1、第十三章麥克斯威方程對(duì)電和磁的興趣由來(lái)已久。正式發(fā)表的關(guān)于電的第一條定量定律是庫(kù)侖定律（C. A.Coulomb ,1785 ）。1820年奧斯特（Oersted，丹麥）發(fā)現(xiàn)通電的導(dǎo)線對(duì)磁針有作用力。畢奧 -薩伐爾確定了這個(gè)力正比于電流強(qiáng)度，反比于導(dǎo)線與磁極的距離。與此同時(shí)安培（Amper e）把磁性歸結(jié)為電流和電流的相互作用，提出安培定律。但安培被自己提出的超距作用的分子電流假說(shuō)所迷惑，沒(méi)能夠發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象。這個(gè)對(duì)形成電磁場(chǎng)的概念致關(guān)重要的現(xiàn)象在 1831年被法拉第（Friday ）發(fā)現(xiàn)。法拉第創(chuàng)建的力線和場(chǎng)的概念是意味深長(zhǎng)的。麥克斯威（Maxwell , 1965）在此基礎(chǔ)上建立了電磁場(chǎng)

2、的完整理論，麥克斯威方程。13.1場(chǎng)方程讓我們把上一章真空中穩(wěn)恒電磁場(chǎng)的公式歸納一下:(13.1)(13.2)2 1' c(X)c(X)%、2AaC A)=70ja下標(biāo)c和a強(qiáng)調(diào)該量與靜止電荷和穩(wěn)恒電流相聯(lián)系。上述公式僅當(dāng)電磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)成立,.:t(13.3)(13.6)(13.7)隨時(shí)間變化的電磁場(chǎng)滿足什么樣的方程呢？相對(duì)論的協(xié)變性可以引導(dǎo)我們猜出正確的 結(jié)果。回憶第九章由電荷守恒得到的連續(xù)性方程（9.29 ）式(13.4)其中四維矢量算符(13.5)而四維位移矢量定義為/ 1、XX2 Xy3XX4<X丿Qct在（13.4）式中定義了/.1j，Z jx.2 jjy.3 j

3、jz.4 <jJcP連續(xù)性方程的協(xié)變性要求上式定義的j是一個(gè)四維反變矢量，稱為四維電流密度矢量。因此在洛倫茲變換下，電流密度和電荷密度混合在一起，如四維位移矢量一樣變換。從（13.1）和（13.2）式看到電勢(shì)和矢勢(shì)分別與四維矢量的時(shí)間分量和空間分量對(duì)應(yīng)。這提示我們把（13.1 ）和（13.2）式寫成時(shí)間和空間分量對(duì)稱的形式。首先，為了把（13.1）式和（13.2）式統(tǒng)一成一條四維矢量方程，（13.1）的左邊要寫成-.二0j4 -0（icT），即在（13.1）兩邊乘以i/c，(13.8)4 c -ic：、c(x)-pC和（13.2）式對(duì)比，可以認(rèn)出矢勢(shì) A和“電勢(shì)”（r: /c）要構(gòu)成一個(gè)

4、四維矢量。引入四維勢(shì)A1，其各個(gè)分量定義為A-A2A3A3-(13.9)我們四維勢(shì)對(duì)非穩(wěn)恒電磁場(chǎng)也適用，所以式中沒(méi)有下標(biāo)c和a。（13.1 ）和（13.2）式的拉普拉斯算符是三維伽利略標(biāo)量算符，在相對(duì)論協(xié)變理論中要 推廣為四維標(biāo)量算符（達(dá)朗貝爾算符），(13.10)因?yàn)槲覀兊挠懻搩H局限與平直時(shí)空，有x"二X|和"二-：J，可以不區(qū)分上指標(biāo)和下指標(biāo)。但我們還是盡量保留上下指標(biāo)，以便于檢查方程的正確性。另外（13.2）式中的矢勢(shì)散度I A在相對(duì)論協(xié)變理論中也要寫成四維標(biāo)量弋 AT= A-L'Sic& <c 丿(13.11)其中重復(fù)指標(biāo)隱含求和。如不特別聲明

5、，以后我們都采用這種約定。 至此，（13.1 ）和（13.2）變成相對(duì)論協(xié)變的形式，-：2Aoj4（ 13.12）FA=-卩0 j， i =1,2,3（ 13.13）兩式還是寫不成一個(gè)統(tǒng)一的四維矢量方程，原因是（13.12）式的左邊少了一項(xiàng)。為了物理的美，所有人都會(huì)毫不猶疑地嘗試在（13.12）式的左邊添上- '（j.iiA亠），它是電磁場(chǎng)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，對(duì)穩(wěn)恒電磁場(chǎng)它等于零。于是（13.12）和（13.13）可以合寫成緊湊的一條四維矢量方程，；：2A' （：A）-0廣（13.14）這就是我們所尋找的電磁場(chǎng)的場(chǎng)方程，它被實(shí)驗(yàn)證明是普遍適用的。 對(duì)穩(wěn)恒電磁場(chǎng)，容易檢驗(yàn)（13.14）式

6、可以重新回到（13.1 ）和（13.2）式。方程左邊第二項(xiàng)的重復(fù)指標(biāo) J隱含著求 和。相對(duì)論協(xié)變性要求四維勢(shì)是一個(gè)（反變）四維矢量。如果已經(jīng)肯定（13.9）式定義的四維勢(shì)是一個(gè)四維矢量，事實(shí)上（13.14）式是唯一的與穩(wěn)恒電磁場(chǎng)方程（13.1 ）和（13.2 ）式一致的相對(duì)論協(xié)變的場(chǎng)方程。特別值得一提的是， 方程（13.14）和電荷守恒是一致的。取該式的散度，易見左邊恒等于零，由此得到電荷守 恒的連續(xù)性方程（13.4）式。13.2規(guī)范不變性上節(jié)得到的場(chǎng)方程（13.14）式具有一個(gè)重要的不變性一一規(guī)范對(duì)稱性。電磁場(chǎng)的規(guī)范 變換為A ；j 丄，J = 1,2,3,4（ 13.15）其中（x）可以是

7、任意的可微的時(shí)空函數(shù)。把a(bǔ)'=A'丄-京乂代入（13.14）得：2a也*2 ：丄 _ 4 a-0j"即妝門-'A -0廠、（13.16）它形式上和（13.14） 一樣。因此規(guī)范變換前后的四維勢(shì)A合A同是電磁場(chǎng)方程的解。如果規(guī)范變換不影響邊界條件合界面條件，那么規(guī)范變換前后的四維勢(shì)描寫同樣的電磁場(chǎng)。物理可觀測(cè)結(jié)果在規(guī)范變換下保持不變稱為規(guī)范對(duì)稱性。二十世紀(jì)關(guān)于基本相互作用的研究與規(guī)范對(duì)稱性及其推廣有緊密的聯(lián)系。現(xiàn)在人們普遍愿意認(rèn)為規(guī)范對(duì)稱性是基本相互作用的普遍對(duì)稱性，從而把它上升為一個(gè)物理基本原理。規(guī)范不變?cè)恚河桑?3.15）式聯(lián)系起來(lái)的四維勢(shì) A和A對(duì)應(yīng)同樣

8、的電磁場(chǎng)。規(guī)范不變?cè)硪馕吨荒芡ㄟ^(guò)物理測(cè)量發(fā)現(xiàn)A和A的差異，只有規(guī)范不變的量（在（13.15）式的變換下不變）才是物理上可測(cè)量的量。當(dāng)四維矢量作規(guī)范變換時(shí)，所有的物 理量和物理規(guī)律保持不變。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為了簡(jiǎn)化計(jì)算常常對(duì)四維勢(shì)的規(guī)范任意性加以限制， 限制條件稱為規(guī)范條件。物理結(jié)果應(yīng)該和特殊的規(guī)范條件的選擇無(wú)關(guān)。規(guī)范不變?cè)淼囊粋€(gè)重要的后果是場(chǎng)方程（13.14）式中不能出現(xiàn)正比于 A”而不含導(dǎo)數(shù)的一項(xiàng)。如下式是沒(méi)有規(guī)范不變性的，f2A_ 小 l.A' m2A二（ 13.17）在場(chǎng)論中，新加進(jìn)去那一項(xiàng)稱為質(zhì)量項(xiàng)。因此規(guī)范不變性不允許 A這就是泡利對(duì)楊-Mills場(chǎng)的著名質(zhì)疑：傳遞強(qiáng)相互作

9、用的場(chǎng)應(yīng)該具有質(zhì)量，如何能夠用規(guī)范不變的場(chǎng)來(lái)描寫？這個(gè)問(wèn)題后來(lái)由 Higgs真空破缺機(jī)制解決。場(chǎng)具有質(zhì)量1°光子沒(méi)有質(zhì)量是規(guī)范不變性的自然要求。常用的規(guī)范條件有：'、A=Q(13.18)(1 )庫(kù)侖規(guī)范(2) 洛倫茲規(guī)范二 0(13.19)(3) 時(shí)性規(guī)范(temporal gauge)A4=0(13.20)規(guī)范條件的共同特點(diǎn)是本身沒(méi)有(完整的)規(guī)范對(duì)稱性。在三種規(guī)范中只有洛倫茲規(guī)范具有洛倫茲協(xié)變性。在洛倫茲規(guī)范條件下，場(chǎng)方程有簡(jiǎn)潔的協(xié)變的形式，2:A - - '0 j(13.21)13.3麥克斯威方程然而如果不知道四維勢(shì)和電荷受力的關(guān)系，場(chǎng)方程(13.14 )或(1

10、3.21)僅是一個(gè)形式理論。要明確它的物理意義必須和電磁場(chǎng)對(duì)電荷的作用力聯(lián)系起來(lái)。也就是說(shuō)，要把四維勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度聯(lián)系起來(lái)。對(duì)于磁場(chǎng)，第十二章已經(jīng)假定有普遍的關(guān)系式(12.40)式，(13.22)易見此式右邊在規(guī)范變換下不變，和磁感應(yīng)強(qiáng)度是一個(gè)物理可觀測(cè)量相適應(yīng)(按照規(guī)范不變?cè)恚珺在規(guī)范變換下不變)。對(duì)于穩(wěn)恒電場(chǎng)的特殊情形，有上一章的(12.7)式Ec - c 二 ic，A：(13.23)如果推廣到非穩(wěn)恒情形，允許與時(shí)間有關(guān)的規(guī)范變換，A A4，則(13.23)的左邊成為(13.24)對(duì)非穩(wěn)恒(13.25)(13.26)(13.27)ic'A4 ic'A4 icJ它

11、不具有規(guī)范不變性，和規(guī)范不變?cè)硪箅妶?chǎng)E在規(guī)范變換下不變不相適應(yīng)。電磁場(chǎng)，為了抵消(13.24 )的第二項(xiàng)，嘗試把(13.23)推廣為E 2 A4 a；：A對(duì)上式作規(guī)范變換，E =ic、A4 a：；A =汐(A4：】)a：4(A)二 ic'、A4 a：；A (ic a)：；'= E (ic a)：；'、可見規(guī)范不變?cè)硪骯 - -ic因此，四維勢(shì)和電場(chǎng)的一般關(guān)系為aq nEA（13.28）對(duì)它取散度，利用（13.22）得a n'、EB（13.29）ct上式說(shuō)明變化的磁場(chǎng)可以產(chǎn)生電場(chǎng)，而且這種電場(chǎng)的旋度不等于零，這就是電磁感應(yīng)現(xiàn)象。注意，由于非穩(wěn)恒電場(chǎng)的旋度不

12、等于零，電場(chǎng)力不再是保守力，因而標(biāo)勢(shì)也失去了勢(shì)能函數(shù)的含義。場(chǎng)方程的第4個(gè)分量，擊A -總（EpA=Poj4（ 13.30）簡(jiǎn)化后即A 二-丄（ 13.31）乙：:t；o應(yīng)用（13.28）式得- 1E（ 13.32）可見高斯定律是普遍成立的。2 - 場(chǎng)方程的前三個(gè)分量即（13.13）式。禾U用恒等式I C A）C 人）-、A，可以將（ 13.13）式簡(jiǎn)化為'、c A）二 2 A 二0j（13.33）c ctc ct利用（13.22）和（13.28）,上式寫成'、' BE 二 j（13.34）c :t前述關(guān)于電磁場(chǎng)的互相獨(dú)立的普遍公式小結(jié)如下：N& 乂E'

13、 B（13.35）-1- 1 E（13.36）1'、2 丄 E（13.37）C員I B =0（13.38）這組方程就是著名的麥克斯威方程組，它是電磁場(chǎng)的基本方程。從克斯威方程組的積分形式可以更直觀地看到它的意義。（1）方程（13.35 ）式在一固定曲面S上對(duì)之積分，Il G E） dsB ds（13.39）sC s應(yīng)用斯托克斯公式于左邊，得：E dl（13.40）S;t其中: iiB ds是通過(guò)曲面 S的磁通。上式左邊是曲面邊界環(huán)路的感生電動(dòng)勢(shì)，即單位S電荷沿環(huán)路走一圈的過(guò)程中電磁場(chǎng)對(duì)電荷做的功。如果環(huán)路為金屬導(dǎo)線，變化磁通感生出的電動(dòng)勢(shì)便會(huì)在導(dǎo)線上形成電流。這就是法拉第 1831年發(fā)

14、現(xiàn)的動(dòng)磁生電現(xiàn)象。（2）方程（13.36 ）式它是庫(kù)侖定律的推廣，普遍地適用于穩(wěn)恒和非穩(wěn)恒電場(chǎng)。這個(gè)公式稱為高斯定律，表明電荷是電場(chǎng)的一種源。在區(qū)域V對(duì)方程兩邊積分，利用高斯公式把左邊得體積分變成閉合曲面積分，得- _1 3Edsd3x（13.41）V；0 V它表示通過(guò)閉合曲面得電通量等于閉合曲面包含得電荷除以真空介電常數(shù)。（3）方程（13.37 ）式此式表明，電場(chǎng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率對(duì)磁場(chǎng)的貢獻(xiàn)和電流一樣。麥克斯威首先注意到這一點(diǎn)，并把該變化率稱為位移電流密度，jD = ；0 - tE（13.42）這一項(xiàng)對(duì)認(rèn)識(shí)電磁波至關(guān)重要。在一固定曲面S上對(duì)（13.37）積分，并應(yīng)用斯托克斯公式于左邊得B d

15、l 二 I H： j - Jd ds（13.43）SS它表明磁場(chǎng)沿一曲面邊界的路徑積分等于電流和位移電流通過(guò)該曲面得通量之和乘真空磁 導(dǎo)率常數(shù)。對(duì)（13.37）取散度，- 1Ofc利用（13.36）式，便得到電荷守恒對(duì)應(yīng)的連續(xù)性方程（13.4）式。（4）方程（13.38 ）式在一空間區(qū)域?qū)Ψ匠谭e分，應(yīng)用高斯公式化成沿區(qū)域封閉界面的積分，得i i B ds =0（13.44）&它反映了磁荷（磁單極）不存在的事實(shí)。假如存在磁荷，麥克斯威方程會(huì)是怎樣的呢？狄拉 克曾對(duì)此作了深入研究。但磁荷至今沒(méi)有被發(fā)現(xiàn)。方程組（13.40），（ 13.41 ），（ 13.43）和（13.44）是麥克斯威方程

16、組的積分形式。在電荷 密度和電流密度不連續(xù)的區(qū)域也可以使用積分形式的麥克斯威方程組。12.5電介質(zhì)模型和理想導(dǎo)體相反的是電介質(zhì)，其中沒(méi)有可以作宏觀移動(dòng)的自由電荷。我們現(xiàn)在討論的電磁現(xiàn)象都是關(guān)于宏觀對(duì)象的，涉及的強(qiáng)度量都是對(duì)宏觀小、微觀大的小體積平均后的宏觀物 理量。被原子束縛的電子活動(dòng)范圍非常小（1埃左右）并且極快地運(yùn)動(dòng)著，所以在宏觀尺度不能顯示出來(lái)近十多年興起的介觀物理研究的尺度在納米到埃之間，在這個(gè)尺度微觀運(yùn)動(dòng)變得重要了。需要考慮到電 子的量子行為（下冊(cè)第四篇）。電介質(zhì)的一個(gè)簡(jiǎn)單模型假設(shè)沒(méi)有外電場(chǎng)時(shí)電介質(zhì)內(nèi)部不出現(xiàn)宏觀電流分布，其內(nèi)部的宏觀電磁場(chǎng)也等于零。 加上外電場(chǎng)之后，電介質(zhì)中的帶電粒

17、子受到電場(chǎng)的作用，正負(fù)電荷發(fā)生相對(duì)位移，或者極性分子（原來(lái)正負(fù)電荷中心不重合的分子）的取向從無(wú)規(guī)狀態(tài)變成有一定頃向性的狀態(tài)。這就是電極化現(xiàn)象。由于發(fā)生了電極化，電介質(zhì)內(nèi)部不均勻處和表面便出現(xiàn) 宏觀的電荷分布。我們稱這種電荷為束縛電荷。束縛電荷反過(guò)來(lái)會(huì)激發(fā)出電場(chǎng)，使電介質(zhì)極化的電場(chǎng)實(shí)際上是外加電場(chǎng)和束縛電荷激發(fā)的電場(chǎng)之和。自由電荷密度和束縛電荷密度分別記為6和 訂。由高斯定律，；oE - I 訂（12.59）束縛電荷密度是難以直接計(jì)算和控制的，因此通常引入電介質(zhì)的物性參數(shù)來(lái)描寫束縛電荷的效應(yīng)，盡量在基本方程中消去。把電介質(zhì)想象成很多微觀的電偶極子的集合pj ?。宏觀電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度P描述

18、，它等于物理小體積V內(nèi)總微觀電偶極矩與小體積之比（參見圖12-8），-送PiP =-（ 12.60）AV圖12-8.方盒子為物理小體積V，l為假想的電偶極子的電荷位移。ds是正在考慮中的界面。設(shè)電偶極子的數(shù)密度為 n，并假想電偶極子的電荷位移為I，則跨過(guò)小體積V的界面微元ds的電偶極子數(shù)目微 nl ds。每一個(gè)這樣的電偶極子都把一個(gè)正電荷留在界面的外側(cè)，故 留在界面外側(cè)的總電荷量為對(duì) V的邊界S積分，得到小體積內(nèi)電荷量（等于留在外面的電荷量的負(fù)值）?pd3(12.62)r - -： P ds - - C P）d3rS.V最后一等式用了高斯公式。因此，(12.63)代入（12.59）式得對(duì)各向同

19、性得均勻電介質(zhì),(12.64)最簡(jiǎn)單得模型是假設(shè) P正比于電場(chǎng)E。定義其比例系數(shù)為e ；0，稱e為電介質(zhì)的極化率。引入一個(gè)輔助場(chǎng)電位移矢量(12.65)其中丫稱為相對(duì)介電常數(shù),；稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)。利用電位移矢量,(12.64)寫成;0E P = ；0 (1-'e) E 三.0 ;r E 三.E(12.66)利用高斯公式把矢量場(chǎng)散度的體積分變成矢量場(chǎng)沿區(qū)域邊界的在任意空間區(qū)域?qū)ι鲜椒e分， 面積分，得到（12.66）的積分形式,i-i D ds = Q fS上式是適用于電介質(zhì)的高斯定律。引入介電常數(shù)；可以使我們?cè)谟?jì)算電介質(zhì)靜電場(chǎng)時(shí)避免涉及電介質(zhì)內(nèi)部極化的細(xì)節(jié)。需要指出的是，（12.65

20、）式只在緩慢變化的外場(chǎng)下對(duì)某些介質(zhì)近似適用。對(duì)高頻電磁場(chǎng)，介電 常數(shù)一般明顯依賴于頻率。對(duì)各向異性的系統(tǒng)要把（Di八；叵，j如12.65 ）式推廣為i, j =x,y,z(12.67)(12.68)對(duì)非線性電介質(zhì)，需要考慮高階項(xiàng),DTjijEj、；jkEjEkj,k(12.69)在電介質(zhì)的界面，等價(jià)于（12.75 ）和（12.78 ）有關(guān)于電勢(shì)的邊界條件（習(xí)題），'2 一:n(12.79)1(12.80)（12.79）式中的亠表示沿法向求導(dǎo)數(shù)。對(duì)靜電問(wèn)題，通常求電勢(shì)比較方便。電勢(shì)滿足泊松方程（ 荷為零，故（12.8）可寫成12.8）。在均勻介質(zhì)內(nèi)束縛電2 .' f'、

21、（12.81）；0在界面，電勢(shì)滿足邊界條件（12.79）和（12.80）。要完全確定電勢(shì)解，除了（12.81）和界面條件外，還要確定邊界條件。靜電問(wèn)題的唯一性定理（參閱電動(dòng)力學(xué)，郭碩鴻，人民教育出版社）：設(shè)區(qū)域 V內(nèi)網(wǎng)I的自由電荷分布 6給定，在V的邊界:V上再給定電勢(shì) V或電勢(shì)的法向?qū)?shù) ，則 創(chuàng)I淨(jìng)區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)被唯一地確定。區(qū)域內(nèi)存在理想導(dǎo)體時(shí)，導(dǎo)體的邊界條件可以有兩種選擇：給定每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)或者給定每個(gè)導(dǎo)體總電荷。；1的電介質(zhì)在左邊，介電Q,球殼接地，半徑為 a。 例12.6同心導(dǎo)體球和球殼之間填滿兩種電介質(zhì)，介電常數(shù)為常數(shù)為名2的電介質(zhì)在右邊（圖 12-11）。中間的導(dǎo)體球帶電荷求電場(chǎng)

22、和球殼上的自由電荷分布。圖12-11.同心導(dǎo)體球和球殼。左介電常數(shù)；1 （ ；2）的電介質(zhì)。（右）邊填解：兩介質(zhì)的界面無(wú)自由電荷，故（ 向電場(chǎng)連續(xù)，12.75）導(dǎo)致法向電位移矢量連續(xù)，而（12.78）導(dǎo)致切Dm 二 D2n，E1t = E2t（例 12.24）電場(chǎng)要和導(dǎo)體表面垂直，讓我們嘗試徑向電場(chǎng)，設(shè)左右兩半球的電場(chǎng)分別為E fdr）?，E2 二 f2（r）?（例 12.25）（例 12.24）第其中f1（r）和f2（r）是兩個(gè)只依賴于半徑的待定函數(shù)，他們必須相等才能保證 二個(gè)式成立，所以 £ = f2二f （r）。根據(jù)電介質(zhì)的線性模型，電位移矢量為D1 二；也 二 /（r）?,D

23、2 二；2E2 二 J（r）?（例 12.26）在包圍導(dǎo)體球的半徑為 r的同心球面（圖12-11中點(diǎn)線圈）上應(yīng)用高斯定律，記左（右） 半球面為S1（ S2），11 D ds -£ ds 亠 i i <-2E2 ds=Q（例 12.27）sqs2把（例12.25）代入上式得Q - M ! f （r）r2sinvdW；亠？.2 h f（r）r2sinvdvdSiS2（例 12.28）2=2- （；i；2）f （r）r因此f（r） =Q22二（r 亠：2）r（例 12.29）于是在（例12.25）式的徑向電場(chǎng)假設(shè)下得到電場(chǎng)為（例 12.30）球殼接地，意味著它的電勢(shì)是固定的；又給定了

24、導(dǎo)體球的電荷，故本題符合唯一性定理的條件。解（例12.30）滿足所有界面條件和邊界條件，根據(jù)唯一性定理，它就是所求的電 場(chǎng)。導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)和電位移矢量等于零。根據(jù)（12.75），左邊導(dǎo)體殼上的自由電荷面密度為=D1?= “E r?|r=a =mQ22二（“；2）a（例 12.31）同理，右邊導(dǎo)體殼上的電荷自由電荷面密度為二f 二 D2?= ；2E l?|r（例 12.32）例12.7半徑為a，介電常數(shù)為；的介電球置于均勻外電場(chǎng)E0中，如圖12-12，求電勢(shì)、電場(chǎng)、介質(zhì)球的極化強(qiáng)度和電偶極矩。圖12-12.均勻外電場(chǎng)中的介質(zhì)球。'、2 0解：因?yàn)樵谒紤]空間不存在自由電荷，電勢(shì)滿足拉普拉斯

25、方程（沒(méi)有源的泊松方程）（例 12.33）以球心為原點(diǎn)，沿外電場(chǎng)方向作 Z軸。讓我們先討論拉普拉斯方程軸對(duì)稱性解的一般形式。拉普拉斯方程有兩個(gè)簡(jiǎn)單的特解：（1 ）處于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)（此解在原點(diǎn)奇異，故定義域不包含原點(diǎn)）；（2）Z方向均勻電場(chǎng)對(duì)應(yīng)的電勢(shì)。這兩個(gè)解的數(shù)學(xué)形式為，F(xiàn)（r）二1（例 12.34）r:1（2） （r） = z = r cost（例 12.35）因?yàn)槎詁八 2-：2 n側(cè) 12.36）:z: z所以，如果是拉普拉斯方程的解，則匚也是拉普拉斯方程的解。 應(yīng)用于特解（例12.34），:z:01）得到一系列新的特解,（例 12.37）1 .2 COS T r譏）二7亠2

26、jz23cos v -13r（例 12.38）. 1計(jì)° （r ） F R （COST）（例 12.39）r函數(shù)Pn（COS）是著名的勒讓德多項(xiàng)式，適當(dāng)選擇系數(shù)可以寫成前面幾個(gè)多項(xiàng)式德表達(dá)式如下,Pn（COS）二dn2n n! d （cos）n（例 12.40）（例 12.41）并非所有獨(dú)立的解都可以寫成（例P （cos 二）=COS 二（例 12.42）12F2（cosT（3 cos 二 -1）13F3（cos）（5cos J -3cosR（例 12.43）（例 12.44）12.39）的形式，例如特解（例12.35 ）就不行。為了得到所有可能形式的解，讓我們討論拉普拉斯方程的特點(diǎn)

27、。在球坐標(biāo)下, 2 _ 1 ：一 2 ：一 1 1 :rsin 二2 aa2. 口 嚴(yán)口 Bl 2.2口2r r -r r sin 二 二 r r sin -（例 12.45）=R(r)0(旳代入(12.33)得到0)4> r2R(r) R(r) si門二幺。(旳二。 r2 dr drr2sin日 d日d日兩邊除 R(r)4(r)/r2 ,(例 12.46)(例 12.47)1 d 2 r R(r) dr"4（丁）sin 丁 喬si門二 喬匕（'）二-(例 12.48)其中：與r和二都無(wú)關(guān)，是一常數(shù)。因此，拉普拉斯方程分解成徑向方程和角度有關(guān)的方程，r2 R（r） -

28、： R（r） = 0（例 12.49）dr drsindd-P(旳匕 si n 覽:()=0(例 12.50)從（例12.49）看到，徑向函數(shù) R（r）微分兩次再乘r2必須和原來(lái)的函數(shù)形式一樣，所以它具有形式kR(r) =rk(例 12.51)代入（例 12.49）得 > -k（k 1），（例 12.50）成為plsin)心(旳 k(k 1) si門坨=0(例 12.52)（例 12.39）的解對(duì)應(yīng)k二-n -1，即二n（n 1），其角度函數(shù)（勒讓德多項(xiàng)式）滿足,plsin d Pn(cos* n(n 1) s in rPn(cosr) =0 d日(例 12.53)其中n =0,1,2,

29、3/ o如果（例12.51）中的k取正整數(shù)（如特解（例 12.35）對(duì)應(yīng)k= 1），注意到（例12.52 ）和（例12.53）具有相同的形式，可知角度函數(shù)魚旳二Pk（COSd）。于是我們得到另一形式的解，k2)(r) =rkPk(cos 旳(例 12.54)可以證明，如果 k不是整數(shù)，則方程（例 12.52）的解是一無(wú)窮級(jí)數(shù)，而且再 v -0,二是發(fā)散。因此對(duì)于物理解，k必須是正負(fù)整數(shù)或零。因?yàn)槔绽狗匠淌蔷€性齊次的，任何解的線性疊加仍然是方程的解，所以拉普拉斯方程的軸對(duì)稱解的一般形式為，：(r)八一n =0nanrb百PnT(例 12.55)記介質(zhì)球內(nèi)的電勢(shì)為;：（1）,球F面我們通過(guò)界面

30、條件和邊界條件確定本題待求的電勢(shì)。外的電勢(shì)為（門廠+為|Pn（cosT）n*r丿2（r）八 Cnrn 出 Pn（cosr）n衛(wèi).r首先注意到再介質(zhì)球內(nèi)包含原點(diǎn)，而電勢(shì)在球內(nèi)必須有線限，所以在介質(zhì)球內(nèi)n =0,1,2,，故（r）二 anpcos"n =0對(duì)介質(zhì)球外的解，在無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)等于外加電場(chǎng)E0，即（2）（r）_ j E0rcosv - -E0rP1（co）與（例12.57）比較知，在介質(zhì)球外面,Cnn1 =°故介質(zhì)球外面的解為八；d（r）工E°rP1（cosd）亠二 詁 Pn（cos） n=9 r剩下的待定系數(shù)an和dn要由界面條件確定。根據(jù)（12.79）和（

31、12.80），:：（2）0.:rr =a:=S；=rr =a（r）| 八（r）|y把（例12.56）和（例12.57）代入上兩式并比較 R（COS日）的系數(shù)得比較Pn（cosr） , n = 1，的系數(shù)，得an In廣dn In廣0。從（例12.64 ）和（例 12.56）（例 12.57）0 =0，（例 12.58）（例 12.59）（例 12.60）（例 12.61）（例 12.62）（例 12.63）（例 12.64）（例 12.65）12.65）中解小1 =J-03E°a二亠 2 ;03 ；0a1 -Eo二亠 2 ；0（例 12.66）（例 12.67）最后得到所求得電勢(shì)解為

32、（r）二II改用柱坐標(biāo)，"Z）:a在柱坐標(biāo)中，'-=e?'：cP-E0r cost-EoZr cost3 ；o Eo 三亠2 ；0；20Eoa'cosv2r（例 12.68）球內(nèi)的極化強(qiáng)度為因?yàn)殡妶?chǎng)在球內(nèi)是均勻的, 體積乘極化強(qiáng)度，它在球外引起的電勢(shì)由例23£oEo z二亠 2 ；0；-；oE°a z；2o （；亠 z）&乜7Z，所以電場(chǎng)為，3 名o Eo；2。7 +E°a3（P22z2）?"0 ；2o （2 z2）5/2 ?；-o3E°a'z：e?_；2o（2Z2）5/2?Eor _ ar a

33、r _ ar a（例 12.69）（例 12.70）（例 12.71）所以極化強(qiáng)度也是均勻的。故介質(zhì)球的電偶極矩等于球的4 a33_ 4（- ；。）；°a；2。Eo（例 12.71）（例12.11 ）式給出,p（r） % a3E° r ；2° r3（例 12.72）這正是（12.68）或（12.69）式ra區(qū)域電勢(shì)的第二項(xiàng)。13.4電磁場(chǎng)邊值關(guān)系12.6電介質(zhì)的界面條件跨過(guò)電介質(zhì)界面作一個(gè)很小的垂直界面的扁平圓柱形高斯面如圖12-9。根據(jù)高斯定律，；（/卜1 E ds =QfQp（ 12.70）S其中Qf和Qp分別為高斯面包括的界面自由電荷和束縛電荷。圖12-9.

34、兩種介質(zhì)的界面。Ej和E2分別為界面處介質(zhì)1和介質(zhì)2中的電場(chǎng)。?為法向單位矢量。取側(cè)面高度趨向于零，則側(cè)面對(duì)（12.70 ）式的曲面積分沒(méi)有貢獻(xiàn)。因?yàn)楦咚姑婧苄。嫔舷旅娴碾妶?chǎng)可認(rèn)為是均勻的。（12.70）式成為；o（E2 -EJ nS=Qf Qp（ 12.71）引入表面自由電荷密度 -f =Qf/S和表面束縛電荷密度 二p =Qp/S，上式寫成；o（E2 -EJ二 p（ 12.72）又從（12.62）知道，束縛電荷可以寫成電極化強(qiáng)度P沿閉合曲面積分，I I P dS 二-Qp（ 12.73）S取側(cè)面高度趨向于零，則側(cè)面對(duì)（12.73 ）式的曲面積分沒(méi)有貢獻(xiàn)。因?yàn)楦咚姑婧苄。嫔舷旅娴碾姌O

35、化強(qiáng)度 P可認(rèn)為是均勻的，于是（P2 -R） ?= f（ 12.74）代入（12.71 ）得0 E2 - E1 ?=匚 f - P2 - R n?D2 -Djr? - ； f（12.75）。直接應(yīng)用（12.66）式也可以得到L,如圖12-10。因?yàn)殪o電場(chǎng)的旋度（12.76）E1tsoE? + P2 卜(昴巳 + R )Lr?=<Tf這是關(guān)于電位移矢量的邊界條件（對(duì)非靜電場(chǎng)也適用）（12.75）式。跨過(guò)界面作一很小的垂直界面的狹長(zhǎng)矩形閉合回路 等于零（見（12.3）式），電場(chǎng)沿回路積分等于零，:E dr =0Lr?圖12-10.跨過(guò)介質(zhì)表面的閉合回路。取回路垂直界面的邊長(zhǎng)趨向于零，并設(shè)平行

36、界面的邊長(zhǎng)很短，上下邊的電場(chǎng)可認(rèn)為是 均勻的，（12.76）式成為(12.77)(12.78)E2 洛 l =0因?yàn)樨c法向單位矢量 ?垂直，所以上式也可以寫成E2 - E1? = 0此為界面上靜電場(chǎng)的第二個(gè)邊界條件。13.4電磁場(chǎng)的能量和能流電磁場(chǎng)是一種物質(zhì)，它本身應(yīng)該具有一定的能量。帶電粒子在電場(chǎng)中加速，能量增加， 增加的能量應(yīng)該來(lái)自于電場(chǎng)。在下一章我們將學(xué)到，帶電粒子速度變化時(shí)會(huì)發(fā)射（或吸收） 電磁波。因此能量可以在帶電粒子和電磁場(chǎng)之間轉(zhuǎn)移。在只有帶電粒子和電磁場(chǎng)的系統(tǒng)中， 我們相信兩者的能量之和是守恒的。假設(shè)電磁場(chǎng)的能量以某種方式分布在空間各處，弓I入能量密度w（x,t）來(lái)描寫能量的分

37、布。當(dāng)電磁場(chǎng)隨時(shí)間變化時(shí)，可以想象空間各點(diǎn)的能量也隨之變換。我們進(jìn)一步假定能量是定域守恒量，即空間一區(qū)域的能量變換必須通過(guò)伴隨著能量輸?shù)姆较颍拇笮〉扔趩挝粫r(shí)間流過(guò)與它的方向垂直的單位面積的能量。根據(jù)第十一章的洛倫茲力公式（11.22）,體積微元di中速度為V的帶電物質(zhì)受到的電 磁作用力等于df = E V Bd .（13.45）其中r為該帶電物質(zhì)的密度。電磁場(chǎng)對(duì)空間區(qū)域V中的帶電物質(zhì)作功的功率為v df ： |H Ev B vd. = ：?v Ed. = j Ed.（13.46）VVVV按照能量密度的定義，區(qū)域內(nèi)電磁能量的增加率等于d .wd .（13.47）dt V按照能流密度的定義，單

38、位時(shí)間內(nèi)通過(guò)區(qū)域的界面流入?yún)^(qū)域的能量等于i：iS ds - - '- Sd.（13.48）VV式中；:V表示區(qū)域V的界面，方向規(guī)定為指向區(qū)域的外部，故式中有一負(fù)號(hào)。根據(jù)能量守恒，（13.48）等于（13.46 ）與（13.47）之和,_ - - d一 Sdi = J j Edi 十一Jwdi（13.49）VVdt V因?yàn)閰^(qū)域V是任意的，故有微分方程'、S 丿=-j E（13.50）:t為了猜出 w和S的表達(dá)式，通過(guò)麥克斯威方程用電磁場(chǎng)表示（13.50）式的右邊。由（13.37 ）得一 -1- ej E E I B 1- ；°E（13.51）%ct利用矢量公式'

39、 a b =（'、 a） b-a （、b），上式化為(13.52).:tj E 斗 h E B E B L ；0E :E %利用（13.35）把中括號(hào)中得第一項(xiàng)寫成磁場(chǎng)得變化率，1和-E B-:E；:t(13.53)代入（13.50）；°E2_0并比較兩邊，發(fā)現(xiàn)電磁場(chǎng)能流密度和能量密度得一種可能得選擇為-1 -S E BLL'_0(13.54)；oEB22% 昔 E2(13.55)由（13.54）式定義得矢量稱為坡印亭矢量。需要指出的是，以上兩式給出能流密度和能量 密度僅是一種最簡(jiǎn)單的可能選擇，存在滿足能量守恒關(guān)系（13.50）的有其它解。至今還沒(méi)有實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)電磁場(chǎng)能量

40、的確切分布和流動(dòng)情況。13.5電磁場(chǎng)理論本節(jié)我們把電磁場(chǎng)理論納入第二篇介紹的力學(xué)框架，即以最小作用原理為第一性原理， 從新建立電磁場(chǎng)的經(jīng)典理論。（1 ）場(chǎng)強(qiáng)張量四維勢(shì)滿足的場(chǎng)方程（13.14 ）可以寫成,i A - A 二一"oj、（ 13.56）為了方便以后表述，在上式中我們對(duì)（13.14）的上下標(biāo)作了調(diào)整本書選擇的度規(guī)張量是 4乘4單位矩陣，即g、.二g兒二：丄，因此張量的指標(biāo)可以隨意提升和下降。 文中用上下標(biāo)來(lái)強(qiáng)調(diào)求和的重復(fù)指標(biāo)。定義四維場(chǎng)強(qiáng)張量F：二X. 一（ 13.57）利用場(chǎng)張量，場(chǎng)方程被寫成（ 13.58）容易驗(yàn)證四維場(chǎng)張量的重要性質(zhì)一一規(guī)范不變（習(xí)題 13.1 ）。因

41、此，場(chǎng)張量的分量是可 以測(cè)量的物理量。事實(shí)上它的分量可以和電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度聯(lián)系起來(lái)。利用（13.22）和（13.28 ）式，可以得到（習(xí)題 13.2）10B3_ B2iE1c_ B30B1iE2F =B2_ B10ciE3ciE1iE2iE30一 ccc(13.59)它是一個(gè)反對(duì)稱的 4乘4矩陣，也稱為法拉第張量 ”.矢勢(shì)A 相當(dāng)于電荷空間的聯(lián)絡(luò)，福克（Fock）和外爾（Weyl）把法拉第張量解釋為電荷空間的曲率張旦。電磁場(chǎng)張量按張量的一般變換方式變換，F(xiàn)= a：a.：F；（ 13.60）其中a :為洛倫茲變換矩陣。由（13.60）不難得到電磁場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)在兩個(gè)慣性系之間的變換方式,E = E

42、，B/ 二 B/(13.61)(13.62)E =Y(E +xB)|, B=Y BpXE i丄丄，丄I c2丿丄其中=1/ .1-v2/c2。（2 ）對(duì)偶變換真空中電荷密度和電流密度均等于零，因此真空麥克斯威方程組為'、EB(13.63)孜、E =0(13.64)- 1 ：；-v B 2 e(13.65)C t(13.66)這組方程式隱藏著電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間的對(duì)稱性，即真空麥克斯威方程組經(jīng)變換E；cB， B-；1E（ 13.67）C之后保持原來(lái)的樣子。這個(gè)變換稱為對(duì)偶變換，真空電磁場(chǎng)的這個(gè)對(duì)稱性稱為對(duì)偶對(duì)稱性。對(duì)偶變換等價(jià)于場(chǎng)張量的變換E3cE2E3E2-iB1cc0旦-iB2cEi0-i

43、B3ciB2iB30(13.68)引入全反對(duì)稱Levi-Civita符號(hào)；：它當(dāng)（川）是（1,2,3,4）的偶置換時(shí)等于1,是（1,2,3,4）的奇置換時(shí)等于-1，否則等于0。可以證明Levi-Civita符號(hào)是一個(gè)4階張量。利用Levi-Civita符號(hào)，對(duì)偶變換可以寫成(13.69)1LVF -； F2i ； ' F因?yàn)長(zhǎng)evi-Civita符號(hào)是張量，所以對(duì)偶場(chǎng)張量也是一個(gè)張量。易見，對(duì)對(duì)偶場(chǎng)張量作對(duì)偶變換得到- F。利用對(duì)偶場(chǎng)張量可以把麥克斯威方程組中的（詢二013.35）和（13.38）式寫成緊湊的形式,（13.70）如果用場(chǎng)張量來(lái)表示，上式可寫成(13.71)（13.70）

44、和與之等價(jià)的（13.71）是引入矢勢(shì)描寫電磁場(chǎng)所需要滿足的自洽條件。換句話說(shuō), 如果場(chǎng)張量F由（13.59）式定義，而其中的電磁場(chǎng)強(qiáng)度 E和B和矢勢(shì)的關(guān)系分別由（13.28）和（13.22）式給出，則（13.70）（即（13.71）成為恒等式，幾何學(xué)上稱為Bianchi恒等式。矩陣方程（13.58）加上（13.70）式和麥克斯威方程等價(jià)。這兩條方程有非常相似的形 式，尤其是對(duì)電流密度等于零（真空）的情形。如果有磁單極子，（13.70）的右邊將出現(xiàn)磁單極流密度，這樣（13.58 ）和（13.70）式便完全對(duì)稱。但這么一來(lái)，就不能自洽地引入矢 勢(shì)了。（3 ）作用量和場(chǎng)方程如第二篇第五章，電磁場(chǎng)的動(dòng)

45、力學(xué)方程即場(chǎng)方程也可以納入最小作用量原理的框架。 對(duì)于一個(gè)定域的理論，作用量一般地可以寫成拉格朗日密度的四維時(shí)空積分。l=jLdt=l （x）d4x（ 13.72）拉格朗日密度（x）是基本自由度及其導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)。要寫出電磁場(chǎng)的拉格朗日密度，首先 要知道電磁場(chǎng)的基本自由度。我們至今介紹了兩套描寫電磁場(chǎng)的方案，一種方案采用場(chǎng)強(qiáng)E和B作基本變量，另一種采用四維矢勢(shì) A卩（卩=1,2,3,4 ）。場(chǎng)強(qiáng)滿足麥克斯威方程組。麥克斯威方程組只含時(shí)間的一次微分，因此場(chǎng)強(qiáng)的演化由任意給定時(shí)刻的場(chǎng)強(qiáng)完全確定。每一空間點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度分別有三個(gè)分量，所以對(duì)每一空間點(diǎn)需要知道6個(gè)實(shí)數(shù)分量的初始條件。四維矢勢(shì)

46、有四個(gè)分量，但存在規(guī)范任意性。在一小區(qū)域內(nèi)可取特定規(guī)范把規(guī)范任意性完全消除，剩下三個(gè)分量（例如取時(shí)性規(guī)范 A4 =0 ），故四維矢勢(shì)實(shí)際上只有 3個(gè)獨(dú)立分量。 關(guān)于四維矢勢(shì)的場(chǎng)方程是時(shí)間的二階微分方程，所以需要知道某時(shí)刻的三個(gè)獨(dú)立矢勢(shì)分量和他們的一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)作為初始條件才能完全確定四維矢勢(shì)的演化。可見，至少就局部性質(zhì)而言，場(chǎng)強(qiáng)和四維矢勢(shì)的自由度是一樣的。但已經(jīng)知道存在不 能在全空間選取單一規(guī)范的情況，使得電磁場(chǎng)得一些大范圍整體性質(zhì)不能用場(chǎng)強(qiáng)描述，而只能用四維矢勢(shì)來(lái)描述。場(chǎng)強(qiáng)不足以完全描寫電磁場(chǎng)，四維矢勢(shì)能完整描寫電磁場(chǎng)但又有多余的任意性。因?yàn)殛P(guān)于四維矢勢(shì)的場(chǎng)方程是時(shí)間的二階微分方程，選用四維矢勢(shì)為基本自由度可以 建立和質(zhì)點(diǎn)力學(xué)類似的動(dòng)力學(xué)。暫時(shí)不考慮規(guī)范任意性，認(rèn)為電磁場(chǎng)的自由度為 A "（x）|=1,2,3,4;x V二其中V為電磁場(chǎng)存在的空間。拉格朗日量是拉格朗日密度的 空間積分，而拉格朗日密度是依賴于A*x）,二（x）和電流密度j "（x）的函數(shù)，L. （Al（x