1、13.4 課題學習課題學習 最短路徑問題最短路徑問題第第10周周2015年年11月月2日日 前面我們研究過一些關于前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線兩點的所有連線中，線 段最短段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問等的問題，我們稱它們為最短路徑問 題題 下面我們就下面我們就“將軍飲馬問題將軍飲馬問題”和造橋選址問題一起和造橋選址問題一起來來看看吧！看看吧！引言：引言：問題問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫有一天，

2、一位將軍專程拜訪負盛名的學者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的從圖中的A A 地出發，到一條筆直的河邊地出發，到一條筆直的河邊l l 飲馬，然飲馬，然后到后到B B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？最短？BAl將軍飲馬問題將軍飲馬問題精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的精通數學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”你能將這個問題抽象為數學問題嗎？你能將這個問

3、題抽象為數學問題嗎？ BAl想一想想一想這是一個實際問題，你打算首先做什么？這是一個實際問題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個點，將河兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 BAl想一想想一想你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？為數學問題嗎？ （1）從）從A 地出發，到河邊地出發，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，）在河邊飲馬的地點有無窮多處，現在的問題是怎樣找出使現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最兩條線段長度之和為最 短的直線短的直線l

4、上的點上的點（3）設）設C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點點C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB 的和最小（如圖）的和最小（如圖） BAlC想一想想一想作法：作法：（1）作點）作點B 關于直線關于直線l 的對稱點的對稱點B；（2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交于相交于點點C 則點則點C 即為所求即為所求 問題問題2 如圖，點如圖，點A，B 在直線在直線l 的同側，點的同側，點C 是直是直線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB 的和最小？的和最小？ BlABC

5、想一想，做一做想一想，做一做證明：如圖，在直線證明：如圖，在直線l 上任取一點上任取一點C（與點（與點C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質知，由軸對稱的性質知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC問題問題3 你能用所學的知識證明你能用所學的知識證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABCC 在在ABC中中， ABAC+ +BC， AC + +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短想一想，做一做想一想，做一做若直線若直線l 上任意一點（與點上任意一點（與點C 不

6、重合）與不重合）與A，B 兩點的距離兩點的距離和都大于和都大于AC + +BC，就說明，就說明AC + + BC 最小最小 BlABCC追問追問1 1證明證明AC AC + +BC BC 最短時，為什么要在直線最短時，為什么要在直線l l 上上任取一點任取一點C C（與點（與點C C 不重合），證明不重合），證明AC AC + +BC BC ACAC+ +BCBC？這里的？這里的“C C”的作用是什么的作用是什么？ 想一想，做一做想一想，做一做 如圖所示，要在街道旁修建一個牛奶站，向如圖所示，要在街道旁修建一個牛奶站，向居民區居民區A A、B B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才提供牛奶，奶站應

7、建在什么地方，才能使從能使從A A、B B到它的距離之和最短到它的距離之和最短 試一試試一試 居民居民B . 居民居民A .街道街道AMNB ABCD試一試試一試 L如圖：如圖：A為馬廄，為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。帳篷，請你幫他確定這一天的最短路線。 作法：作法： 1.作點作點A關于直線關于直線 MN 的的 對稱點對稱點A , 2. 作點作點B關于直線關于直線L 的對稱點點的對稱點點B , 3.連接連接A B 分別交

8、直線分別交直線MN、L于點C、D， 則A-C-D-B最短ABMNE.作法：作法： 1.1.將點將點B B沿垂直與河岸沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到的方向平移一個河寬到E E， 2.2.連接連接AEAE交河對岸交河對岸與點與點M,M,則點則點M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋為所建的橋。P86 如圖，如圖，A.BA.B兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一兩地在一條河的兩岸，現要在河上建一座橋座橋MNMN，橋造在何處才能使從，橋造在何處才能使從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？最短？（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）（假設河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）造橋選址問題造橋選址