1、線性代數習題和答案第一部分選擇題(共 28 分)一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2 分，共 28 分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式 a11a12=m， a13a11=n，則行列式a11a12a13等于（ D）a 21a22a23a 21a21a 22a 23A. m+nB. - (m+n)C. n- mD. m - n1002.設矩陣 A= 020 ，則 A-1等于（B）00310010010031002131A. 00 B010CD00220 1 03100100100001233123.設矩陣 A =1

2、01 ，A *是 A 的伴隨矩陣，則A *中位于（ 1， 2）的元素是（B ）214A. 6B. 6C. 2D. 24.設 A 是方陣，如有矩陣關系式AB=AC ，則必有（D ）A.A=0 B.B C時A=0C. A0時 B=CD. |A| 0 時 B=C5.已知 3×4 矩陣 A 的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（C）A. 1B. 2C. 3D. 4D ）6.設兩個向量組 1， 2， ， s和 1， 2， ， s 均線性相關，則（A. 有不全為 0 的數 1， 2， ， s 使 1 1+ 2 2+ +s s=0 和 1 1+ 2 2+ s s=0B. 有不全為 0 的數 1，

3、2， ， s 使 1（ 1+ 1） + 2（ 2+ 2） + +s（ s+ s）=0C. 有不全為 0 的數 1， 2， ， s 使 1（ 1- 1）+ 2（ 2- 2） + + s（ s- s）=0D. 有不全為 0 的數 1， 2 ， ， s 和不全為 0 的數 1， 2， ， s 使 1 1+ 2 2+ + s s=0 和 1 1+ 2 2+ + s s=07.設矩陣 A 的秩為 r，則 A 中（C ）A. 所有 r-1 階子式都不為 0B. 所有 r- 1 階子式全為 0C. 至少有一個 r 階子式不等于 0D. 所有 r 階子式都不為 08.設 Ax=b 是一非齊次線性方程組， 1，

4、 2 是其任意 2 個解，則下列結論錯誤的是（A ）12 是 Ax=0 的一個解B. 1 11 2 是 Ax=b 的一個解A. +22C. 1- 2 是 Ax=0 的一個解D.2 1- 2 是 Ax=b 的一個解9.設 n 階方陣 A 不可逆，則必有（A）A. 秩 (A)<n B. 秩(A)=n - 1C.A=0D. 方程組 Ax=0 只有零解10.設 A 是一個 n(3) 階方陣，下列陳述中正確的是（B ）A. 如存在數 和向量 使 A = ，則 是 A 的屬于特征值 的特征向量B. 如存在數 和非零向量 ，使 ( E-A) =0，則 是 A 的特征值C. A 的 2 個不同的特征值可

5、以有同一個特征向量D. 如 1， 2， 3 是 A 的 3 個互不相同的特征值， 1， 2， 3 依次是 A 的屬于 1， 2，3 的特征向量，則 1， 2， 3 有可能線性相關11.設 0 是矩陣 A 的特征方程的3 重根， A 的屬于 0 的線性無關的特征向量的個數為k，則必有（A）A. k 3B. k<3C. k=3D. k>312.設 A 是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（B ）A.| A|2 必為 1B.|A |必為 1C.A- 1=A TD. A 的行（列）向量組是正交單位向量組13.設 A 是實對稱矩陣， C 是實可逆矩陣， B=C TAC .則（D ）A.A與 B相似

6、B. A與 B不等價C. A 與 B 有相同的特征值D.A與B合同14.下列矩陣中是正定矩陣的為（C）2334100111A.34B.26C.0 23D. 12 0035102第二部分非選擇題（共72 分）二、填空題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。11115. 3566.9253616.設 A=111123337.11， B=2.則 A+2 B=37114117. 設 A =(aij)3×3 ， |A|=2 ， Aij表 示 |A | 中 元 素 aij的 代 數 余 子 式 （ i,j=1,2,3）

7、, 則2224.(a11A 21+a12A 22+a13A23) +(a21A 21+a22A22+a23A 23) +(a31A 21+a32A 22+a33A 23) =18.設向量（ 2， -3， 5）與向量（ -4， 6， a）線性相關，則a=-10.19.設 A 是 3× 4 矩陣，其秩為3，若 1， 2 為非齊次線性方程組Ax=b 的 2 個不同的解，則它的通解為 1+c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)），c 為任意常數20.設 A 是 m× n 矩陣， A 的秩為 r(<n) ，則齊次線性方程組Ax=0 的一個基礎解系中含有解的個數為n-1.21

8、.設向量 、 的長度依次為2 和 3，則向量 + 與 - 的內積（ + ， - ）=-5 .22.設 3階矩陣 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2 個特征值 - 1 和 4，則另一特征值為-2 .0106223.設矩陣 A =133 ，已知 =1 是它的一個特征向量，則所對應的特征值為1 .2108224.設實二次型 f(x 1 ,x2,x3,x4,x5)的秩為 4，正慣性指數為 3，則其規范形為z12z22z32z42.三、計算題（本大題共7 小題，每小題6 分，共 42 分）12023125.設 A=340 ，B=4.求（ 1）AB T；（2） |4A |.12120311226

9、.試計算行列式5134.2011153342327.設矩陣 A =110，求矩陣 B 使其滿足矩陣方程 AB =A+2B.123213028.給定向量組 1=1， 2=3 ， 3=0， 4=1.02243419試判斷 4 是否為 1， 2， 3 的線性組合；若是，則求出組合系數。121022426629.設矩陣 A=102.2333334求：（1）秩（ A ）；（2） A 的列向量組的一個最大線性無關組。02230.設矩陣 A= 234 的全部特征值為 1，1 和 -8.求正交矩陣 T 和對角矩陣 D，使 T - 1AT=D.24331.試用配方法化下列二次型為標準形f(x 1,x2,x3)=

10、 x22 x23x 24x1x24x x34x2x，12313并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（本大題共2 小題，每小題5 分，共 10 分）32.設方陣 A 滿足 A 3=0，試證明 E- A 可逆，且（ E- A） - 1=E+A +A2.Ax=0 的一個基礎解系 .33.設 0 是非齊次線性方程組 Ax=b 的一個特解， 1， 2是其導出組試證明（ 1） 1= 0 + 1， 2= 0+ 2 均是 Ax=b 的解；（ 2） 0， 1， 2 線性無關。答案：一、單項選擇題（本大題共14 小題，每小題2 分，共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D5.C 6.D7.C8.A9.A10.

11、B11.A12.B13.D14.C二、填空題（本大題共10 空，每空2 分，共20 分）33717. 418. 1019. 1+c( 2- 1)（或 2+c( 2- 1)）， c 為任意常數15. 616.37120. n- r 21. 522. 223. 124.z2z2z2z21234三、計算題（本大題共7 小題，每小題6 分，共42 分）25.解（ 1）ABT =120228634034=1810.121103103120（ 2） |4A |=43402 .所以 |4A|=64·（ - 2） =- 128|A |=64|A |，而 |A|=1213112511151151151

12、341113121111 =62626.解0110010=030 10 40.2550555515335530027.解AB =A +2B 即（ A- 2E ） B=A，而2231431（A- 2E）- 1= 110153 .121164143423386所以 B=( A- 2E)- 1A= 15 3110= 296 .1641232129213005321035103528.解一130113010112011202240112008800113419013112001414000010020101, 所以 4=2 1+ 2+ 3，組合系數為（2，1，1）.001100002x1x 23x30

13、解二考慮 4=x1 1+x2 2+x 3 3，即x1 3x 212x 22x 343x14 x2x 39.方程組有唯一解（2， 1， 1）T ，組合系數為（2， 1，1） .29.解對矩陣 A 施行初等行變換121021210212102A000620328303283=B.0328200062000310963200021700000（1）秩（ B） =3，所以秩（ A ） =秩（ B） =3.（2）由于 A 與 B 的列向量組有相同的線性關系，而B 是階梯形， B 的第 1、2、4 列是B 的列向量組的一個最大線性無關組，故A 的第 1、 2、 4 列是 A 的列向量組的一個最大線性無關組

14、。（ A 的第 1、2、 5 列或 1、 3、 4 列，或 1、3、 5 列也是）30.解A 的屬于特征值 =1 的 2 個線性無關的特征向量為 1=（2， - 1， 0） T， 2=（2， 0， 1） T.25 / 525/151經正交標準化， 得 15 / 5， 245/15. =-8 的一個特征向量為 3= 2，=05 / 321 / 32 5/5 2 15/151 / 3經單位化得 3=2 / 3 . 所求正交矩陣為T =5 / 54 5/152/3 .2 / 305 / 32 / 31002 5/5 2 15/151/ 3對角矩陣 D= 010. （也可取 T=05 / 32/3 .

15、）0085 / 54 5/15 2/331.解f(x 1， x2， x3)=（ x1+2x 2- 2x3）222-2x2 +4x 2x3- 7x3=（ x1+2x2- 2x3） 2-2（ x2-x3 ）2- 5x32.y1 x12x 22x 3x1 y12y2120設 y 2x 2x3 ， 即 x2y 2 y3，因其系數矩陣 C = 011可逆，y 3x3x3y 30012- 2y22 - 5y32 .故此線性變換滿秩。經此變換即得f(x 1，x2 ，x3 )的標準形 y1四、證明題（本大題共2 小題，每小題5 分，共 10 分）32.證由于（ E - A）（ E+A +A2） =E - A3=E ，所以 E- A 可逆，且（E- A）- 1= E+A+A