1、第十章 電荷和靜電場10-1當用帶電玻璃棒吸引干燥軟木屑時，會發現軟木屑一接觸到玻璃棒后又很快跳離。試解釋之。答：先極化接觸后電荷一部分轉移至軟木屑，后同性電荷相斥。10-2當帶正電的玻璃棒吸引一個懸掛的干燥軟木小球時，我們是否可以斷定軟木小球帶有負電荷？當帶正電的玻璃棒排斥一個懸掛的干燥軟木小球時，我們是否可以斷定軟木小球帶有正電荷？答：不能。軟木小球可能帶電荷為零，也可能帶有負電荷。可以10-3兩個相同的小球質量都是，并帶有等量同號電荷，各用長為的絲線懸掛于同一點。由于電荷的斥力作用，使小球處于題圖所示的位置。如果角很小，試證明兩個小球的間距可近似地表示為：證：由庫侖定律得 ：而： 角很小

2、 故： 即得： 證畢 10-4 在上題中， 如果l = 120 cm，m = 0.010 kg，x = 5.0 cm，問每個小球所帶的電量q為多大？解：由上題得：10-5 氫原子由一個質子和一個電子組成。根據經典模型，在正常狀態下，電子繞核作圓周運動，軌道半徑是。質子的質量，電子的質量，它們的電量為 。(1)求電子所受的庫侖力；(2)電子所受庫侖力是質子對它的萬有引力的多少倍？(3)求電子繞核運動的速率。解： 10-6 邊長為a的立方體，每一個頂角上放一個電荷q。解： 由對稱性可知，任一頂角的電荷所受合力的大小是相等的。 如圖示，求其中任一頂點A上電荷所受的力。建立直角坐標系 與x軸夾角為 與

3、y軸夾角為 與z軸夾角為即：合力的方向為立方體的對角先方向=54.73=5444=10-7 計算一個直徑為1.56 cm的銅球所包含的正電荷電量。解： （注：銅的密度 ， 原子序數為29，原子量）10-8 一個帶正電的小球用長絲線懸掛著。如果要測量與該電荷處于同一水平面內某點的電場強度E，我們就把一個帶正電的試探電荷 引入該點，測定F/q0。問是小于、等于還是大于該點的電場強度E？答：若考慮電荷在電場力的作用下會在小球內產生移動（如圖所示）同性相斥，則由于試探電荷的引入，則該點的電場強度比要大。即，在沒有引入時，小球內的電荷分布是均勻的。10-9 根據點電荷的電場強度公式當所考查的點到該點電荷

4、的距離r接近零時，則電場強度趨于無限大，這顯然是沒有意義的。對此應作何解釋？答：這里是將電荷當作點電荷來處理，而實際情況當r接近零時電荷就不能認為是點電荷了。因此此時公式 不成立。10-10 離點電荷50 cm處的電場強度的大小為。求此點電荷的電量。解： 10-11 有兩個點電荷，電量分別為5.010-7C和2.810-8C，相距15 cm。求：(1)一個電荷在另一個電荷處產生的電場強度；(2)作用在每個電荷上的力已知：點電荷 求：解： （方向沿兩電荷聯線向外） （同上） （方向沿兩電荷聯線相互排斥）10-12 求由相距l的 q電荷所組成的電偶極子，在下面的兩個特殊空間內產生的電場強度：(1)

5、軸的延長線上距軸心為r處，并且r l；(2)軸的中垂面上距軸心為r處，并且r l。解：（1） （2）如圖示： 10-13 有一均勻帶電的細棒，長度為L，所帶總電量為q。求：(1)細棒延長線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且aL；(2)細棒中垂線上到棒中心的距離為a處的電場強度，并且aL。解：（1）取細棒的一線元，則中的電荷為。可視為點電荷 方向沿軸線方向 故： （2） 10-14 一個半徑為R的圓環均勻帶電，線電荷密度為l。求過環心并垂直于環面的軸線上與環心相距a的一點的電場強度。解：如圖：圓環上一線元上產生的電場強度為： 與其對稱的一線元產生的電場強度為 ：， 兩個電場強度的合成為： 故

6、： 10-15 一個半徑為R的圓盤均勻帶電，面電荷密度為。求過盤心并垂直于盤面的軸線上與盤心相距的P點電場強度。解：由上題知，圓環上電場強度 10-16 一個半徑為R的半球面均勻帶電，面電荷密度為s。求球心的電場強度。解：由題9-14知：圓環的電場強度為：10-17 回答下列問題: (1)處于高斯面內的任何位置上的電荷對該高斯面的電通量是否都有貢獻？是否只要電量相同，貢獻就相等？(2)處于高斯面外的任何位置上的電荷對該高斯面的電通量是否都無貢獻？(3)假設一個點電荷正好處于高斯面上，那么這個點電荷對該高斯面的電通量是否有貢獻？答：（1）是的。高斯面內的任何位置上電荷對高斯面的電通量都有貢獻。只

7、要電量相同，電性相同，貢獻就相同。 （2）處于高斯面外的任何位置上的電荷對該高斯面的電通量無貢獻。 （3）點電荷正好處于高斯面上，則這個點電荷對高斯面的電通量是有貢獻的。10-18 在高斯定理 中，高斯面上的E是否完全由式中的q所產生？如果q = 0，是否必定有？反之，如果在高斯面上E處處為零，是否必定有？答:否，高斯面上的不完全由式中的所產生. 不一定（只需垂直，即可）。而高斯面上的處處為零，則必有：。10-19如果把電場中的所有電荷分為兩類，一類是處于高斯面S內的電荷，其量用q表示，它們共同在高斯面上產生的電場強度為，另一類是處于高斯面S外的電荷，它們共同在高斯面上產生的電場強度為，顯然高

8、斯面上任一點的電場強度試證明： (1)； (2)解：高斯面的電通量可以表示為：顯然，上式中的第一項是高斯面內部電荷對高斯面電通量的貢獻，第二項是高斯面外部電荷對高斯面電通量的貢獻。高斯定理表述為“通過任意閉合曲面S的電通量，等于該閉合曲面所包圍的電量除以0，而與S以外的電荷無關。”可見，高斯面S以外的電荷對高斯面的電通量無貢獻。這句話在數學上應表示為： (1)所以，關系式的成立是高斯定理的直接結果。因為： 于是可以把高斯定理寫為：將式(1)代入上式，即得： (2)10-20 一個半徑為R的球面均勻帶電，面電荷密度為s。求球面內、外任意一點的電場強度。解: 如圖示. （1） 取高斯面 () (半

9、球為) 由高斯定理: 故 （2） 取高斯面為 () 由高斯定理: 的方向沿半徑向外.(垂直于球面)9-21 一個半徑為R的無限長圓柱體均勻帶電，體電荷密度為。求圓柱體內、外任意一點的電場強度。解:據題意.電場分布具有軸對稱,以對稱軸為x軸(如圖示) 取高斯面半徑為r.軸為x軸的柱面 (柱長為) () 則，由高斯定理: 方向垂直于x軸沿徑向向外. 當rR時.取高斯面為(如圖) 則，由高斯面定理: 方向垂直x軸沿徑向向外.10-22 兩個帶有等量異號電荷的平行平板，面電荷密度為 s，兩板相距d。當d比平板自身線度小得多時，可以認為兩平行板之間的電場是勻強電場，并且電荷是均勻分布在兩板相對的平面上。

10、(1)求兩板之間的電場強度；(2)當一個電子處于負電板面上從靜止狀態釋放，經過的時間撞擊在對面的正電板上，若，求電子撞擊正電板的速率。解:（1） 如圖示:據題意, d比平板的線度小得多. 電場強度的方向垂直于平行平板,取如圖示的柱面為高斯面(半徑為r) 則，由高斯定理: 方向如圖示,由上指向下.同理 方向由上指向下 方向由上指向下在平板以外,取高斯面包括兩個平板(仍為柱面). 則，由高斯定理： （2） 電子在電場中受電場力作用加速： 10-23 電勢為零的地方，電場強度是否一定為零？電場強度為零的地方，電勢是否一定為零？分別舉例說明之。答：電勢為零的地方，電場強度不一定為零電場強度為零的地方，

11、電勢也不一定為零如平行板電容器，當一個板接地時這個板的電勢為零但此時的電場強度不為零10-24 一個半徑為R的球體均勻帶電，電量為q，求空間各點的電勢。解： 方向沿往向向外當rR時： ；當rR時：當rR時：當rR時： 10-29 什么是導體的靜電平衡？金屬導體處于靜電平衡時具有哪些性質？答：在金屬導體中，自由電子沒有定向運動的狀態稱為靜電平衡。金屬導體處于靜電平衡時具有以下性質： （1）整個導體是等勢體，導體的表面是等勢面。 （2）導體表面附近的電場強度處處與表面垂直。 （3）導體內部不存在凈電荷，所有過剩電荷都必須在導體表面上。10-30如題圖所示，金屬球A和金屬球殼B同心放置，它們原先都不

12、帶電。設球A的半徑為R0 ，球殼B的內、外半徑分別為R1 和R2。求在下列情況下A、B的電勢差：(1)使B帶+q； (2)使A帶+q；(3)使A帶+q，使B帶-q； (4)使A帶-q，將B的外表面接地。解：（1）B帶+q 則導體B是一個等勢體內部的電場強度為零。 （2）A帶+q 則導體B產生靜電感應靜電平衡時： （3）A帶+q B帶 B球殼電荷全部部分布在內表面，則（4）A帶 B的外表面接地 即：10-31 兩平行的金屬平板和，相距，兩板面積都是 ，帶有等量異號電荷，正極板接地，如圖所示。忽略邊緣效應，問：(1) 板的電勢為多大？(2)在、之間且距板1.0 mm處的電勢為多大？已知： 求： （

13、如圖示）解：10-32 三塊相互平行的金屬平板a、b和c，面積都是 ，a、b相距4.0 mm，a、c相距2.0 mm，b、c兩板都接地，如圖所示。若使a板帶正電，電量為，略去邊緣效應，求：(1) b、c兩板上感應電荷的電量；(2) a板的電勢。已知： 求：、解：板上電量分布于它的兩個側面上，設右側面電量為，左側面的電量，則用高斯定理可證，板上感應電量為，板上感應電量為，均勻分布于與板相對的側面上，因此、兩板間場強及、兩板間場強分別為： （1）、兩板間及、兩板間電勢差分別為： 、都接地，電勢都為零，所以： 即： 所以： （2）由（1）（2）式得： 板上感應電荷即為： 板上感應電荷即為：板的電勢為

14、：10-33 如圖所示，空氣平板電容器是由兩塊相距0.5 mm的薄金屬片A、B所構成。若將此電容器放在一個金屬盒K內，金屬盒上、下兩壁分別與A、B都相距0.25 mm，電容器的電容變為原來的幾倍？解 將電容器AB放入盒中，在A、K間形成電容；B、K間形成電容而、成串聯關系，然后再與并聯（如圖示）可見，放入金屬盒中后，電容增大到原來的2倍。10-34 一塊長為、半徑為R的圓柱形電介質，沿軸線方向均勻極化，極化強度為P，求軸線上任意一點由極化電荷產生的電勢。解：建立如圖示的坐標系，極化電荷密度為：半徑為R的圓面，電荷面密度為的面電荷產生的電勢為： 對于均勻極化，極化電荷只出現在電介質的表面上10-

15、35 厚度為2.00 mm的云母片，用作平行板電容器的絕緣介質，其相對電容率為2。求當電容器充電至電壓為400 V時，云母片表面的極化電荷密度。解：故：10-36 平行板電容器兩極板的面積都是，相距。用電源對電容器充電至電壓， 然后將電源斷開。現將一塊厚度為、相對電容率為的電介質，平行地插入電容器中，求：(1)未插入電介質時電容器的電容 ； (2)電容器極板上所帶的自由電荷；(3)電容器極板與電介質之間的空隙中的電場強度 ； (4)電介質內的電場強度 ；(5)兩極板之間的電勢差； (6)插入電介質后電容器的電容。已知：平行板電容器 斷開電源Q不變， 求： 、解：(1) （2） （3）插入介質后

16、： （4） （5） （6）10-37 半徑為R的均勻電介質球，電容率為e，均勻帶電，總電量為q。求：(1)電介質球內、外電位移的分布； (2)電介質球內、外電場強度和電勢的分布；(3)電介質球內極化強度的分布； (4)球體表面和球體內部極化電荷的電量。R解：（1）由高斯定理：當時： 方向沿半徑向外，即： 當時： 方向沿半徑向外，即：（2）當時： 當時： （3） 當時： 當時： （4）球體內部極化電荷的電量為： 而球休表面極化電荷的電量為：10-38 一個半徑為R、電容率為的均勻電介質球的中心放有點電荷q，求：(1)電介質球內、外電位移的分布； (2)電介質球內、外電場強度和電勢的分布；(3)球體表面極化電荷的密度。解：（1） 無論在電介質內還是在球外的真空中上式都是適用的。 （2）當時： 當時： （3） 由： 得： 所以，球體表面極化電荷的密度為：10-39 如圖示中A是相對電容率為的電介質中離邊界極近的一點，已知電介質外的真空中的電場強度為E，其方向與界面法線n的夾角為，求：(1) A點的電場強度； (2)點A附近的界面上極化電荷密度解：（1）求解點A的電場強度可以分別求出點A電場強度的切向分量和法向分量，而這兩個分量可以根據邊界條件求得。根據電場強度的切向分量的