1、點到直線距離公式的另外幾種推導方法 “點到直線的距離公式”是新課標人教版必修2數學的重點內容，教材在推到公式之后給出“請研究一下，如何用其它方法推導上面的距離公式”的伏筆，因此，筆者給出另外幾種推導方法，供大家參考。1 點到直線的距離公式在平面直角坐標系中，已知點P（x0,y0），直線l：Ax+By+C=0(AB0).設點P（x0,y0）到直線l的距離為d，則設點外一點，如何求它到該直線的距離？解：設過點且與已知直線垂直的直線為，垂足為，點到點距離為，則y0P0Ddx 即，直線外一已知點到已知直線的距離公式為：當A=0或B=0，上面的公式依然適用。當然，也可以不用上面的距離公式，即當A=0且B

2、0時，直線l：y=，d=；當A0，B=0時，直線l：x=，d= 圖1證法二：如圖1，過作直線，設直線和分別交軸于點、，過M作直線于點，則就等于點P到直線的距離，記為設直線的方程為，由于點在直線上， 直線：令，得；在直線：中，令，得設直線的傾斜角為，則，且，說明：在證法二中，先將點到直線距離轉化成過點的且與平行的直線與的距離，并通過特殊位置軸上的線段的長，利用三角函數解決了問題，體現化斜為直的思想當然，也可以對證法二進行適當的變化來證明點到直線的距離公式，由興趣的讀者不妨去試一試2 公式的另外幾種推導方法 方法1 利用直角三角形的面積公式 AB0， 直線l必與兩坐標軸相交，如圖1， 作PMx軸交

3、直線l于M，作PNy軸交直線l于N，作PQl于Q，則d =PQ，d 既是點P到直線l的距離，又是RtMPN的高.d= () 設M（x1,y0），N（x0,y2）， M、Nl，易求出x1=,y2=.PM=x1-x0= PN=y2-y0=MN=Ax0+By0+C將代入（）得：d= (A2+B20).方法2 利用兩點間的距離公式 教材指出，由PQl可知直線PQ的斜率為，可求出PQ所在直線的方程，從而可求出交點P的坐標，再用兩點間的距離公式求PQ?！斑@種方法思路自然，但運算較繁”，可是，如果在推導過程中注意運算技巧，也并不繁瑣！方法21 如圖1，設Q（a,b），則d=PQ=，易得直線PQ的方程為y-y

4、0= (x-x0),即Bx-Ay=Bx0-Ay0.從而有, 解之,a=, a-x0=-,b-y0=- d=PQ= (A2+B20).方法22 如圖1，由方法21 有由(1)2+(2)2得：(A2+B2)(a-x0)2+(A2+B2)(b-y0)2=(Ax0+By0+C)2, (a-x0)2+(b-y0)2=, d=PQ= (A2+B20).方法3 利用換元法在方法22中，設b-y0=B t, a-x0=A t,代入(1)得(A2+B2) t=-(Ax0+By0+C) t=, d =PQ= = (A2+B20). y 方法4 利用向量法 l 顯然，直線l的法向量=（A，B），設P1（x1,y1）是 x直線l上與Q不重合的任意一點，當<,>為銳角時，d=PQ=cos（如圖2）； 圖2當<,>為鈍角時， l yd=PQ=cos(-) = -cos=cos（如圖3）. x無論直線l的法向量=（A，B）的方