1、第2課時等比數列的性質1復習鞏固等比數列的概念及其通項公式2掌握等比中項的應用3掌握等比數列的性質，并能解決有關問題1等比數列的定義及通項公式【做一做1】 等比數列an的公比q3，a1，則a5等于()A3 B9 C27 D812等比中項如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成_，那么G叫做a，b的等比中項，這三個數滿足關系式_【做一做2】 已知10是a與20的等比中項，則a_.答案：1同一個常數公比qana1qn1anan1q【做一做1】 C2等比數列G2ab【做一做2】 51等比數列的性質剖析：已知等比數列an中，首項為a1，公比為q(q0)，則ana1·qn1.(1)當q1，

2、a10或0q1，a10時，數列an是遞增數列；當q1，a10或0q1，a10時，數列an是遞減數列；當q1時，數列an是常數列；當q0時，數列an是擺動數列(它所有的奇數項同號，所有的偶數項也同號，但是奇數項與偶數項異號)(2)anam·qnm(m，nN*)(3)當mnpq(m，n，p，qN*)時，有am·anap·aq.(4)數列an是有窮數列，則與首末兩項等距離的兩項的積相等，且等于首末兩項之積，即a1·ana2·an1a3·an2am·anm1.(5)數列an(為不等于零的常數)仍是公比為q的等比數列；若數列bn是公比

3、為q的等比數列，則數列an·bn是公比為q·q的等比數列；數列是公比為的等比數列；數列|an|是公比為|q|的等比數列(6)在數列an中，每隔k(kN*)項取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，且公比為qk1.(7)當數列an是各項都為正數的等比數列時，數列lg an是公差為lg q的等差數列(8)在數列an中，連續取相鄰k項的和(或積)構成公比為qk(或qk2)的等比數列(9)若m，n，p(m，n，pN*)成等差數列，則am，an，ap成等比數列利用等比數列的通項公式易證性質(1)(2)(3)(4)，下面證明其他幾條性質(5)ana1·qn1，an&

4、#183;a1·qn1(a1)·qn1.又0，數列an是首項為a1，公比為q的等比數列bnb1·(q)(n1)，ana1·qn1，an·bna1·qn1·b1·(q)(n1)(a1·b1)·(q·q)n1.數列an·bn表示首項為a1·b1，公比為q·q的等比數列由·n1，得數列表示首項為，公比為的等比數列|an|a1·qn1|a1|·|q|n1，故數列|an|表示首項為|a1|，公比為|q|的等比數列(6)例如，等比數列an

5、中，從首項a1開始每隔3項取出一項構成新數列為a4，a8，a12，a16，a20，a24，.ana1·qn1，且新數列中q4，當每隔k項取出一項時，變為qk1.(7)an0且ana1·qn1(q0)，lg anlg(a1·qn1)lg anlg an1lg(a1·qn1)lg(a1·qn2)(lg a1lg qn1)(lg a1lg qn2)lg qn1lg qn2(n1)lg q(n2)lg qlg q(常數)數列lg an是公差為lg q的等差數列(8)例如，等比數列an中，從首項a1開始，連續取相鄰兩項的和，構成新數列為a1a2，a3a4

6、，a5a6，a7a8，.q2，連續取相鄰k項的和時，變為：qk.(9)mp2n且m，n，pN*，ama1·qm1，ana1·qn1，apa1·qp1，am·apa1·qm1·a1·qp1a·qmp2(a1·)2(a1·qn1)2a.am，an，ap成等比數列2等差數列與等比數列的區別與聯系剖析：等差數列與等比數列的區別與聯系如下表所示等差數列等比數列不同點(1)強調每一項與前一項的差；(2)a1和d可以為0；(3)任意兩個實數的等差中項唯一；(4)當mnpq(m，n，p，qN*)時，amanap

7、aq.(1)強調每一項與前一項的比；(2)a1與q均不為0；(3)兩個同號實數(不為0)的等比中項有兩個值；(4)當mnpq(m，n，p，qN*)時，amanapaq.相同點(1)都強調每一項與其前一項的關系；(2)結果都必須是常數；(3)數列都可以由a1，d或a1，q確定聯系(1)若an為正項等比數列，則logman為等差數列，其中m0，且m1.(2)若an為等差數列，則ban為等比數列；(3)非零常數列既是等差數列又是等比數列.3.在等比數列an中，若mnk(m，n，kN*)，則amanak不成立剖析：設等比數列an的公比為q，則amana1qm1a1qn1a1q1(qmqn)，akamn

8、a1qmn1a1q1(qmn)由于qmqnqmn不成立，則amanak不成立根據以上推導過程也可知，此時amanak也不成立例如，等比數列an的公比q2，a11，則a11，a22，a34，則a1a23a3，a1a22a3.題型一 等比數列的性質的應用【例題1】 已知等比數列an中，a2a6a101，求a3a9.分析：既可以利用通項公式計算，也可以運用等比數列的性質計算反思：在等比數列的有關運算中，常涉及到次數較高的指數運算，若按常規解法，往往是建立關于a1和q的方程(組)，這樣解起來比較麻煩，如本題解法二而采用等比數列性質，進行整體變換，會起到化繁為簡的效果，如本題解法一題型二 等比中項的應用

9、【例題2】 已知四個數，前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，中間兩數之積為16，前后兩數之積為128，求這四個數分析：適當地設這四個數是解決本題的關鍵可利用a，q表示四個數，根據中間兩數之積為16，將中間兩數設為，aq，列方程解得a，q.這樣既可使未知量減少，同時解方程也較為方便反思：合理地設出所求的數是解決此類問題的關鍵一般地，三個數成等比數列，可設為，a，aq；三個數成等差數列，可設為ad，a，ad.答案：【例題1】 解法一：a2a10a26，a2a6a10a361，a61.a3a9a261.解法二：設公比為q，則a2a6a10a1q·a1q5·a1q9a31q151，a1q51.a3a9a1q2·a1q8(a1q5)21.【例題2】 解：設所求四個數為aq，aq，aq3，則由已知，得解得a4，q2或a4，q2或a4，q2或a4，q2.因此所求的四個數為4,2,8,32或4，2，8，32.1在等比數列an中，若a48，q2，則a7的值為()A64 B64 C48 D482等差數列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數列，則a2等于()A6 B8 C8 D63在等比數列an中，a2 011a2 012a2 01364，則a2 012_.4有四個實數，前三個數依次成等比數列，它們的積是8，后三個數依次成等差數列，它們的積為80，求