1、題目 (選修)第一章概率與統(tǒng)計離散型隨機變量的分布列高考要求 了解離散型隨機變量的意義，會求出某些簡單的離散型隨機變量的分布列知識點歸納 1隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量 隨機變量常用希臘字母、等表示2 離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量若是隨機變量，=a+b，其中a、b是常數(shù)，則也是隨機變量 3連續(xù)型隨機變量: 對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量 4離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的區(qū)別與聯(lián)系: 離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量都是用變量表示隨

2、機試驗的結(jié)果；但是離散型隨機變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機變量的結(jié)果不可以一一列出 5 離散型隨機變量的分布列: x1x2xiPP1P2Pi6 離散型隨機變量分布列的兩個性質(zhì)： )；P1+P2+=17 連續(xù)型隨機變量概率分布： 由頻率分布直方圖，估計總體分布密度曲線y=f(x)；總體分布密度函數(shù)的兩條基本性質(zhì)：f(x) 0(xR)；由曲線y=f(x)與x軸圍成面積為18二項分布:B(n，p)，并記b(k；n，p)01knP9幾何分布： g(k，p)= ，其中k0,1,2,， 123kP題型講解 例1 某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意連續(xù)取出2件，其中次

3、品數(shù)x 的概率分布是x012p解：大批產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品，認為次品數(shù)x 服從二項分布B(2, 005)空格中應(yīng)填 09025, 0095, 00025點評：離散型隨機變量的概率分布，二項分布是高考重點例2 在10件產(chǎn)品中有2件次品，連續(xù)抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列；（2）放回抽樣時，抽到次品數(shù)的分布列分析：隨機變量可以取0，1，2，也可以取0，1，2，3，放回抽樣和不放回抽樣對隨機變量的取值和相應(yīng)的概率都產(chǎn)生了變化，要具體問題具體分析解：（1）P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，所以的分布列為012P（2）P(=k)=C·083k·02k

4、（k=0，1，2，3），所以的分布列為0123PC083C082·02C08·022C023點評：求離散型隨機變量分布列要注意兩個問題：一是求出隨機變量所有可能的值；二是求出取每一個值時的概率 放回抽樣時，抽到的次品數(shù)為獨立重復(fù)試驗事件，即B（3，08）例3 一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以表示取出的三只球中的最小號碼，寫出隨機變量的分布列分析：因為在編號為1，2，3，4，5的球中，同時取3只，所以小號碼可能是1或2或3，即可以取1，2，3解：隨機變量的可能取值為1，2，3當(dāng)=1時，即取出的三只球中最小號碼為1，則其他兩只球只能在編號為2，3

5、，4，5的四只球中任取兩只，故有P（=1）=；當(dāng)=2時，即取出的三只球中最小號碼為2，則其他兩只球只能在編號為3，4，5的三只球中任取兩只，故有P（=2）=；當(dāng)=3時，即取出的三只球中最小號碼為3，則其他兩只球只能在編號為4，5的兩只球中任取兩只，故有P（=3）=因此，的分布列如下表所示：123P點評：求隨機變量的分布列，重要的基礎(chǔ)是概率的計算，如古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復(fù)試驗有k次發(fā)生的概率等本題中基本事件總數(shù)，即n=C，取每一個球的概率都屬古典概率（等可能性事件的概率）例4 袋中有4個黑球，3個白球，2個紅球，從中任取2個球，每取到一個黑球得0分，每

6、取到一個白球得1分，每取到一個紅球得2分，用表示分數(shù)，求的概率分布解：可能取的值為0,1,2,3,4，從袋中隨機地取2個球，包含的基本事件總數(shù)為 ，隨機變量的分布列為01234例5 已知盒中有10個燈泡，其中8個正品，2個次品需要從中取出2個正品，每次取出1個，取出后不放回，直到取出2個正品為止設(shè)為取出的次數(shù)，求的分布列及E分析：每次取1件產(chǎn)品，至少需2次，即最小為2，有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時，=4，所以可以取2，3，4解：P（=2）=×=；P（=3）=××+××=；P（=4）=1=的分布列如下：234PE=2×P（=2）

7、+3×P（=3）+4×P（=4）=點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力例6 盒中裝有一打（12個）乒乓球，其中9個新的，3個舊的（用過的球即為舊的），從盒中任取3個使用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)是一個隨機變量，求的分布列分析：從盒中任取3個，這3個可能全是舊的，2個舊的1個新的，1個舊的2個新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中舊球個數(shù)可能是3個，4個，5個，6個，即可以取3，4，5，6解：的所有可能取值為3，4，5，6P（=3）=；P（=4）=；P（=5）=；P（=6）=所以的分布列為3456P點評：本題的關(guān)鍵是

8、正確地求出取某個值時對應(yīng)的事件個數(shù)例6 某人參加射擊，擊中目標(biāo)的概率是設(shè)為他射擊6次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求隨機變量的分布列；設(shè)為他第一次擊中目標(biāo)時所需要射擊的次數(shù)，求的分布列；若他連續(xù)射擊6次，設(shè)為他第一次擊中目標(biāo)的次數(shù)，求的分布列；若他只有6顆子彈，若他擊中目標(biāo)，則不再射擊，否則子彈打完，求他射擊次數(shù)的分布列解：隨機變量服從二項分布，而的取值為0,1,2,3,4,5,6，則故的分布列為：0123456P設(shè)表示他前次未擊中目標(biāo)，而在第次射擊時擊中目標(biāo)，則的取值為全體正整數(shù)1,2,3,則的分布列為1234P設(shè)表示前次未擊中目標(biāo)，而第次擊中目標(biāo)，的取值為0,1,2,3,4,5，當(dāng)時，表示射擊6次均未擊

9、中目標(biāo)則而的分布列為0123456P設(shè)，表示前次未擊中，而第次擊中，；而表示前5次未擊中，第6次可以擊中，也可以未擊中的分布列為：123456P小結(jié)：1離散型隨機變量的概率分布的兩個本質(zhì)特征：pi0（i=1，2，n）與pi=1是確定分布列中參數(shù)值的依據(jù)2求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出取各個值的概率 即必須解決好兩個問題，一是求出的所有取值，二是求出取每一個值時的概率應(yīng)按下述三個步驟進行：明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；利用概率的有關(guān)知識，求出隨機變量每個取值的概率；按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證3離

10、散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和4處理有關(guān)離散型隨機變量的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于根據(jù)實際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機變量5求一些離散型隨機變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提學(xué)生練習(xí) 1拋擲兩顆骰子，所得點數(shù)之和為，那么=4表示的隨機試驗結(jié)果是A 兩顆都是2點 B一顆是3點，一顆是1點C兩顆都是4點 D一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點解析：對A、B中表示的隨機試驗的結(jié)果，隨機變量均取值4，而D是 =4代表的所有試驗結(jié)果掌握隨機變量的取值與它刻畫的隨機試驗的結(jié)果的對應(yīng)關(guān)系是理解隨機變量概念的

11、關(guān)鍵答案：D2下列表中能成為隨機變量的分布列的是（ ）A B101P030404123P040701C D101P030403123P030404解析：A、D不滿足分布列的基本性質(zhì)，B不滿足分布列的基本性質(zhì)答案：C3已知隨機變量的分布列為P（=k）=，k=1，2，則P（2<4）等于ABCD解析：P（2<4）=P（=3）+P（=4）=+=答案：A4袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量，則所有可能取值的個數(shù)是A5 B9 C10 D25解析：號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種

12、答案：B5一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了次球，則P（=12）等于AC（）10·（）2BC（）9（）2·CC（）9·（）2DC（）9·（）2解析：P（=12）表示第12次為紅球，前11次中有9次為紅球，從而P（=12）=C·（）9（）2×答案：B6某批數(shù)量較大的商品的次品率為10%，從中任意地連續(xù)取出5件，其中次品數(shù)的分布列為_解析：本題中商品數(shù)量較大，故從中任意抽取5件（不放回）可以看作是獨立重復(fù)試驗n=5，因而次品數(shù)服從二項分布，即B（5，01）的分

13、布列如下：012345P09505×09401×093001×09245×0140157設(shè)隨機變量B（2，p），B（4，p），若P（1）=，則P（1）=_解析：P（1）=1P（<1）=1Cp0·（1p）2=，p=，P（1）=1P（=0）=1C（）0（）4=1=答案： 8現(xiàn)有一大批種子，其中優(yōu)質(zhì)良種占30%，從中任取5粒，記為5粒中的優(yōu)質(zhì)良種粒數(shù)，則的分布列是_解析：B（5，03），的分布列是P（=k）=C03k075k，k=0，1，5答案：P（=k）=C03k075k，k=0，1，59袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球

14、得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機變量，則P（6）=_解析：取出的4只球中紅球個數(shù)可能為4，3，2，1個，黑球相應(yīng)個數(shù)為0，1，2，3個其分值為=4，6，8，10分P（6）=P（=4）+P（=6）=+=答案：10（2004年天津，理18）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù)（1）求的分布列；（2）求的數(shù)學(xué)期望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率解：（1）的可能取值為0，1，2P（=k）=，k=0，1，2的分布列為012P（2）由（1），可知E=0×+1×+2×=1（3）“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為P（1）=P（

15、=0）+P（=1）=11 A、B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官悾筷犎爢T，A隊隊員是A1、A2、A3，B隊隊員是B1、B2、B3，按以往多次比賽的統(tǒng)計，對陣隊員之間勝負概率如下：對陣隊員A隊隊員勝的概率A隊隊員負的概率A1對B1A2對B2A3對B3現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊得1分，負隊得0分設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為、（1）求、的概率分布；（2）求E、E分析：本題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念，考查運用概率知識解決實際問題的能力解：（1）、的可能取值分別為3，2，1，0P（=3）=××=，P（=2）=××+××+&#

16、215;×=，P（=1）=××+××+××=，P（=0）=××=；根據(jù)題意知+=3，所以P（=0）=P（=3）=，P（=1）=P（=2）=，P（=2）=P（=1）=，P（=3）=P（=0）=（2）E=3×+2×+1×+0×=；因為+=3，所以E=3E=12金工車間有10臺同類型的機床，每臺機床配備的電動機功率為10 kW，已知每臺機床工作時，平均每小時實際開動12 min，且開動與否是相互獨立的現(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只提供50 kW的電力，這10臺機床能夠正

17、常工作的概率為多大?在一個工作班的8 h內(nèi)，不能正常工作的時間大約是多少?分析：由實際問題確定隨機變量的取值，由獨立重復(fù)試驗求概率值解：設(shè)10臺機床中實際開動的機床數(shù)為隨機變量，由于機床類型相同，且機床的開動與否相互獨立，因此B（10，p）其中p是每臺機床開動的概率，由題意p=從而P（=k）=C（）k（）10k，k=0，1，2，1050 kW電力同時供給5臺機床開動，因而10臺機床同時開動的臺數(shù)不超過5臺時都可以正常工作這一事件的概率為P（5），P（5）=C（）10+C··（）9+C（）2·（）8+C（）3（）7+C（）4·（）6+C（）5·（）50994因此，在電力供應(yīng)為50 kW的條件下，機床不能正常工作的概率僅約為0006，從而在一個工作班的8 h內(nèi)，不能正常工作的時間只有大約8×60×0006=288（min），這說明，10臺機床的工作基本上不受電力供應(yīng)緊張的影響點評：分布列的實際應(yīng)用，應(yīng)結(jié)合題意給出答案13一袋中裝有5只球，編號為1，2，3，4，5，在袋中同時取3只，以表示取出的3只球中的最