1、全等三角形全章熱門考點(diǎn)與重點(diǎn)題型解題技巧整理（解析版）考點(diǎn)1:全等三角形判定的三種類型考點(diǎn)分析：一般三角形全等的判定方法有四種：SSS SAS, ASA, AAS；直角三角形是一種特殊的三角形，它的判定方法除了上述四種之外，還有一種特殊的方法，即HL”.具體到某一道題目時(shí)，要根據(jù)題目所給出的條件進(jìn)行觀察、分析，選擇合適的、簡(jiǎn)單易行的方法來解題.題型1已知一邊一角型應(yīng)用1 一次全等型1 .在 ABC 中，BD = DC, /1 = /2,求證：AD 平分/ BAC.2 .如圖，在 ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，連接 AD,過點(diǎn)B作BEXAD 于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CFLAD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,且BE=

2、 CF.求證：AD是4ABC的中線.I)應(yīng)用2二次全等型1.如圖,Z C=/D, AC = AD,求證：BC=BD.2.如圖所示，D是4ABC中BC邊上一點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，EB= EC, / BAE =Z CAE.求證/ ABE= Z ACE.A題型2已知兩邊型應(yīng)用1 一次全等型1 .如圖，在 RtAABC 中，/ACB=90°, CA= CB, D 是 AC 上一點(diǎn)，E 在 BC的延長(zhǎng)線上，且AE=BD, BD的延長(zhǎng)線與AE交于點(diǎn)F,試通過觀察、測(cè)量、 猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關(guān)系，并說明你的猜想的正確性.應(yīng)用2兩次全等型2 .如圖，AB= CB, AD=CD,

3、E是BD上任意一點(diǎn).求證：AE=CE.AB = AC,點(diǎn)D, E分別在AB, AC上，且CD =3 .如圖，/ BAC是鈍角, BE.求證：/ADC = /AEB.題型3已知兩角型應(yīng)用1 一次全等型1 .如圖，已知/ BDC = / CEB=90°, BE, CD 交于點(diǎn) O,且 AO 平分/ BAC. 求證：OB=OC.應(yīng)用2兩次全等型1 .如圖，在4ABC與4DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E,且/BAC=/CDB, /ACB=/DBC,分別延長(zhǎng)BA與CD交于點(diǎn)F.求證：BF = CF.考點(diǎn)3:證明三角形全等的四種思路考點(diǎn)分析：全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，是幾何入門最關(guān)鍵的一步

4、，學(xué)習(xí)了判定三角形全等的幾種方法之后，如何根據(jù)已知條件證明三角形全等，掌握證明全等的幾種思路尤為重要.題型1條件充足時(shí)直接用判定方法2 .如圖，AC 和 BD 相交于點(diǎn) O, OA=OC, OB=OD,求證：AB/ CD.Aa題型2條件不足時(shí)添加條件用判定方法3 .如圖，點(diǎn)A, F, C, D在一條直線上，AF = DC, BC/EF,請(qǐng)只補(bǔ)充一個(gè)條件，使得 ABCADEF,并說明理由.題型3非三角形問題中構(gòu)造全等三角形用判定方法4 .如圖，在四邊形 OACB中，CM，OA于M, /1 = /2, CA=CB,求證: (1)X3+74=180° (2)OA+ OB = 2OM.題型4

5、實(shí)際問題中建立全等三角形模型用判定方法5 .如圖，要測(cè)量AB的長(zhǎng)，因?yàn)闊o法過河接近點(diǎn) A,可以在AB所在直線外 任取一點(diǎn)D,在AB的延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn) E,連接ED和BD,并且延長(zhǎng)BD到G, 使DG = BD,延長(zhǎng)ED至I F,使DF = ED,連接FG,并延長(zhǎng)FG至U H,使H、D、 A在一條直線上，則HG = AB,試說明理由.考點(diǎn)4:構(gòu)造全等三角形的六種常用方法考點(diǎn)分析：在進(jìn)行幾何題的證明或計(jì)算時(shí)，需要在圖形中添加一些輔助線，輔助線能使題目中的條件比較集中， 能比較容易找到一些量之間的關(guān)系， 使數(shù)學(xué)問題較輕松地解決. 常 見的輔助線作法有：構(gòu)造法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、翻折法、倍長(zhǎng)中線法和截長(zhǎng)補(bǔ)

6、短法，目的都 是構(gòu)造全等三角形.題型1翻折法1 .如圖，在4ABC中，BE是/ABC的平分線，ADXBE,垂足為D.求證： /2= / 1 + /C.題型2基礎(chǔ)三角形法2 .如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90°, AC=BC, /ABC = 45°,點(diǎn) D 為BC的中點(diǎn)，CELAD于點(diǎn)E,其延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn)F,連接DF.求證：/ ADC = / BDF.題型3旋轉(zhuǎn)法3 .如圖，在正方形 ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE + DF=EF,求/ EAF的度數(shù).題型4平移法4 .在4ABC 中，/BAC = 60°, /C=40°

7、;, AP 平分/ BAC 交 BC 于點(diǎn) P, BQ平分/ ABC交AC于點(diǎn)Q,且AP與BQ相交于點(diǎn)。.求證：AB+ BP= BQ+ AQ.題型5倍長(zhǎng)中線法5 .如圖，在4ABC中，D為BC的中點(diǎn).(1)求證：AB + AC>2AD;(2)若AB = 5, AC = 3,求AD的取值范圍.題型6截長(zhǎng)補(bǔ)短法6 .如圖，AB/CD, CE, BE分別平分/ BCD和/ CBA,點(diǎn)E在AD上.求證：BC = AB+CD.考點(diǎn)5:角平分線中常用作輔助線的方法考點(diǎn)分析：因?yàn)榻堑钠椒志€已經(jīng)具備了全等三角形的兩個(gè)條件（角相等和公共邊），所以在處理角的平分線的問題時(shí)，常作出全等三角形的第三個(gè)條件，截兩

8、邊相等（SAS）或向兩邊作垂線段（AAS）或延長(zhǎng)線段等來構(gòu)造全等三角形.題型1作一邊的垂線段1 .如圖，已知4ABC的周長(zhǎng)是20 cm, BO, CO分別平分/ ABC和/ ACB,ODLBC 于點(diǎn) D,且 OD =3 cm,求 ABC的面積.題型2作兩邊的垂線段2 .如圖，已知/ AOB=90°, OM是/AOB的平分線，將三角尺的直角頂點(diǎn) P在射線OM上滑動(dòng)，兩直角邊分別與 OA, OB交于點(diǎn)C, D,證明：PC=PD.延長(zhǎng)作對(duì)稱圖形法3 .如圖，在4AOB 中，AO=OB, /AOB=90°, BD 平分/ ABO, AEXBD, 求證：BD = 2AE.題型4截取作

9、對(duì)稱圖形法4 .如圖，AD為4ABC的中線，DE, DF分別是4ADB和4ADC的角平分 線，求證：BE+ CF>EF.考點(diǎn)6:六種常見的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)分析：利用三角形全等解決實(shí)際問題的步驟:(1)明確應(yīng)用哪些知識(shí)來解決實(shí)際問題；(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出幾何圖形；(3)結(jié)合圖形和題意分析已知條件；(4)找到已知與未知的聯(lián)系，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q途徑，并表述清楚.題型1利用三角形全等測(cè)量池塘兩端的距離1 .如圖，為了測(cè)量出池塘兩端 A, B之間的距離，在地面上找到一點(diǎn)C,連接BC, AC,使/ACB=90°,然后在BC的延長(zhǎng)線上確定點(diǎn) D,使CD = BC, 那么只要測(cè)量出AD的長(zhǎng)度就得

10、到了 A, B兩點(diǎn)之間的距離.你能說明其中的道 理嗎？題型2利用三角形全等測(cè)量物體的內(nèi)徑2 .如圖，已知零件的外徑為a,要求它的厚度x,動(dòng)手制作一個(gè)簡(jiǎn)單的工具, 利用三角形全等的知識(shí)，求出x.題型3利用三角形全等判斷三點(diǎn)共線3 .如圖，公園里有一條 Z"字形道路ABCD,其中AB/CD,在AB, BC, CD三段路旁各有一個(gè)小石凳 E, M, F,且BE=CF, M在BC的中點(diǎn)，試判斷 三個(gè)石凳E, M, F是否恰好在一條直線上？為什么？E B利用三角形全等解決工程中的問題4 .如圖，工人師傅要在墻壁的點(diǎn) O處用鉆打孔，要使孔口從墻壁對(duì)面的點(diǎn)B處打開，墻壁厚35 cm,點(diǎn)B與點(diǎn)。的垂

11、直距離AB長(zhǎng)20 cm,在點(diǎn)O處作一 直線平行于地面，再在直線上截取 OC = 35 cm,過點(diǎn)C作OC的垂線，在垂線 上截取CD=20 cm,連接OD,然后沿著DO的方向打孔，結(jié)果鉆頭正好從點(diǎn) B 處打出，這是什么道理？題型5利用角平分線的性質(zhì)求面積5 .育新中學(xué)校園內(nèi)有一塊直角三角形（RtABC）空地，如圖所示，園藝師 傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在 ABD區(qū)域內(nèi)種 植了一串紅，在 ACD區(qū)域內(nèi)種植了雞冠花，并量得兩直角邊 AB = 20 m, AC =10 m,求兩種花草各種植的面積.題型6利用角平分線的判定和性質(zhì)設(shè)計(jì)方案6 .如圖，三條公路兩兩相交于 A, B,

12、 C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品超市, 要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，則可供選擇的地方有多少處？考點(diǎn)6:四種常見的幾何關(guān)系的探究考點(diǎn)分析：全等三角形的性質(zhì)和判定是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容， 也是學(xué)習(xí)其他幾何知識(shí) 的基礎(chǔ)，三角形全等的判定和性質(zhì)是證明線段相等、 角相等的重要依據(jù)， 并由此還可以獲得 直線之間的垂直（平行）關(guān)系，線段（面積）的和、差、倍、分關(guān)系.題型1位置關(guān)系1 .如圖，已知 BEXAC, CFXAB, BM = AC, CN=AB.求證：AM LAN.相等關(guān)系2 .已知AABC, AB=AC,將4ABC沿BC方向平移得到 DEF.（1）如圖，連接BD, AF,則BD AF.（填 多&q

13、uot; 或二'號(hào)）（2）如圖，M為AB邊上一點(diǎn)，過M作BC的平行線MN分別交邊AC, DE, DF 于點(diǎn) G, H, N,連接 BH, GF.求證：BA=GF.DADaCE F B題型3和差關(guān)系3 .如圖，/BCA= % CA=CB, C, E, F分別是直線 CD上的三點(diǎn)，且/ BEC = /CFA= %請(qǐng)?zhí)岢鰧?duì)EF, BE, AF三條線段之間數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并證 明.題型4倍數(shù)關(guān)系4 .如圖，在 RtzXABC 中，/ABC=/A, /ACB = 90°, D 為 AB 邊的中點(diǎn)， /EDF = 90°, / EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 AC, CB

14、（或它們的延長(zhǎng)線） 于點(diǎn)E, F.1當(dāng)/ EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DELAC于點(diǎn)E時(shí)（如圖（1）,易證S4 def + Sa cef= Szx abc；當(dāng)/EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖（2）和圖（3）這兩種情況 下，上述結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，Sa def, Sacef, Saabc 又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明你的猜想，不需證明.考點(diǎn)7:四類常見的熱門題型考點(diǎn)分析：本章主要學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)與判定及角平分線的性質(zhì)與判定，對(duì)于三角形全等主要考查利用全等三角形證明線段或角的等量關(guān)系，以及判斷位置關(guān)系等， 對(duì)于角平分線主要考查利用角平分線的性質(zhì)求距離、證線段相等.題型1

15、全等三角形的性質(zhì)與判定1 .如圖所示, 角形有（）A. 3對(duì)AB/EF/CD, /ABC=90°, AB=DC,那么圖中的全等三C. 1對(duì)B. 2對(duì)D. 0對(duì)5 .如圖，在4ABC中，AC=5, F是高AD和BE的交點(diǎn)，AD = BD,則BF 的長(zhǎng)是（）A. 7 B. 6 C. 5 D. 46 .如圖，在ZXABC中，已知 AB = AC, AD平分/ BAC,點(diǎn) M, N分別在AB, AC邊上,AM = 2MB, AN = 2NC,求證：DM = DN.題型4全等三角形性質(zhì)與判定的實(shí)際應(yīng)用1.某鐵路施工隊(duì)設(shè)鐵路的過程中，需要打通一座小山，如圖，設(shè)計(jì)時(shí)要測(cè) 量隧道AB的長(zhǎng)度.恰好山的前面是一片空地，利用這樣的有利地形，測(cè)量人員 是否可以利用三角形全等的知識(shí)測(cè)量出需要開挖隧道的長(zhǎng)度？請(qǐng)畫出你設(shè)計(jì)的 測(cè)量方法圖并說明理由.乂題型3角平分線的性質(zhì)與判定1 .如圖，AD是4ABC的角平分線，DFXAB,垂足為F, DE=DG, AADG和4AED的面積分別為50和39,則4EDF的面積為（）A. 11 B. 5.5 C. 7 D. 3.52 .如圖，在 AABC