1、第五章 微分方程第一節(jié) 微分方程的基本概念一、基本概念微分方程的定義： 凡是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程，稱為微分方程 . 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程， 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱 為偏微分方程 . 本書只討論常微分方程，簡稱微分方程 .微分方程的階、解與通解： 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階 . 如果把函數(shù)y f (x)代入微分方程后，能使方程成為恒等式, 則稱該函數(shù)為該微分方程的解 .若微分方程的解中含有任意常數(shù)， 且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同， 則稱這樣的解為微分 方程的通解 .初始條件與特解： 用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個

2、特定點的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件， 稱為初始 條件 . 滿足初始條件的微分方程的解稱為該微分方程的特解。例1 課本294頁 例1二、獨立的任意常數(shù)線性相關(guān)與線性無關(guān)：設(shè) y1(x),y2 (x) 是定義在區(qū)間 (a,b)內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個不全為零的數(shù)k1,k2，使得對于區(qū)間 (a, b)內(nèi)的任一 x ，恒有k1y1(x) k2 y2(x) 0成立，則稱函數(shù) y1(x), y2(x) 在區(qū)間 (a ,b)內(nèi)線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān) .顯然，函數(shù) y1(x), y2 ( x)線性相關(guān)的充分必要條件是 y1(x) 在區(qū)間 (a, b)內(nèi)恒為常數(shù) . y2(x)如果 y1(x) 不恒為常數(shù)，

3、則 y1(x), y2(x) 在區(qū)間 (a, b)內(nèi)線性無關(guān) .y2(x)獨立的任意常數(shù)：在表達式 y C1y1(x) C2y2(x) ( C1, C2 為任意常數(shù) ) 中, C1, C2 為獨立的任意常數(shù) 的充分必要條件為 y1(x), y2(x) 線性無關(guān) .例 2 課本 297 頁 例 4第二節(jié) 可分離變量的微分方程、定義形如dy f (x)g(y)dx的微分方程，稱為可分離變量的方程 . 該微分方程的特點是等式右邊可以分解成兩個函數(shù)之 積，其中一個僅是 x 的函數(shù)，另一個僅是 y 的函數(shù)，即 f ( x), g( y)分別是變量 x, y的已知 連續(xù)函數(shù) .、求解方法可分離變量的微分方

4、程 dydxf (x)g(y)的求解方法 , 一般有如下兩步第一步 : 分離變量g(y)dy f (x)dx，第二步 : 兩邊積分g(y)dy f (x)dx.例 1】求微分方程 dx xydyy2dx ydy 的通解 .解 先合并 dx 及 dy 的各項 ,得 y(x 1)dy ( y2 1)dx設(shè) y2 10,x 1 0, 分離變量得y2y 1dy1dxx1兩端積分y2y21dyx11dx得121ln | y2 1|2ln |x 1| ln |C1|y21 C12(x 1)2 記CC12, 則得到題設(shè)方程的通解y2 1 C(x1)2.注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過程中 , 我

5、們在假定 g(y) 0的前提下 , 用它除方程兩邊 , 這樣得到的通解 , 不包含使 g(y) 0的特解 . 但是 , 有時如果我們擴大任 意常數(shù) C 的取值范圍 , 則其失去的解仍包含在通解中 . 如在例 2 中，我們得到的通解中應(yīng)該 C 0 ，但 這樣方程 就失去特解 y 1 ， 而如果允 許 C 0 ，則 y 1 仍包含 在通 解y2 1 C(x 1)2 中.例 2】 已知f (sin 2 x) cos2x tan2 x,1時，求 f (x).所以原方程變?yōu)樗?f(y)f (x)2sin2 x, 則 cos2x 12sin2 x 12y,f (y)2yx2tan2 xsin2 xsin

6、2 x22 cos x 1 sin xy1yy1 2y1y,即 f ( y)2y 1 y1 1y dy y21yln(1 y)C,ln(1 x) C (0x 1).第三節(jié) 線性微分方程、一階線性微分方程定義形如ddyx P(x)y Q(x) .的微分方程，稱為一階線性微分方程，其中P( x), Q( x)都是 x的已知連續(xù)函數(shù)， “線性”是 指未知函數(shù) y 和它的導(dǎo)數(shù) y 都是一次的 .求解方法 ：一階線性微分方程 dy P(x)y Q(x) 的求解方法 , 一般有如下兩步 : dx第一步：先用分離變量法求一階線性微分方程 dy P(x)y Q(x) 所對應(yīng)的齊次線性 dxdy P(x)dx微

7、分方程 dy P(x)y 0 的通解 yc Ce .dxP(x)dx dy第二步： 設(shè) y C(x)e 為一階線性微分方程 P(x)y Q(x) 的解 ,代入該方 dx程后 ,求出待定函數(shù) C(x) .P(x)dx第 三 步 : 將 C(x) 代 入 y C(x)e P(x)dx 中 , 得 所 求 一 階 線 性 微 分 方 程P(x)y Q(x) 的通解 .dx注：只要一階線性微分方程是 dydx代入一階線性微分方程后 , 整理化簡后P(x)y Q(x) 的標(biāo)準(zhǔn)形式 ,則將 y C(x)e 必有P(x)dxP(x)dxC (x)e Q(x) , 該結(jié)論可用在一階線性微分方程的求解過程中 ,

8、 以簡化運算過程 . 一階線性微分方程 dy P(x)y Q(x) 的求解公式：dxP(x)dx P(x)dxy e P(x)dx Q(x)e P(x)dx dx C ( 其中 C 為任意常數(shù) ).2滿足條件 yx 0 2 的特解 .解 這是可以分離變量的微分方程，將方程分離變量，有yy2 1dyx11dx，兩邊積分，y2y1dy1dx ，1求積分得1 ln2y2 1ln xC1，ln y21 ln(x 1)22C1，y2 12 2C12(x 1) 2 e2C1 ， y2e2C1(x1)2，記 e2C1 C 0 ，得方程的解y2 12 C(x 1)2 .可以驗證 C 0時， y 1，它們也是原

9、方程的解，因此，式1 C(x 1)2 中的C 可以為任意常數(shù)，所以原方程的通解為y2 12C(x 1)2C 為任意常數(shù))代入初始條件 y x 02 得 C 3，所以特解為21 3(x 1)2 .例 2】 求微分方程( 1) yy，(2) yx2xyex2cosx 的通解 .1)解 一 原方程可化為dydx則u積分得du u u x ，即dx u 11lnu lnx lnC，將 u u1duyxy1xdx，令uyx，兩邊取積分1 12 )du1dx ，u u2xy 代入原方程，整理得原方程的通解為x例 1】 求微分方程 xydy dx y2dx ydyy Cey ( C 為任意常數(shù))dx 1解二

10、 原方程可化為 x 1 為一階線性微分方程，用常數(shù)變易法 . 解原方程所 dy ydx 1對應(yīng)的齊次方程 dx 1 x 0 ，得其通解為 x C y.dy y設(shè) x C(y) y 為原方程的解，代入原方程，化簡得C (y)y 1， C(y)lnC1所以原方程的通解為x ln yC1x，即 y CeyC 為任意常數(shù))2)解原方程對應(yīng)的齊次方程dydx2xy 0 分 離 變 量 ，得 ddyx 2xy ，dy 2xdx ， y兩邊積分，dy2xdx，ln yx2C，ln ylnex2lnCx2ln(Cex ) ，y Cex ，用常數(shù)變易法 . 設(shè) yC(x)ex代入原方程，得22C (x)ex e

11、xcosx，C (x) cosx ，C(x)cos xdx sinxC，故原方程的通解為 yex (sinxC)C 為任意常數(shù))解二 這里 P(x)2x， Q(x)cosx 代入通解的公式得ye2xdx(ex2cosx e2xdxdxC). 常數(shù)變易法主要適 y P(x)y Q(x) ，也可直接利用公式C)( C 為任意常數(shù))=ex ( ex cosx e x dx C) =ex ( cos xdx C) =ex (sinx小結(jié) 一階微分方程的解法主要有兩種：分離變量法，常數(shù)變易法用線性的一階微分方程，若方程能化為標(biāo)準(zhǔn)形式P(x)dx P(x)dxy e ( Q(x)e dx C )求通解 .

12、、二階常系數(shù)齊次線性微分方程定義： 形如y py qy 0 的微分方程（其中 p,q 均為已知常數(shù)，稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程 . 求解方法 ：求解二階常系數(shù)齊次線性微分方程 , 一般分為如下三步 :第一步 寫出方程 y py qy 0 的特征方程 r2 pr q 0，第二步 求出特征方程的兩個特征根r1, r2 ，第三步 根據(jù)下表給出的三種特征根的不同情形，寫出 y py qy 0 的通解 .有兩個 不同 特征實根r1 r2r1 xr2xy C1 e 1C2 e 2有兩個 相同 特征實根r1 r2 rrxy (C1 C2 x)erx有一對 共軛 復(fù)根r1,2ix y (C1 cos x

13、C2 sin x)e例 3】 求微分方程 y 2ay y 0 的通解 .解 原方程對應(yīng)的特征方程為 r 2 2ar 1 0， r1,2 2a 4a 4 =a a2 1 ， 2（1）當(dāng)a 1 ，即a1或 a1時，特征方程有兩個不相等的實根22 r1 a a 1 ， r2 a a 1 ，故原方程的通解為(a a2 1)x (a a2 1)x yC1eC2e.（ 2）當(dāng) a 1 ，即a 1或 a 1時，特征方程有兩個相等的實根r1 r2 a ，故原方程的通解為 y(C1C2 x)eax.（ 3）當(dāng) a 1 ，即1a 1時，特征方程有兩個共軛復(fù)根r1,2 a i 1 a2故原方程的通解為yeax (C

14、1 cos 1 a2x C2sin 1 a2x) .三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程定義：形如y py qy f (x) 的微分方程(其中 p,q均為已知常數(shù)) ，稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 . 求解方法：求解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 , 一般分為如下三步 :第一步 先求出非齊次線性微分方程 y py qy f (x) 所對應(yīng)的齊次線性微分方程方 程 y py qy 0 的通解 yc;第二步 根據(jù)下表設(shè)出非齊次線性微分方程 y py qy f(x) 的含待定常數(shù)的特解 y p ,并將 yp 代入非齊次線性微分方程ypyqy f(x) 解出待定常數(shù) ,進而確定非齊次方程y py qyf

15、 (x) 的一個特解 yp ;第三步寫出非齊次線性微分方程ypy qy f(x) 的通解 yyc yp .方程 y pyqyf(x) 的特解 yp的形式表自由項 f(x) 的形式特解的形式的設(shè)法不是特征根x yp Qm(x)e xf(x) Pm(x)e x是特征單根y p xQm(x)e x是二重特征根yp x2Qm(x)e xf1(x) Pm (x)e x cos令 i , 構(gòu)造輔助方程y py qy=Pm (x)e x或求出輔助方程的特解 y py1 iy2f2(x) Pm(x)e x sin則 y1 是方程 y py qyf1(x) 特解y2 是方程 y py qyf2(x) 特解注:

16、表中的 Pm(x)為已知的 m次多項式， Qm(x)為待定的 m次多項式，如2Q2(x) Ax2 Bx C ( A , B , C 為待定常數(shù)) .在設(shè)微分方程 y py qy Pm(x)e x的特解時，必須注意把特解yp設(shè)全.如：2 2 2Pm(x) x2，那么 Qm(x) b0x2 b1x b2 ，而不能設(shè) Qm(x) b0x2. 另外，微分方程的特解都 是滿足一定初始條件的解，上面所求的特解 yp 一般不會滿足題設(shè)初始條件，因此需要從通解中找出一個滿足該初始條件的特解例 4】 求微分方程 y y 4 xe x滿足初始條件 yx 0 0，y x 0 1的特解.解 對應(yīng)齊次方程的特征方程為

17、r 2 1 0 ，特征根 r1,2 1 故對應(yīng)齊次微分方程的通解為 ycC1ex C2e x .因為 1是特征方程的單根，所以設(shè)特解為yP x(b0x b1)ex ，代入原方程得2b0 2b14b0x 4x ，比較同類項系數(shù)得b01， b1 1 ，從而原方程的特解為yP x(x故原方程的通解為yx x x C1eC2ex(x 1)e ，由初始條件 x 0 時，C1 C2 0,yy 0 ，得 1 2C1 C2 2,從而 C1 1， C2 1. 因此滿足初始條件的特解為x1)e ，x x x y e e x(x 1)e .例 5】 求微分方程 y 4y 8y2x sin2x 的通解 .解 對應(yīng)的齊

18、次微分方程的特征方程r 2 4r 8 0 ，特征根 r1,22i . 于是所對應(yīng)的齊次微分方程通解為2xyc e (C1 cos2x C2sin2x) 為了求原方程 y 4y 8y e2x sin2x 的一個特解 ,先求 y 4y 8y e(2 2i)x( )的特解 . 由于 2 2i 是特征方程的單根，且Pm(x) 1 是零次多項式。所以設(shè)特解為yAxe(2 2i)x ，代入原方程，化簡得(4 4i)A 8iAx 4A (2 2i)Ax 8Ax 1,1i 比較同類項系數(shù)，得 4Ai 1， A .4i 4所以，方程( )的特解為y i xe2x (cos2x i sin 2x) = 1xe2x

19、(icos2x sin2x),441 其虛部即為所求原方程的特解yP1 xe2x cos2x.P4因此原方程通解為e2x(C1cosx C2 sinx)1 xe2x cos2x .4四、高階微分方程的降階法方程的形式引入 y 的形式降階后的方程y f(x,y)設(shè) y p(x), y p (x)p(x) f(x,p(x)y f (y,y)設(shè) y p(y), 則dydp dydpyp dx dy dxdypdp f (y, p) dyy(n)f (x)對方程 y(n) f(x) 兩邊逐次積分 n次，即可得到該方程的通解例 6】 求微分方程 x3y x2 y 1的通解 .dPdP解 方程中不顯含未知

20、函數(shù) y，令 y P，y，代入原方程， 得 x3x2P 1，dxdxdP 11P 3 ，這是關(guān)于未知函數(shù) P(x) 的一階線性微分方程，代入常數(shù)變易法的通解 dx xx公式，所以11 dx 1 dxP(x) e x ( 3e x dx C1)xln x 1 ln x11111C1=e ( 3e dx C1)= ( 3 xdx C1)= (C1)= 2 1 ，xxxxxx2x由此 dy= 12 C1 ，dxx2 x1C11y ( 2)dx=C1ln x C2，xxx1因此，原方程的通解為 y = 1 C1 ln x C2 ( C1,C2 為任意常數(shù))x例 7】求微分方程 2(y )y (y 1)

21、 滿足初始條件 y x 1 2 ， yx1的特解 .方程不顯含 x ，令PdP ，則方程可化為2P2dyPddPy (y 1)，P 0 時 dPP2y1dy ，于是2 C1(y 1)2 .根據(jù) y x 1 2y x 1 1，知2 1 代入 上式， 得 C11，從而得到dy(y 1)2dx ，積分得x C2 ，再由 y x 1 2 ，求得 C2 0 ，于是當(dāng) P 0時， y1原方程滿足所給初始條件的特解為1y1x，當(dāng) P 0 時，得 y C (常數(shù) ) ，顯然這個解也滿足方程，這個解可包含在解1y1x中.故原方程滿足所給初始條件的特解為 1 x，即 y 1 1 .y 1 x第四節(jié) 二階線性微分方

22、程解的結(jié)構(gòu)二階齊次線性微分方程解的疊加原理：如果函數(shù) y1 和 y2 是齊次線性微分方程的兩個解，則函數(shù)y C1y1 C2y2 也是方程y p(x)y q(x)y 0的解；且當(dāng) y1與 y2 線性無關(guān)時，y C1y1 C2y2 就是方程的通解(其中 C1,C2 是任意常數(shù)) .非齊次線性微分方程解的疊加原理：如果函數(shù) yp 為非齊次線性微分方程 y p(x)y q(x)yf(x) 的一個特解， yc 為齊次線性微分方程 y p(x)y q(x)y 0的通解，則 y yc yp 為該非齊次線性微分方程的 通解 .非齊次線性微分方程解的分離定理：如果 y1是方程 y py qy f1(x) 的解， y2是方程 y py qy f2(x) 的解，則y y1 y2 是方程y py qy f1(x) f 2(x) 的解 .第五節(jié) 用微分方程解決實際問題的方法用微分方程解決實際問題， 包括建立微分方程， 確定初始條件和求解方程這幾個主要步10