1、第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）0 6動力學普遍定理引言關于上次內容的問題:1動力學的抽象模型是什么？2什么是質點運動微分方程？與牛二定律有何關系？適用范圍是什么？3敘述你知道的動力學普遍定理（三大定理）。可解決任何動力學問題嗎？篆豔髯監翼1 勰魯雲爲豔勰專豔具有任意運動的物體引入新概念，建立新理論動能定理從不同方面表 動量定理示質點系“運動量矩定理動”蕃應的屋研究方法：牛頓第二定律匸ma = F僅對質點不僅適于質點，還適于質點系: V旬爾:動量沖量i力）r動量矩一一沖量矩（力矩）質點的普遍定理口質點系的從不同方面表 不“力”作用 強度的量普遍定理注：這種推導僅為方便和使理

2、論系統化，力學史上并非如此順序。事實 三大定理是單獨發現的，且早于牛頓第二定律；僅適于慣性參考系。第三篇 動力學 第12章動力學普遍定理（動能定理）力C動能定理：動能2動能1 =功問題：動能與功如何求？一對任意質點系和力（矩、偶） 本部分內容：§ 12-1動能§ 12-2 功§ 12-3動能定理（質點-質點系）§ 12-4功率 功率方程（簡介）§ 12-5勢力場勢能機械能守恒定律（自學）12.1動能動能：描述物體（整體）機械運動強度的量。以下一四提問。*質點系T = E丄叫比2= 平動剛體四.轉動剛體T =丄林22第三篇 動力學 第12章 動力

3、學普遍定理（動能定理）莎6五.柯尼希定理一"動能的合成”對任意質點系，選動系為隨質心平動的坐標系，應用 逮度合炭定理，易運：T = -MvZ.2質系_隨動系（質心）動能平動動能相對動系（質心） 之相劉動能“絕對動能”=“牽連動能” + “相對動能” 問題：對質點系任意一點4,可寫上述動能表達式嗎？ 六、平面運動剛體由上述定理，立即得:T = Mv 72質系動能=隨質心平動動能+相對質心之轉動動能可證，對瞬心CST丄/c.a>22以上為求平面運動剛體動能的兩種方法。第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）莎612.2 功 功：力（力偶）在位移上的累積效應。功的一般表達

4、式（提問）兀功:5W = F dr = F vdr = F cos ads = F ds注:5 W僅僅表示元功， 既非變分，也不一定為 全微分直角坐標系下：SW = Xdx+ /dy + Zdzr " 2 VV = I （Xd.v + Ydy + Zdz） 如二、幾種常見力的功（以下14提問。）W = Fs cos a2重力：*11常力：轎第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）©3 彈性力：如宀旳4.萬有引力:W = cMm (- )5 r6彈簧初.末時變形。其中C為引力常數,rP r2為二星體質心間.初.末時距離。5摩擦力的功：討論:靜滑動摩擦力作功嗎？舉例

5、。動滑動摩擦力作功嗎？若是，恒為負嗎？（如書p214所說）。舉例。#第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）必C6力偶與力矩的功:力偶：w =廣Md（p注：力偶作用的剛體可在平面內作任意運動。力矩：W = f 2 mo(F)d<pJ®注：僅限于定軸轉動剛體。7平面運動剛體上力的（元）功:除了由定義來求功，笊用力的平移定理或點的運 動合成.通常有兩種方法常用：（1）將力向質心平移SWF = F drc +）d>（2）將力向瞬心平移（僅對求元功較方便）#第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）習6三.力系的功功是標量，故 SW = Z5Wi W =四.

6、質點系內力的功提問：內力作功嗎？SW = 一尸肆）8#當為剛體（或幾何不變體系）時，內力的功 為零。否則不為零，如系統中有彈簧時。第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）習6鏈桿約固定端約束五.約束力的功柔性體約束提問：約束力作功嗎？ 光滑面約束N八A可爲較鏈看一下吧:較鏈約束A在一定意義下， 問題帶來很大方便。固定較鏈中間較鏈= 0理想約束d7 = 0若限定柔性體約束為 質點系內部約束約束力不作功，這給我們分析解決#第三篇 動力學第12章動力學普遍定理（動能定理）藝e12.3動能定理質點的動能定理ma = Fd v-、一-i_一- 一m= F1 y mdv = Fdf1 y /n

7、 v dv = F vd；牛二定律u>1 2 _ 1 2 1 2d( mv ) = 3Wmv ；mv ； = W2 22動能定理的微分形式動能定理的積分形式（有限形式）二、質點系的動能定理將質點系受力按主動力和約束力分，當為理想約束時，£5少村=0 ,對上面二式求和，有微分形式：dTh匸航作積分形式：T2一蘇=問題：動能定理可求什么量？求幾個？用何種方程？主動力、位移.速 度.加速度解題步驟：（一）取研究對象（一般為整體，且不去約束，即不取分離體）；（二）畫圖（受力圖只畫主動力，理想約束不做功；運動圖）；（三）列解方程。9第三篇 動力學第12章動力學普遍定理（動能定理）藝e考慮

8、整體。動能定理有兩種形式：積分式和微分式。積分式顯含速度，若求加速度，需考慮從初始位置到任意位置，列方程對時 間求導；微分式顯含速度微分，兩邊除以d/,即得加速度，但應考慮在任意位置列方程。一般來講，積分式容易理解，首先考慮用積分式求解。11第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）牙6解：設系統從初始到任意位置，重物上 升幾 畫出所有主動力和相關運動量， 圖。設初始動能：r0=0 任意位置動能：丁 = 口 + 幾"a1 P 2110 2 2=v +r 32 g22 g10 2 110 2 2 +Vc +r CD2 g22 g2g所有主動力做功:£叫=(Qsin

9、a - P)s2gP- 2-2vc 竺0 =(2 sin a 一 P) 2gdrdr11第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）牙6P十2Qvcac = (Q sin a - Pvc另解（微分式）:考慮系統在任意位山 血 置，系統有微小位移出，畫出所有主 八岀、4 動力和相關運動量，如圖。微分形式動能定理:dT =任意位置動能：(1)BP十2QQ0Q sin a - P "=-Z-8+丄丄纟入2 + LQvl +丄理® =2 g22 g2R13#所有主動力做元功:P 20 dT = vcdvcg= (0sin a P)ds#第三篇 動力學第12章動力學普遍定理（

10、動能定理）牙e代入（1）式，得兩邊除以dr,得P 20vcdvc = (Qsin a - P)ds2gP + 2。vcac =(? sin a 卩)十 2&Q sin a Pac = 8P 2Q總結：1. 應用積分式動能定理求加速度時，需要考慮從初始位置到任意位置這一 有限過程（大過程）；2. 應用微分式動能定理求加速度時，需要在任意位置考慮一無限小過程（小過程）,其中d卩由對動能卩求微分得到。13第三篇動力學第12章動力學普遍定理（動能定理）號6、 B例122需用到較多運動分析二稍難。（圖示橢圓機構在鉛直面內運動。 OC、AB為均質桿，OC=AC = BC = l, OC重幾 4重2

11、P, AB受 一常力偶在圖示位置，0= 30。,系統由靜止開始運動，求 當A運動到O時，4的速度咕。滑塊 質量不計，C為較鏈。分析：本題求速度，顯然用動能定理的積 分形式，考慮從初時位置（&二 30° ）到末時位置（&=90° ） o解：設系統從初時到末時位置。 畫出所有主動力和相關運動量， 如圖。初時動能：r1 = oM0Ae/14第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）跖G末時動能:由OC方位角相等，知moc = 60 AB = 316#由B點運動規律知，在最高點時速度為0,即4B鉛直時為瞬心。則vc = la）y v A = IIcd則系統

12、在末時動能：IIP 1 2P .1 1 2P 3 P =T、=f +（/血廠 +f =f23 g2 g22 g8g15第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）跖6所有主動力做功:nIflLWr = M P 一 sin 30。)一 2PI ( 一 sin 30。)32由動能定理#ICD =6/8 it A/ - 3() PI £/ (8 nA/ - 30 Pl v . = 2la)= J V Pa?2 - 0 = M - -Pl8 g34#第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）號6D例123典型例題亦用到較多運動分析較難,均質細桿長重Q = 3（）N,上端靠

13、在光滑鉛直面上，下端以較鏈A和均質圓柱 中心相連，圓柱重P = 20N,半徑R = 04m, 沿水平面純滾動。（1）當0=45° ,若系統 由靜止開始運動，求此時A點的加速度；（2） 在該位置，若A點以速度v4 = l.Om/s向左運動， 求該瞬時A點的加速度。分析：本題求加速度，但與前面題目不同是，求初瞬時（特定位置）的加速度。 能否在此位置應用微分形式的動能定理？事實上，應用兩種形式的動能定理均可以，但都要先求任意位置（0）的加 速度，再求初瞬時加速度（將0=45°代入）。書上使用微分形式動能定理.這里應用積分式求解。17第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定

14、理）號6D解:（1）設系統從初始0=45°到任意位置乂畫 出所有主動力和相關運動量，如圖。初始動能：rn=o任意位置動能：（R為桿瞬心，。為滾子瞬心）T =TAB +ta =片/阮（a）而 ，廠丄與+丄與mABAH/sin 0對滾子：R12 g g（2丿 3 g對桿:代入式得：丁七產汙18第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）牙得將"45°和= 0代入上式，得I Q cos 03 gl sin 4 0Q cos 02 sin 019第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）牙將"45°和= 1 ni/s代入（c）式，得（

15、3 _ 4龐坨代a A = X = 2.6059P + 4Q【例124用動能庖理建振動方g（二圖示系統中，物塊A重幾均質圓輪重0 半徑為心 沿水平面純滾動，彈簧常數為 k9初位置時，彈簧為原長，系統由 靜止開始運動，滑輪D質量不計，繩不可 伸長。試建立物塊A的運動微分方程，并 求其運動規律。分析：建立物塊A的運動微分方程，即寫關于y的微分方程，即求物塊A的加速 度。兩種形式的動能定理應該均可用。但此題需求彈簧力做功。20第三篇 動力學 第12章動力學普遍定理（動能定理） C解：（積分式）設系統從初始到任意位置。建立 坐標系，并畫出所有主動力和相關運動量，如圖。初始動能：ro=o 任意位置動能：

16、由運動關系:1則:22#主動力做功：（注意= i勾）1 2 1 .ZWF = Py + _R（0 唁）=Py _ _幼2 8第三篇 動力學 第12章動力學普遍定理（動能定理） C#即標準的無阻尼振動微分方程。X為 從靜平衡位置開始的坐標，固有頻率:#第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）藝方程（1）的通解為簡諧運動：x = A sin（ CDot 十 &）A為振幅；砒初相位角。二者與初始條件有關.（如+®為相位角。以丿坐標表示的運動規律：24第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）藝#第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）藝作業：12-

17、15, 16, 19, 21作坐標變換：x=y- U>X + K = 08P + 30以丿坐標表示的運動規律:第三篇 動力學 第12章動力學普遍定理（動能定理） C通解： x = A sin( cot + 0)4P4Py = x += A sin( + & ) + kk#第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）無612.4功率功率方程功率方程實際是動能定理（微分形式）用功率表示的另一形式。主要用于計 算機械效率，一般不直接用于求解普通動力學問題。%功率定義:SWN =dr對力：N = Fy = Fj對力偶：N = M （二、功率方程動自呂定理dr = 5W入一刊仃用一

18、 5W功率方程才"入-N砸25第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）無612.5勢力場 勢能 機械能守恒定律物理中講述較多，故略講。、勢力場力場一質點在空間任意位置都受到一個大小、方向確定的力作用，該空間 稱為力場。勢力場或保守力場一質點在力場中運動時，力對質點所作的功僅與起始位置 有關，而與路徑無關，這樣的力場稱為勢力場或保守力場；其力稱為有勢力或 勢力或保守力；勢力場中的振動系統稱為保守系統。提問:常見的保守力場有哪些？勢力場的性質：5 W = 026第三篇 動力學 第12章 動力學普遍定理（動能定理）勿二.勢能勢能函數在勢力場中，質點由某一位置M運動到選定的參考點Mo （0勢能位置）的過程 中，有勢力所作的功稱為質點在M位置的勢能：一 _ MoV = f F dr = （Xdx + Kdy + Zdz）注意勢能為從某點M到參考點勢力所作的功。如果選定為起始點，M為終 點，則應用動能定理求勢力做功，與應用機械能守恒求勢能時，二者相差一負 號。如彈性力場：在動彪定明中求彈性力的功：叫=扌（弗-滬）在機械能守恒定律中求勢能：V =上（滬-研）2由于勢能僅與質點的位置有關，故是質點坐