1、考研數學線性代數講義目錄第一講基本概念線性方程組矩陣與向量初等變換和階梯形矩陣線性方程組的矩陣消元法第二講行列式完全展開式化零降階法其它性質克萊姆法則第三講矩陣乘法 乘積矩陣的列向量和行向量矩陣分解矩陣方程逆矩陣伴隨矩陣第四講向量組線性表示向量組的線性相關性向量組的極大無關組和秩矩陣的秩第五講方程組解的性質解的情況的判別基礎解系和通解第六講特征向量與特征值相似與對角化特征向量與特征值 概念 ,計算與應用相似對角化 判斷與實現附錄一內積 正交矩陣施密特正交化實對稱矩陣的對角化第七講二次型二次型及其矩陣可逆線性變量替換實對稱矩陣的合同標準化和規范化慣性指數正定二次型與正定矩陣附錄二向量空間及其子空

2、間附錄三兩個線性方程組的解集的關系附錄四06,07 年考題第一講基本概念1線性方程組的基本概念線性方程組的一般形式為:a11x1+a12x2+,+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+,+a2nxn=b2,a x +a x +,+a x =b ,m1 1m22mn nm其中未知數的個數n 和方程式的個數m不必相等 .線性方程組的解是一個n 維向量 (k ,k, , ,kn)( 稱為解向量 ), 它滿足 : 當每個方程中的12未知數 xi 都用 ki替代時都成為等式 .線性方程組的解的情況有三種:無解,唯一解 ,無窮多解 .對線性方程組討論的主要問題兩個:(1)判斷解的情況.(2) 求解 ,

3、 特別是在有無窮多接時求通解 .b1=b2=,=bm=0 的線性方程組稱為齊次線性方程組 .n 維零向量總是齊次線性方程組的解, 稱為零解 . 因此齊次線性方程組解的情況只有兩種: 唯一解 ( 即只要零解 ) 和無窮多解 ( 即有非零解 ).把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數項都換成0，所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的 導出齊次線性方程組，簡稱 導出組 .2. 矩陣和向量(1) 基本概念矩陣和向量都是描寫事物形態的數量形式的發展.由 mn 個數排列成的一個m行 n 列的表格 , 兩邊界以圓括號或方括號, 就成為一個mn 型矩陣 . 例如2-101111102254-29333-18是一

4、個 45 矩陣 . 對于上面的線性方程組, 稱矩陣a11 a 12,a 1na11 a 12 ,a 1nb1A= a 21 a 22 , a 2n 和 ( A| )= a 21 a 22 , a 2nb2,am1am2,amnam1am2,amnbm為其 系數矩陣 和增廣矩陣 .增廣矩陣體現了方程組的全部信息, 而齊次方程組只用系數矩陣就體現其全部信息 .一個矩陣中的數稱為它的元素, 位于第 i行第 j 列的數稱為 (i,j)位元素 .元素全為0 的矩陣稱為 零矩陣 , 通常就記作 0.兩個矩陣 A 和 B 相等 ( 記作 A=B),是指它的行數相等, 列數也相等 ( 即它們的類型相同 ),并

5、且對應的元素都相等 .由 n 個數構成的有序數組稱為一個n 維向量 , 稱這些數為它的 分量 .書寫中可用矩陣的形式來表示向量, 例如分量依次是a ,a, ,an的向量可表示成12a1(a 1,a 2,a n) 或a2,an請注意 , 作為向量它們并沒有區別, 但是作為矩陣, 它們不一樣 ( 左邊是 1n 矩陣 , 右邊是 n 1 矩陣 ). 習慣上把它們分別稱為行向量和列向量 .( 請注意與下面規定的矩陣的行向量和列向量概念的區別 .)一個 mn 的矩陣的每一行是一個n 維向量 , 稱為它的行向量;每一列是一個m維向量 ,稱為它的列向量. 常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣, 例如當矩陣A 的列

6、向量組為1,2,n 時 ( 它們都是表示為列的形式!) 可記 A=(1,2,n).矩陣的許多概念也可對向量來規定, 如元素全為0 的向量稱為 零向量 , 通常也記作0. 兩個向量和 相等 ( 記作= ), 是指它的維數相等, 并且對應的分量都相等.(2) 線性運算和轉置線性運算是矩陣和向量所共有的, 下面以矩陣為例來說明 .加 ( 減 ) 法 : 兩個 mn 的矩陣 A 和 B可以相加 ( 減 ),得到的和 ( 差 ) 仍是 mn 矩陣 , 記作A+B ( A- B), 法則為對應元素相加( 減).數乘 :一個 mn 的矩陣 A 與一個數 c 可以相乘 , 乘積仍為 mn 的矩陣 , 記作 c

7、A, 法則為 A 的每個元素乘 c.這兩種運算統稱為線性運算,它們滿足以下規律 : 加法交換律 : A+B=B+A. 加法結合律 :( A+B)+ C=A+( B+C). 加乘分配律 :c( A+B)=c A+c B.(c+d) A=cA+dA. 數乘結合律 : c(d)A=(cd)A. c A=0c=0或 A=0.轉置 : 把一個 mn 的矩陣A 行和列互換 , 得到的 nTm的矩陣稱為 A的轉置 , 記作 A ( 或A ).有以下規律 : (T)T= .AA ( A+B) T=AT+BT. (c) T=c T.AA轉置是矩陣所特有的運算, 如把轉置的符號用在向量上, 就意味著把這個向量看作

8、矩陣了 . 當 是列向量時 ,T 表示行向量 ,當 是行向量時 ,T 表示列向量 .向量組的線性組合: 設1, , ,s是一組 n 維向量 , c ,c, , ,cs是一組數 , 則稱212c11+c22+, +cs s為 1,2,s 的 ( 以 c1,c 2, ,c s 為系數的 ) 線性組合 .n 維向量組的線性組合也是n 維向量 .(3)n 階矩陣與幾個特殊矩陣行數和列數相等的矩陣稱為方陣, 行列數都為把 n 階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它n 的矩陣也常常叫做n 階矩陣 .對角線 .( 其上的元素行號與列號相等.)下面列出幾類常用的 n 階矩陣 , 它們都是考試大綱中要求掌握的 .對

9、角矩陣 :對角線外的的元素都為0的 n 階矩陣 .單位矩陣 :對角線上的的元素都為1的對角矩陣 , 記作 E( 或 I ).數量矩陣 :對角線上的的元素都等于一個常數c 的對角矩陣 , 它就是 cE.上三角矩陣 :對角線下的的元素都為0 的 n 階矩陣 .下三角矩陣 :對角線上的的元素都為0 的 n 階矩陣 .T也就是對任何 i,j,(i,j)位的元素和 (j,i)位的元素總是相等對稱矩陣 : 滿足 A=A矩陣.的 n 階矩陣 .( 反對稱矩陣 : 滿足 AT=- A矩陣 . 也就是對任何 i,j,(i,j)位的元素和 (j,i) 位的元素之和總等于0 的 n 階矩陣 . 反對稱矩陣對角線上的

10、元素一定都是0.)3.矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種 初等行變換 : 交換兩行的位置 . 用一個非0 的常數乘某一行的各元素 . 把某一行的倍數加到另一行上.( 稱這類變換為倍加變換 )類似地 , 矩陣還有三種 初等列變換 ,大家可以模仿著寫出它們, 這里省略了 . 初等行變換與初等列變換統稱 初等變換 .階梯形矩陣 : 一個矩陣稱為階梯形矩陣, 如果滿足 : 如果它有零行 , 則都出現在下面 . 如果它有非零行 , 則每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴格單調遞增.把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非0 元素所在的位置稱為臺角 .簡單階梯形矩陣 : 是特殊的階梯形矩陣,特點

11、為 :臺角位置的元素為 1.并且其正上方的元素都為0.每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣. 這種運算是在線性代數的各類計算題中頻繁運用的基本運算, 必須十分熟練 .請注意 : 1. 一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的, 但是其非零行數和臺角位置是確定的 .2.一個矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的.4. 線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學課程中的消元法: 用同解變換 把方程組化為階梯形方程組( 即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組). 線性方程組的同解變換有三種 : 交換兩個方程的上下位置. 用一個非0 的常數乘某個方程. 把某個方程的倍數

12、加到另一個方程上.以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換.線性方程組求解的基本方法是消元法, 用增廣矩陣或系數矩陣來進行對非齊次線性方程組步驟如下:, 稱為 矩陣消元法.(1) 寫出方程組的增廣矩陣 ( A| ), 用初等行變換把它化為階梯形矩陣( B| ).(2) 用 ( B| ) 判別解的情況 :如果最下面的非零行為有解時看非零行數 r(r ( 推論 : 當方程的個數(0,0,0|d),則無解 , 否則有解 .不會大于未知數個數n),r=n時唯一解；m<n時 , 不可能唯一解.)r<n時無窮多解.(3) 有唯一解時求解的 初等變換法 :去掉 ( B| ) 的零行 , 得到一

13、個 n× (n+1) 矩陣 ( B0| 0), 并用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣(E| ), 則 就是解 .對齊次線性方程組:(1) 寫出方程組的系數矩陣 A, 用初等行變換把它化為階梯形矩陣B.(2) 用 B 判別解的情況 : 非零行數 r=n 時只有零解； r<n 時有非零解 ( 求解方法在第五章講). ( 推論 : 當方程的個數 m<n時, 有非零解 .)討論題1. 設 A 是 n 階矩陣 , 則(A)AA 是階梯形矩陣 .(B)AA 是階梯形矩陣 .(C)AA 是階梯形矩陣 .(D)A 是上三角矩陣與A 是階梯形矩陣沒有直接的因果關系 .2. 下列命題中哪幾個

14、成立 ?(1)如果 A是階梯形矩陣 , 則 A 去掉任何一行還是是階梯形矩陣 .(2)如果 A是階梯形矩陣 , 則 A 去掉任何一列還是是階梯形矩陣 .(3) 如果 ( A| B) 是階梯形矩陣 , 則 A也是階梯形矩陣 .(4) 如果 ( A| B) 是階梯形矩陣 , 則 B也是階梯形矩陣 .(5) 如果A 是階梯形矩陣 , 則 A和 B 都是階梯形矩陣 .B第二講 行列式一 . 概念復習1. 形式和意義形式 :用n2 個數排列成的一個n 行n 列的表格, 兩邊界以豎線, 就成為一個n 階行列式:a11 a 12,a 1na21 a 22,a 2n,.an1 a n2,a nn如果行列式的列

15、向量組為意義 : 是一個算式 , 把這1,2,n, 則此行列式可表示為|1,2,n|.2n 個元素按照一定的法則進行運算, 得到的數值稱為這個行列式的值 .請注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區別.當兩個行列式的值相等時, 就可以在它們之間寫等號! (不必形式一樣, 甚至階數可不同.)每個 n 階矩陣 A 對應一個 n 階行列式 , 記作 | A|.行列式這一講的的核心問題是值的計算, 以及判斷一個行列式的值是否為0.2. 定義 ( 完全展開式 )2階和 3階行列式的計算公式 :a 11a 12aa22= a11a-a12a .212221a11a 12a 13a21a 22a 23= a 1

16、1a22a33 + a 12a23 a31 + a 13a21a32-a 13a22a31- a 11a23a32-a 12a21a33.aa32a3331一般地 , 一個 n 階行列式a11 a 12,a 1na21 a 22,a 2n,an1 a n2,a nn的值是許多項的代數和, 每一項都是取自不同行, 不同列的 n 個元素的乘積 , 其一般形式為 :a1 ja2 j2anj,1n這里把相乘的n 個元素按照行標的大小順序排列, 它們的列標 j j ,jn構成 1,2, ,n 的一1 2個全排列 ( 稱為一個 n 元排列 ), 共有 n!個 n 元排列 , 每個 n 元排列對應一項 ,

17、因此共有 n! 個項 .所謂代數和是在求總和時每項先要乘+1 或-1. 規定 (j1 j 2,j n) 為全排列 j 1j 2,j n 的逆序數( 意義見下面 ),則項 a1 j1 a2 j2anjn 所乘的是 ( 1) ( j1 j 2 jn ) .全排列的逆序數即小數排列在大數右面的現象出現的個數.逆序數可如下計算 : 標出每個數右面比它小的數的個數,它們的和就是逆序數. 例如求436512 的逆序數 :323200436512,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我們可以寫出n 階行列式的值 :a11a12,a1na21a22, a2n=( 1)( j1 j2 j n )

18、a1 j1 a2 j 2anj n .j1 j2j n,an1an2,a nn這里表示對所有 n 元排列求和 . 稱此式為 n 階行列式的 完全展開式 .j1 j2jn用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大. 只在有大量元素為0, 使得只有少數項不為 0時 , 才可能用它作行列式的計算. 例如對角行列式 , 上 ( 下 ) 三角行列式的值就等于主對角線上的元素的乘積, 因為其它項都為0.2. 化零降階法把 n 階行列式的第 i行和第 j 列劃去后所得到的 n-1 階行列式稱為 (i,j)位元素 aij 的余子式,記作 M.稱A =(-1)i+j為元素 a 的代數余子式 .Mijijijij

19、定理 ( 對某一行或列的展開) 行列式的值等于該行 ( 列 ) 的各元素與其代數余子式乘積之和.命題 第三類初等變換 ( 倍加變換 ) 不改變行列式的值 .化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個元素不為0, 再用定理 . 于是化為計算一個低1 階的行列式 .化零降階法是實際計算行列式的主要方法, 因此應該熟練掌握 .3. 其它性質行列式還有以下性質 :T 把行列式轉置值不變, 即 | A |=| A| . 某一行 ( 列 ) 的公因子可提出.n于是 , |cA|=c | A|. 對一行或一列可分解, 即如果某個行( 列 ) 向量則原行列式等于兩個行列式之和, 這兩個行列式分別是把原行

20、列式的該行( 列 ) 向量換為或所得到的行列式. 例如|,1+2|=|,1|+|,2|. 把兩個行 ( 列) 向量交換 ,行列式的值變號. 如果一個行 ( 列 ) 向量是另一個行( 列 ) 向量的倍數 , 則行列式的值為0. 某一行 ( 列 ) 的各元素與另一行( 列 ) 的對應元素的代數余子式乘積之和=0. 如果 A與B都是方陣 (不必同階 ), 則A * =A O=|A|B|.OB*B范德蒙行列式：形如111a1a2a 3a2a2a2231, 1, a, an2n,an-in-in-in-i1a 2a 3, a n的行列式 ( 或其轉置 ). 它由 a1,a 2 ,a 3, ,a n 所決

21、定 , 它的值等于(a j ai ).i j因此范德蒙行列式不等于 0a 1,a 2 ,a 3, , ,a n 兩兩不同 .對于元素有規律的行列式( 包括 n 階行列式 ), 常常可利用性質簡化計算, 例如直接化為三角行列式等 .4. 克萊姆法則克萊姆法則應用在線性方程組的方程個數等于未知數個數n ( 即系數矩陣為n 階矩陣 )的情形 . 此時 , 如果它的系數矩陣的行列式的值不等于0, 則方程組有唯一解, 這個解為(D /D, D2/D,D/D),1n這里 D是系數行列式的值 , Di 是把系數行列式的第i 個列向量換成常數列向量所得到的行列式的值 .說明與改進 :按法則給的公式求解計算量太

22、大，沒有實用價值 . 因此法則的主要意義在理論上, 用在對解的唯一性的判斷, 而在這方面法則不夠. 法則的改進 : 系數行列式不等于0 是唯一解的充分必要條件 .實際上求解可用初等變換法: 對增廣矩陣 ( |) 作初等行變換 , 使得A變為單位矩陣 :A(A| )(E| ),就是解 .用在齊次方程組上 :如果齊次方程組的系數矩陣A 是方陣 , 則它只有零解的充分必要條件是 | A|0.二 .典型例題1. 利用性質計算元素有規律的行列式例 1 2 a a a a 1+x 111 1+a 1 11a2a a a1 1+x 112 2+a 2 2a a 2 a a .11 1+x 1 .3 3 3+

23、a 3 .aaa 2 a111 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 12345 2345134512.4512351234例 31+x111111+x21 1.111+x311111+x4例 4a 0 b c 0 a c b .b c a 0c b 0 a例 5 1-a a 0 0 0-11-a a000-1 1-a a0. (96四 )00 -11-aa0 0 0 -1 1-a2. 測試概念與性質的題例 6x3-3 1 -3 2x+2多項式 f(x)=-7 5 -2x 1，求 f(x)的次數和最高次項的系數 .X+3 -1 33x2-29x3 6-6例 7 求 x-3 a -1

24、4f(x)= 5x-802的 x4和 x3 的系數 .0bx+1 1221 xBABA B例8設4階矩陣 A12,31,2,3求=( ,),=( ,),| =2,|=3 ,|+ | .例 9a b c d已知行列式 x -1 -y z+1的代數余子式 A =-9,A12=3,A13=-1,A =3, 求 x,y,z.11141 -z x+3yy-2 x+1 0z+3例 10求行列式3040的第四行各元素的余子式的和.(01)22220-7005 3-2 23. 幾個 n 階行列式兩類爪形行列式及其值 :例 11a1 a 2 a 3 , a n-1 a nb1 c 20,00n證明 0 b 2

25、c 30 0 =( 1)i 1 b1bi 1ai ci 1cn .i 1,000,bn-1 cn提示 :只用對第 1行展開 (M都可直接求出 ).1i例 12a0a 1 a 2 , a n-1 a nb1c10,0 0證明 b0 c,ncin220 0 =a0c1 ci 1ai bi ci 1 cn .i1i 1,bn,0cn提示 :只用對第1 行展開 (M1i 都可直接求出).另一個常見的n 階行列式 :例13 證明a+b b0,00a a+b b,00nn 1n1,=an ibiaab( 當 ab 時 ).i 0b000,a+b b000a a+b提示 : 把第 j 列 ( 行 ) 的 (

26、-1) j-1倍加到第1 列 ( 行 ) 上 (j=2, ,n),再對第1 列( 行)展開 .4. 關于克萊姆法則的題例 14設有方程組x1+x2+x3=a+b+c,ax123222+bx +cx =a +b +c ,bcx1+acx 2+abx 3=3abc.(1) 證明此方程組有唯一解的充分必要條件為a,b,c 兩兩不等 .(2) 在此情況求解 .參考答案433例 1 (2+4a)(2-a). x (x+4). a (a+10).例 2 1875.例 3 x 1x2 x3x4+x2x3x4+x 1x3x4+x1x2x4+x1x2x3. 例 4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a

27、-b-c).4 5例 5 1-a+a -a +a -a . 例 6 9,-6 例 7 1,-10.例840.例 9 x=0,y=3,z=-1. 例 10 -28.例 14 x 1=a,x 2=b,x 3=c.23第三講矩陣一概念復習1. 矩陣乘法的定義和性質定義 2.1當矩陣 A 的列數和B 的行數相等時 , 和 A 和 B 可以相乘 , 乘積記作行數和 A 相等 , 列數和 B相等 . AB 的 (i,j)位元素等于A 的第 i 個行向量和B 的第量( 維數相同 ) 對應分量乘積之和.設a11 a 12,a 1nb11 b 12,b 1sc11 c12,c 1sA=a21 a 22 ,a 2

28、nB= b 21 b 22 ,b 2sC=AB=c21 c 22 ,c 2s,am1 a m2 ,a mn ,bn1 b n2,b ns ,cm1 c m2,c ms ,AB. AB 的j 個列向則cij=ai1 b1j +ai2 b2j +,+ain bnj .矩陣的乘法在規則上與數的乘法有不同: 矩陣乘法有條件. 矩陣乘法無交換律. 矩陣乘法無消去律, 即一般地由 AB=0 推不出 A=0 或 B=0.由 AB=AC和 A 0 推不出 B=C.( 無左消去律 ) 由 BA=CA和 A 0 推不出 B=C. ( 無右消去律 )請注意不要犯一種常見的錯誤: 把數的乘法的性質簡單地搬用到矩陣乘法

29、中來.矩陣乘法適合以下法則: 加乘分配律 數乘性質結合律(cA ( B+C)= AB+AC,A) B=c( AB).AB) C= A ( BC).( A+B) C=AC+BC. ( AB) T=BT AT .2. n 階矩陣的方冪和多項式任何兩個 n 階矩陣 A 和 B都可以相乘 , 乘積 AB仍是 n 階矩陣 . 并且有行列式性質:| AB|=| A| B|.如果 AB=BA, 則說 A和 B可交換 .方冪設 k 是正整數 , n階矩陣顯然 A 的任何兩個方冪都是可交換的 A k A h = A k+h .khkh(A)=A.A 的 k 次方冪 Ak 即 k 個 A 的連乘積, 并且方冪運算

30、符合指數法則:. 規定A0=E.但是一般地 ( AB) k 和 A k Bk 不一定相等 !n 階矩陣的多項式設 f(x)=a mxm+am-1xm-1+,+a1x+a0, 對 n 階矩陣 A 規定f( )=a mm +am-1 m-1 +,+ a 1+a0 .A AAAE稱為 A 的一個多項式. 請特別注意在常數項上加單位矩陣E.乘法公式一般地 , 由于交換性的障礙, 小代數中的數的因式分解和乘法公式對于n 階矩陣的不再成立 . 但是如果公式中所出現的 n 階矩陣互相都是乘法交換的 , 則乘法公式成立 . 例如當 A和 B可交換時 ,有: ( A B) 2=A2 2AB+B2;A2- B2=

31、( A+B)( A- B)=( A+B)( A- B).二項展開式成立 :(A B)C AB等等 .1前面兩式成立還是A 和 B可交換的充分必要條件 .同一個 n 階矩陣的兩個多項式總是可交換的.一個 n 階矩陣的多項式可以因式分解 .3.分塊法則矩陣乘法的分塊法則是簡化矩陣乘法的一種方法. 對兩個可以相乘的矩陣A和 B, 可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣 ( 一切 A 的縱向切割和 B 的橫向切割一致 !), 再用它們來作乘法.(1) 兩種常見的矩陣乘法的分塊法則A11 AA21 A12 B11 B22B21 B12=A B+ABA11B+AB1111122112122222A BA BA2

32、1BA B2111+ 222112+2222要求 Aij 的列數 Bjk 和的行數相等 .準對角矩陣的乘法:形如=A10,002,0AA,00,An的矩陣稱為準對角矩陣, 其中 A1 , A2, , Ak 都是方陣 .兩個準對角矩陣1 0,010,0ABA=0 A2,0 ,B= 0B2,0,0 0,A00,Bkk如果類型相同 , 即 Ai 和 Bi 階數相等 , 則A1B10,0AB= 0AB,0 .22,0 0 ,Ak Bk(2) 乘積矩陣的列向量組和行向量組設 A 是 mn 矩陣 B 是 ns 矩陣 . A 的列向量組為 1, 2, , ,n, B 的列向量組為, ,s, AB 的列向量組

33、為1, ,s, 則根據矩陣乘法的定義容易看出( 也是分塊法則122的特殊情形 ): AB的每個列向量為 : i =A i ,i=1,2,s.即 A( 1, 2, , , s)= ( A 1, A 2, , , A s ). =(b 1,b 2, ,b n) T , 則 A = b 11 +b22+,+bn n.應用這兩個性質可以得到: 如果 i =(b 1i ,b2i , , ,b ni ) T, 則i =A I =b1i 1+b2i 2+,+bni n.即 : 乘積矩陣的第 i個列向量i 是A的列向量組1,2, , ,n 的線性組合 , 組合系數就AB是 B 的第 i 個列向量i 的各分量

34、.類似地 , 乘積矩陣 AB 的第 i 個行向量是 B 的行向量組的線性組合, 組合系數就是 A 的第 i 個行向量的各分量 .以上規律在一般教材都沒有強調, 但只要對矩陣乘法稍加分析就不難得出. 它們無論在理論上和計算中都是很有用的 .(1) 當兩個矩陣中 , 有一個的數字很簡單時 , 直接利用以上規律寫出乘積矩陣的各個列向量或行向量 , 從而提高了計算的速度 .(2) 利用以上規律容易得到下面幾個簡單推論:用對角矩陣從左側乘一個矩陣, 相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量 ;用對角矩陣從右側乘一個矩陣, 相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量 .數量矩陣kE 乘一個矩

35、陣相當于用k 乘此矩陣；單位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應元素相乘.求對角矩陣的方冪只需把對角線上的每個元素作同次方冪.(3)矩陣分解: 當一個矩陣C 的每個列向量都是另一個A 的列向量組的線性組合時, 可以構造一個矩陣B, 使得C=AB.例如設A=(,),C=(+2-,3-+,+2),令131B=2-10 ,則 C=AB.-112(4) 初等矩陣及其在乘法中的作用對單位矩陣 E 作一次初等 ( 行或列 ) 變換 , 所得到的矩陣稱為 初等矩陣 .有三類初等矩陣 :E(i,j):交換 E 的 i,j兩行 ( 或列 ) 所得到的矩陣 .E(i(c):用非 0

36、 數 c 乘 E的第 i 行 ( 或列 ) 所得到的矩陣 . 也就是把 E 的對角線上的第 i個元素改為 c.(i,j(c)(ij): 把E的第 j 行的 c 倍加到第 i 行上 ( 或把第 i 列的 c 倍加到第 j 列上 )E所得到的矩陣 , 也就是把 E 的(i,j) 位的元素改為 c.命題 對矩陣作一次初等行 ( 列 ) 變換相當于用一個相應的初等矩陣從左(右)乘它 .4. 矩陣方程和可逆矩陣 ( 伴隨矩陣 )(1) 矩陣方程矩陣不能規定除法, 乘法的逆運算是解下面兩種基本形式的矩陣方程 :(I)AX=B.(II)XA=B.這里假定A 是行列式不為0 的n 階矩陣, 在此條件下, 這兩個方程的解都是存在并且唯一的.( 否則解的情況比較復雜.)當 B 只有一列時,(I)就是一個線性方程組. 由克萊姆法則知它有唯一解. 如果B 有s 列 ,設 B =( 1, 2, , , s ), 則 X 也應該有 s 列 , 記 X=( X1, X2, , , Xs ), 則有 AXi= s 個線性方程組 . 由克萊姆法則 , 它們都有唯一