序列來(lái)表示信號(hào)波形，并用數(shù)字的方式去處理這些序列，把它們改變成在某種意義上更希望的形式，以便估計(jì)信號(hào)的特征參量，或削弱信號(hào)中的多余分量和增強(qiáng)信號(hào)中的有用分量。數(shù)字濾波器在對(duì)信號(hào)的過(guò)濾、檢測(cè)與參數(shù)估計(jì)等處理過(guò)程中，是使用最為廣泛的一種線性系統(tǒng)。數(shù)字濾波器（Digita

6、l Filter，簡(jiǎn)稱為DF）是指完成信號(hào)濾波處理功能的、用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的離散時(shí)間線性非時(shí)變系統(tǒng)。數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)運(yùn)算通常有兩種實(shí)現(xiàn)方式。一種是頻域法，即利用FFT快速運(yùn)算辦法對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行離散傅立葉變換，分析其頻譜，然后根據(jù)希望的頻率特性進(jìn)行濾波，再利用傅立葉反變換恢復(fù)出時(shí)域信號(hào)。這種方法具有較好的頻域選擇特性和靈活性，并且由于信號(hào)頻率與所希望的頻譜特性是簡(jiǎn)單的相乘關(guān)系，所以它比計(jì)算等價(jià)的時(shí)域卷積要快得多。另一種方法是時(shí)域法，這種方法是通過(guò)對(duì)離散抽樣數(shù)據(jù)作差分?jǐn)?shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)達(dá)到濾波目的的。數(shù)字濾波器的輸入是一組（由模擬信號(hào)取樣和量化的）數(shù)字量，其輸出是經(jīng)過(guò)數(shù)字變換的另一組數(shù)字量。數(shù)字濾波器具

7、有穩(wěn)定性高、精度高、靈活性大等突出優(yōu)點(diǎn)。隨著數(shù)字技術(shù)的發(fā)展，用數(shù)字技術(shù)實(shí)現(xiàn)濾波器的功能愈來(lái)愈受到人們的重視，并得到了廣泛的應(yīng)用。數(shù)字信號(hào)處理學(xué)科的一項(xiàng)重大進(jìn)展是關(guān)于數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法的研究。60年代中期，開始形成關(guān)于數(shù)字濾波器的一套完整的正規(guī)理論。這一時(shí)期，提出了各種各樣的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)，有的以運(yùn)算誤差最小為特點(diǎn)，有的則以運(yùn)算速度高見(jiàn)長(zhǎng)；出現(xiàn)了數(shù)字濾波器的各種逼近方法和實(shí)現(xiàn)方法，對(duì)遞歸和非遞歸兩類濾波器作了全面的比較；統(tǒng)一了數(shù)字濾波器的基本概念和理論，對(duì)有限沖激響應(yīng)（IIR）和無(wú)限沖激響應(yīng)（FIR）的認(rèn)識(shí)有了完整理論。70年代后，科學(xué)技術(shù)蓬勃發(fā)展，數(shù)字信號(hào)處理開始與大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路技術(shù)

8、、微處理技術(shù)等新工藝新技術(shù)結(jié)合起來(lái)，并引進(jìn)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法，大大豐富了數(shù)字濾波器的分析與設(shè)計(jì)，各種新的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，也都能用專用數(shù)字硬件實(shí)時(shí)加以實(shí)現(xiàn)。相信在未來(lái)，隨著電子儀器與電子技術(shù)應(yīng)用系統(tǒng)朝著數(shù)字化、小型化、自動(dòng)化以及多功能化等方向發(fā)展，包括數(shù)字濾波器在內(nèi)的數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)會(huì)有以驚人的速度進(jìn)行飛躍式發(fā)展。1.1.1 濾波器原理濾波器，顧名思義，其作用是對(duì)輸入信號(hào)起到濾波的作用。對(duì)于圖1-1所示的LSI系統(tǒng)，其時(shí)域輸入輸出關(guān)系為：(1-1)h (n)x(n)y(n) 圖1-1若y(n),x(n)的傅立葉變換存在，則輸入輸出的頻域關(guān)系是：(1-2)當(dāng)輸入信號(hào)x(n) 通過(guò)濾波器系統(tǒng)h(n

9、) 后，其輸出 y(n) 中不再含有|>c的頻率成分，僅使|<c的信號(hào)成分通過(guò)。因此，濾波器的形狀不同，其濾波后的信號(hào)結(jié)果也不一樣。若濾波器的輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，那么該濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n)也必然是離散的，這種濾波器稱為數(shù)字濾波器（DF，Digital Filter）。當(dāng)用硬件實(shí)現(xiàn)一個(gè)DF時(shí)，所需元件是延遲器、乘法器和加法器；而利用MATLAB軟件時(shí)，它僅需線性卷積程序便可實(shí)現(xiàn)。而模擬濾波器（AF，Analog Filter）只能用硬件實(shí)現(xiàn)。因此DF比AF容易實(shí)現(xiàn)，且更容易獲得理想的濾波性能。數(shù)字濾波器還具有以下優(yōu)點(diǎn)：精度和穩(wěn)定性高；系統(tǒng)函數(shù)容易改變；靈活性高；不存在

10、阻抗匹配問(wèn)題；便于大規(guī)模集成；可實(shí)現(xiàn)多維濾波。1.1.2數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述數(shù)字濾波器從功能上分類：可以分為低通濾波器(LP，Low Pass)、高通濾波器(HP，High Pass)、帶通濾波器(BP，Band Pass)、帶阻濾波器(BS，Band Stop)。從濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類：如同模擬濾波器的性能可由g(t)和G(s)來(lái)表征一樣，數(shù)字濾波器的性能完全取決于h(n)和H(z)。因此，數(shù)字濾波器可以按照單位取樣響應(yīng)（或稱脈沖響應(yīng)，沖激響應(yīng)等）h(n)的性質(zhì)分為兩類：有限脈沖響應(yīng)(Finite Impulse Response)數(shù)字濾波器，簡(jiǎn)稱FIR數(shù)字濾波器，它的h

11、(n)序列長(zhǎng)度是有限的；無(wú)限脈沖響應(yīng)(Infinite Impulse Response)數(shù)字濾波器，簡(jiǎn)稱IIR數(shù)字濾波器，它的h(n)序列長(zhǎng)度是無(wú)限的，即當(dāng)時(shí)，h(n)仍有效。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，通常按下述步驟進(jìn)行：1、根據(jù)不同用途提出數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)、性能要求。2、設(shè)計(jì)一個(gè)穩(wěn)定的、因果的數(shù)學(xué)模型H(z)來(lái)逼近所要求的技術(shù)指標(biāo)，并用有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)。本文將重點(diǎn)介紹此步驟。3、設(shè)計(jì)專用的數(shù)字硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)這個(gè)數(shù)字模型，或者通過(guò)電子計(jì)算機(jī)運(yùn)行程序軟件予以實(shí)現(xiàn)。本文將側(cè)重于軟件實(shí)現(xiàn)。IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法很不相同：IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類，經(jīng)常用到的一類設(shè)計(jì)方法是

12、借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)思路是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)G(s)，然后將G(s)按某種方法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。這一類方法是基于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法相對(duì)比較成熟，它不僅有完整的設(shè)計(jì)公式，也有完整的圖標(biāo)供查閱，更可以直接調(diào)用MATLAB中的對(duì)應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。另一種是直接在頻域或者時(shí)域中進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)時(shí)必須使用計(jì)算機(jī)輔助，直接調(diào)用MATLAB中的程序或函數(shù)即可設(shè)計(jì)。FIR濾波器不能采用由模擬濾波器設(shè)計(jì)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的方法，而經(jīng)常使用的是窗函數(shù)法和頻率采樣法。也可以借助計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件采用切比雪夫等波紋逼近法進(jìn)行設(shè)計(jì)。1.2 MATLAB軟件簡(jiǎn)介MATLAB是英文Ma

13、trix Laboratory（矩陣實(shí)驗(yàn)室）的縮寫，它是由美國(guó)MathWorks公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的數(shù)學(xué)計(jì)算環(huán)境。在MATLAB環(huán)境下，用戶可以集成的進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。它優(yōu)秀的數(shù)值計(jì)算能力和卓越的數(shù)據(jù)可視化能力使其在同類軟件中脫穎而出。MATLAB系統(tǒng)最初由Cleve Moler用FORTRAN語(yǔ)言設(shè)計(jì)，現(xiàn)在的MATLAB程序是由MathWorks公司用C語(yǔ)言開發(fā)的。它的第一版（DOS版本1.0）發(fā)行于1984年，經(jīng)過(guò)多年的改進(jìn)，版本不斷升級(jí)，其所包含的工具箱功能也越來(lái)越豐富，應(yīng)用越廣泛。MATLAB語(yǔ)言之所以能如此迅速的普及，顯示出

14、如此旺盛的生命力，是由于它有著不同于其他語(yǔ)言的特點(diǎn)，歸納如下：1、簡(jiǎn)單易學(xué)：MATLAB不僅是一個(gè)開發(fā)軟件，也是一門編程語(yǔ)言。其語(yǔ)法規(guī)則與結(jié)構(gòu)化高級(jí)編程語(yǔ)言(如C語(yǔ)言等)XX小異，而且使用更為簡(jiǎn)便。用MATLAB編程寫程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問(wèn)題，所以被稱為演算紙式科學(xué)算法語(yǔ)言。2、計(jì)算功能強(qiáng)大：MATLAB擁有龐大的數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)及工程函數(shù)，可使用戶立刻實(shí)現(xiàn)所需的強(qiáng)大數(shù)學(xué)計(jì)算功能。由各領(lǐng)域的專家學(xué)者們開發(fā)的數(shù)值計(jì)算程序，使用了安全、成熟、可靠的算法，從而保證了最快的運(yùn)算速度和可靠的結(jié)果。此外，MATLAB還有數(shù)十個(gè)工具箱，可解決應(yīng)用中的大多數(shù)數(shù)學(xué)、工程問(wèn)題。3、先進(jìn)的可視化工具：MAT

15、LAB提供功能強(qiáng)大的、交互式的二維和三維繪圖功能，可使用戶創(chuàng)建富有表現(xiàn)力的彩色圖形。可視化工具包括曲面渲染、線框圖、偽彩圖、光源、圖像顯示、動(dòng)畫等。4、開放性、可擴(kuò)展性強(qiáng)：M文件是可見(jiàn)的MATLAB程序，所以用戶可以查看源代碼。開放的系統(tǒng)設(shè)計(jì)使用戶能夠檢查算法的正確性，修改已存在的函數(shù)，或者加入自己的新部件。5、特殊應(yīng)用工具箱：MATLAB的工具箱加強(qiáng)了對(duì)工程及科學(xué)中特殊應(yīng)用的支持。工具箱也和MATLAB一樣是完全用戶化的，可擴(kuò)展性強(qiáng)。將某個(gè)或幾個(gè)工具箱與MATLAB聯(lián)合使用，可以得到一個(gè)功能強(qiáng)大的計(jì)算組合包，滿足用戶的特殊要求。MATLAB數(shù)字信號(hào)處理工具箱和濾波器設(shè)計(jì)工具箱專門應(yīng)用于信號(hào)處

16、理領(lǐng)域。工具箱提供了豐富而簡(jiǎn)便的設(shè)計(jì)，使原來(lái)繁瑣的程序設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化成函數(shù)的調(diào)用。只要以正確的指標(biāo)參數(shù)調(diào)用相應(yīng)的濾波器設(shè)計(jì)程序或工具箱函數(shù)，便可以得到正確的設(shè)計(jì)結(jié)果，使用非常方便。接下來(lái)我們將分別對(duì)IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)進(jìn)行分析討論。在具體的設(shè)計(jì)過(guò)程中，將充分發(fā)揮MATLAB軟件在數(shù)值計(jì)算、圖像處理中的優(yōu)勢(shì)，并充分利用其強(qiáng)大的濾波器設(shè)計(jì)工具箱(Filter Design Toolbox)及圖像用戶界面工具輔助設(shè)計(jì)分析。2 IIR濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)IR數(shù)字濾波器具有無(wú)限持續(xù)時(shí)間脈沖響應(yīng)，而所有的模擬濾波器一般都具有無(wú)限長(zhǎng)的脈沖響應(yīng)，因此它與模擬濾波器相匹配。于是，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器可

17、以先設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(s)，然后按一定規(guī)則將G(s)進(jìn)行濾波器變換而得到數(shù)字域的IIR低通濾波器H(z)，最后通過(guò)頻帶變換轉(zhuǎn)換成其它頻帶濾波器。本章按按此思路將IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)分為三部分：設(shè)計(jì)模擬濾波器；進(jìn)行濾波器轉(zhuǎn)換，得到數(shù)字濾波器；最后再簡(jiǎn)單分析數(shù)字濾波器的頻帶轉(zhuǎn)換問(wèn)題。下面，將以此進(jìn)行分別討論。2.1 模擬濾波器設(shè)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器技術(shù)設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表可供查詢，因此充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來(lái)很大方便。濾波器設(shè)計(jì)最重要的是尋

18、找一個(gè)穩(wěn)定、因果的系統(tǒng)函數(shù)去逼近濾波器的技術(shù)指標(biāo)，因此模擬濾波器的設(shè)計(jì)十分重要。實(shí)際中，有三種廣泛應(yīng)用的濾波器，即巴特沃斯低通濾波器、切比雪夫低通濾波器，橢圓低通濾波器，下面，將分別予以介紹。2.1.1 巴特沃斯低通濾波器設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器擁有最平滑的頻率響應(yīng)，在截止頻率以外，頻率響應(yīng)單調(diào)下降。在通帶中是理想的單位響應(yīng)，在阻帶中響應(yīng)為0。在截止頻率處有3dB的衰減。巴特沃斯濾波器除了具有平滑單調(diào)遞減的頻率響應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)之外，其過(guò)渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)。高階巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)近似于理想低通濾波器。巴特沃斯(Butterworth)低通濾波器是將巴特沃斯函數(shù)作為濾波器的傳遞函數(shù)，它的平

19、方幅度函數(shù)為： (2-1)式中,為濾波器頻率，為3dB截止頻率，N表示濾波器的階次。MATLAB信號(hào)處理工具箱為低通模擬巴特沃斯濾波器的產(chǎn)生提供了函數(shù)buttap,其調(diào)用的格式為：z,p,k=buttap(N)，其中，z表示零點(diǎn),p表示極點(diǎn),k表示增益，N表示階次。下面舉例設(shè)計(jì)巴特沃斯低通模擬濾波器：%巴特沃斯低通模擬濾波器clear all;n=0:0.01:2;for i=1:4switch i case 1 N=2;case 2 N=5;case 3 N=10; case 4 N=20; endz,p,k=buttap(N); %函數(shù)buttap-設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器b,a=zp2tf

20、(z,p,k); %函數(shù)zp2tf-零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型H,w=freqs(b,a,n); %函數(shù)freqs-求解模擬濾波器頻率響應(yīng)magH2=(abs(H).2; %函數(shù)abs-取模值函數(shù)hold on %函數(shù)hold-控制是否保持當(dāng)前圖形plot(w,magH2) %函數(shù)plot-畫二維線性圖axis(0 2 0 1); %函數(shù)axis-控制坐標(biāo)軸比例和外觀endxlabel('w/wc');ylabel('|H(jw)|2');title('巴特沃斯低通模擬濾波器');grid on由此得出的巴特沃斯低通模擬濾波器的平方幅度響應(yīng)

21、曲線如圖所示：圖2-1 巴特沃斯濾波器的幅頻特性(基于MATLAB實(shí)現(xiàn))由圖2-1可清楚地分析出，巴特沃斯濾波器擁有平滑的頻率響應(yīng)，在截止頻率以外，頻率響應(yīng)單調(diào)下降。其過(guò)渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)，高階巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)近似于理想低通濾波器。由圖2-1所示，對(duì)N=2階濾波器和N=20階濾波器的平方幅度響應(yīng)進(jìn)行比較后，證明了高階巴特沃斯濾波器有著更好的幅度特性，更接近理想低通濾波器。2.2 模擬-數(shù)字濾波器變換及其MATLAB實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)了模擬低通濾波器后，就可以把它們變成數(shù)字濾波器了。這些變換均是復(fù)值映射，許多文獻(xiàn)對(duì)此都有研究，根據(jù)數(shù)字濾波器所保持的模擬濾波器的不同特性，研究出不同的

22、變換技術(shù)。其中，最重要的有兩種：脈沖響應(yīng)不變法（保持脈沖響應(yīng)不變，又叫沖激響應(yīng)不變法）和雙線性Z變換法（保持系統(tǒng)函數(shù)不變）。2.2.1 脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法的設(shè)計(jì)原理是使數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)序列h(n)，模仿模擬濾波器的脈沖響應(yīng)g(t)。設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)的模擬濾波器的單位脈沖響應(yīng)為g(t),并將脈沖響應(yīng)g(t)進(jìn)行等間隔采樣，使得數(shù)字濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)剛好等于g(t)的采樣值，即： (2-6)其中的為采樣周期。G(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，又令H(z)是數(shù)字濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)。采樣信號(hào)的拉式變換與相應(yīng)的采樣序列Z變換的映射關(guān)系為： (2-7)所以系統(tǒng)函數(shù)G

23、(s)和H(z)的關(guān)系為： (2-8)式(2-8)的物理意義為首先將模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)G(s)作周期的延拓，在經(jīng)過(guò)式(2-7)的映射變換，映射到Z平面上，從而得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。且模擬和數(shù)字頻率滿足下列關(guān)系：=T。經(jīng)過(guò)式(2-7)的映射，s平面的左半平面映射為Z平面的單位圓內(nèi)，因此，一個(gè)因果的和穩(wěn)定的模擬濾波器映射成因果的和穩(wěn)定的數(shù)字濾波器。經(jīng)過(guò)以上分析，按照脈沖響應(yīng)不變法，通過(guò)模擬濾波器的系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)，可直接求得數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(Z),其設(shè)計(jì)具體步驟歸納如下：(1)利用=T（可由關(guān)系式推出），將數(shù)字濾波器指標(biāo)，轉(zhuǎn)換為模擬濾波器指標(biāo)，(2)根據(jù)指標(biāo)，來(lái)設(shè)計(jì)模擬濾波器

24、G(s)(3)利用部分分式展開法，把G(s)展成 (2-9)(4)最后把模擬極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為數(shù)字極點(diǎn)，得到數(shù)字濾波器：(2-10)根據(jù)上述理論，將舉例在MATLAB環(huán)境下用函數(shù)實(shí)現(xiàn)脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一數(shù)字低通濾波器。其函數(shù)為b,a=impinvar(c,d,T)，其中，b表示數(shù)字濾波器自變量為的分子多項(xiàng)式，a表示數(shù)字濾波器自變量為的分母多項(xiàng)式，c表示模擬濾波器自變量為s的分子多項(xiàng)式,d表示模擬濾波器自變量為s的分母多項(xiàng)式，T表示采樣變換參數(shù)。%設(shè)模擬低通巴特沃斯濾波器，通帶紋波為Rp=1dB,通帶上限角頻率p=0.2,阻帶下限角頻率s=0.3，帶阻最小衰減s=15dB，根據(jù)該低通模擬濾波器，利用沖激

25、響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)相應(yīng)的數(shù)字低通濾波器wp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;T=1; %采樣周期%性能指標(biāo)Rip=10(-Rp/20);Atn=10(-As/20);OmgP=wp*T;OmgS=ws*T;N,OmgC=buttord(OmgP,OmgS,Rp,As,'s'); %選取模擬濾波器的階數(shù)cs,ds=butter(N,OmgC,'s'); %設(shè)計(jì)出所需的模擬低通濾波器b,a=impinvar(cs,ds,T); %應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行轉(zhuǎn)換db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a); %求得相對(duì)，絕對(duì)頻響及相位、群

26、延遲響應(yīng)%繪制各條曲線subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);title('幅頻特性');xlabel('w(/pi)');ylabel('|H(jw)|');axis(0,1,0,1.1);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',0 Atn Rip 1);gridsubplot(2,2,2)

27、;plot(w/pi,db);title('幅頻特性(dB)');xlabel('w(/pi)');ylabel('dB');axis(0,1,-40,5);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca,'YTickMode','manual','YTick',-40 -As -Rp 0);gridsubplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title(

28、'相頻特性');xlabel('w(/pi)');ylabel('pha(/pi)');axis(0,1,-1,1);set(gca,'XTickMode','manual','XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);gridsubplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);title('群延遲');xlabel('w(/pi)');ylabel('Sample');axis(0,1,0,12);set(gca,'XTickM

29、ode','manual','XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);grid%本設(shè)計(jì)用到的M文件函數(shù)functiondb,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a)%濾波器幅值響應(yīng)（絕對(duì)、相對(duì)）、相位響應(yīng)及群延遲%Usage:db,mag,pha,grd,w=freqz_m(b,a) %500點(diǎn)對(duì)應(yīng)0,pi%db 相對(duì)幅值響應(yīng)； mag 絕對(duì)幅值響應(yīng)； pha 相位響應(yīng)； grd 群延遲響應(yīng)；%w 采樣頻率； b 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子項(xiàng)%a 系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母項(xiàng)H,w=freqz(b,a,500); %500點(diǎn)的幅頻響應(yīng)mag=

30、abs(H);db=20*log10(mag/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w);圖2-7 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的特性(基于MATLAB實(shí)現(xiàn))總結(jié)以上，脈沖響應(yīng)不變法的優(yōu)點(diǎn)是頻率坐標(biāo)變換是線性的，即=T，如不考慮頻率混疊現(xiàn)象，用這種方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器會(huì)很好的重現(xiàn)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)。另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，時(shí)域逼近好。但其也具有很大的缺點(diǎn)，若抽樣頻率不高或其它原因?qū)a(chǎn)生混疊失真，不能重現(xiàn)原模擬濾波器頻率響應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法適合低通、帶通濾波器設(shè)計(jì)，不適合高通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)。2

31、.2.2 雙線性Z變換法利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，由于=T的頻率關(guān)系是根據(jù)推導(dǎo)的，所以是軸每隔2/T便映射到單位圓上一周，引起了頻域混疊。為克服這一現(xiàn)象，人們找到了另一種映射關(guān)系： (2-11)此關(guān)系稱為雙線性Z變換法。雙線性Z變換法的基本思路是：首先將整個(gè)s平面壓縮到s1平面的一條帶寬為2/T（叢-/T到/T）的橫帶里，然后通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的變化關(guān)系將橫帶變換成整個(gè)Z平面上去，這樣就得到s平面與Z平面間的一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，整個(gè)過(guò)程如圖2-8所示： j j1 jIm(Z)/T 0 0 0 1 -/Ts平面 s1平面 Z平面圖2-8 雙線性Z變換法的映射關(guān)系由式(2-11)得 (2-12)及

32、 (2-13) (2-14)式(2-11)及式(2-12)給出了s和z之間的映射關(guān)系，而式(2-13) 和式(2-14)給出了和之間的映射關(guān)系，但這是一種非映射關(guān)系，雙線性Z變換法正是利用了正切函數(shù)的非線性特點(diǎn)，把整個(gè)j軸壓縮到了單位圓的一周上。在MATLAB中，雙線性Z變換可通過(guò)bilinear函數(shù)實(shí)現(xiàn),其調(diào)用格式為：Bz,Az=bilinear(B,A,Fs)，其中B,A為模擬濾波器的傳遞函數(shù)G(s)的分子分母多項(xiàng)式系數(shù)分量，而Bz,Az為數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)H(Z)的分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)分量。%使用雙線性Z變換設(shè)計(jì)一低通數(shù)字濾波器，fp=100HZ,fs=300HZ，p=3dB,s=20

33、dB,抽樣頻率為Fs=1000HZfp=100;fs=300;Fs=1000;rp=3;rs=20; wp=2*pi*fp/Fs;ws=2*pi*fs/Fs;Fs=Fs/Fs %使Fs為一wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,'s')z,p,k=buttap(n);bp,ap=zp2tf(z,p,k)bs,as=lp2lp(bp,ap,wap)bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2)H,w=freqz(bz,az,256,Fs*1000);圖2-9 雙線性Z變換設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器的特性(基于MATLAB實(shí)現(xiàn))2.3 頻帶變換及其MATLAB實(shí)現(xiàn)除了低通數(shù)字濾波器之外，實(shí)際中還常常需要高通、帶通、及帶阻數(shù)字濾波器。設(shè)計(jì)這三種濾波器的方法有很多，例如基于模擬濾波器轉(zhuǎn)換法的IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，基于直接數(shù)字域法的I