1、等積法求三棱錐的體積【教師版】2014/10/14由于三棱錐是由 4 個三角形圍成的四面體， 任何一個三角形都可以看成其底面。 但在求 體積時需要選擇合適的底和高，這就需要靈活換底面，但是三棱錐的體積保持不變。這種方 法我們稱為“等積法” ，它是三棱錐求體積的巧妙方法，也是其“專屬產品” 。其他的，如四 棱錐求體積就不能隨意換底，不能用等積法求體積。另外，等積法的優越性還體現在求“點 到平面的距離”中。【注意】等積法求體積時，要謹記“先證后求”的原則，先作出或證明底面的高，再計 算三棱錐的體積。例1例 2（ 2011 佛山一中三校聯考）如圖，已知三棱錐 ABPC中， AP PC， ACBC，

2、M為 AB中點， D 為 PB 中點，且 PMB為正三角形。（）求證： DM平面 APC；（）求證：平面 ABC平面 APC；例 2 解：（）由已知得，MD 是 ABP的中位線MD AP 2 分MD 面APC, AP面APCMD 面APC4 分（） PMB 為正三角形，D 為 PB的中點，MD PB ， 5 分AP PB 6 分又 AP PC,PB PCP AP面PBCBC 面 PBC AP BC又 BC AC,AC APA BC面APC9分（）若 BC4， AB20，求三棱錐 DBCM的體積BC 面ABC 平面 ABC平面 APC 10 分 （） MD 面PBC ， MD 是三棱錐 M DB

3、C的高，且 MD5 3 11分 又在直角三角形 PCB中，由 PB10，BC4，可得 PC2 21 12分 1于是 S BCD S BCP 2 21 ， 13 分2VD BCM VM DBCSh 10 7 1 4 分3例 3（茂名 2010二模） 如圖，在底 面是菱形的四棱錐 S ABCD中， SA=AB=2， SB SD 2 2. （ 1）證明： BD 平面 SAC；（ 2） 問 ： 側 棱SB BAD 1200 QSA AB, SA AD ABSBD OE / /SB OESD 上 是 否 存 在 點2 2 2 2 2 2SA2 AB2 SB2, SA2 AD 2 SD2AD ASABDS

4、AAC A BDBDAC O OESB/ /BAD1200S ABD 1 ABDAB AD sin120 012233222BD AC SB SD 2 2.233. AB/VA SBD13S ABD SA 133 2AB a AC1 A BCC1 B1 B1 D1 ABCD ABDD1 B1 BDC1 A1C ABCD A BC D E,F AA, BB B D EFAB/EFAB/平面DEF BDEF A DEF AHED AH平面D EF AHABABCD ABCD BBADEFH平面 AD GE CC DGDG AD ADGEADE DCC D DGDG AD GE ADE DG21 (

5、12)2DGFD G DCCDDD F D C G11144FHPQAE 已知在棱長為AEC F 的距離。ADCF等積法 VB AEFVF AEB63DG3510AQFFP / / AD E1的正方體 ABCD-A B C D 中，E、F 分別是 AB 、CD的中點，求點B 到平面三、知識運用例 1：如圖四棱錐 S ABCD ，AB AD , AB / CD,CD 3AB, 面 SAD面 ABCD , M 是 線 段 AD 上 一 點 ，AB AM 1,DM DC ,SM AD .(1) 證明： BM 面 SMC（2） 求點 C到面 SMB 的距離。EX1如圖，在邊長為a 的菱形ABCD中，

6、ABC60 ,PC 面ABCD ，E,F 是PA和AB的中點。DEF FHBCFHa222ABC S ABC13S ABC PD3PCPD2 DC 2 2PBC SPBCVA PBCVP ABCSVPBC h35a解析】（1）證明：點 B和點 C 為線段 AD的三等分點， 點 B 為圓的圓心 又E是弧 AC的中點， AC為直徑， BC EB即BD EB FC 平面 BDE ， EB 平面 BDE ， FC EB又 BD 平面 FBD ， FC 平面 FBD 且 BD FC C EB 平面 FBD 又 FD 平面 FBD ， EB FD2）解：設點 B到平面 FED 的距離（即三棱錐 B FED

7、 的高）為 h. FC 平面 BDE , FC是三棱錐F-BDE的高，且三角形FBC為直角三角形由已知可得 BC a ，又 FB5a FC( 5a)2a2 2a在 Rt BDE 中， BD2a,BEa，故 S BDE12a a22a,V 1S1223 VF BDE S BDEFCa2a a3,333又 EB 平面 FBD ，故三角形 EFB和三角形 BDE為直角三角形EF6a,DE5a，在 Rt FCD中， FD21 25a, S FED 2 a ,1 21 2VF BDE VB FED即 3 2 ah 2a 3 ，故34 21a,21即點 B 到平面 FED 的距離為 h4 21 a21備用

8、題：3、如圖幾何體是由正方體 ABCD-A1B1C1D1與四棱錐 E-A1B1C1D1組成， E為 CC1 的延長線上一點， 且 EC1=CC1，AB=2，M為 EB1的中點，求點 M到平面 ACD1的距離 .4、如圖 BCD與 MCD都是邊長為 2 的正三角形，平面 MCD 平面 BCD，AB 平面 BCD，求點 A到平面 MCD的距離 .第6題第5題5、圓錐 PO如圖 5所示，圖6是它的正（主）視圖已知圓O的直徑為 AB ，C是?AB的中點， D為AC的中點（ 1）求該圓錐的側面積； （ 2）證明： AC （3）求點 O到平面 PAC 的距離6、 如圖， ABCD是邊長為 4 的正方形， 中點， GC垂直于 ABCD所在的平面，且EFG的距離7: 如圖，已知 ABCD是矩形， AB a, PA AD2a，PA 面ABCD ， Q是PA