1、函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 專(zhuān)題測(cè)試一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)1給出四個(gè)命題：函數(shù)是其定義域到值域的映射；f(x)是函數(shù)；函數(shù)y2x(xN)的圖象是一條直線(xiàn)；f(x)與g(x)x是同一個(gè)函數(shù)其中正確的有()A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè) D4個(gè)解析：由函數(shù)的定義知正確滿(mǎn)足f(x)的x不存在，不正確又y2x(xN)的圖象是一條直線(xiàn)上的一群孤立的點(diǎn)，不正確又f(x)與g(x)的定義域不同，也不正確答案：A2(2011年青島質(zhì)檢)下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上為減函數(shù)的是()Aylog2x ByCy()x Dyx解析：ylog2x，yx在定

2、義域內(nèi)都為增函數(shù)y()x單調(diào)遞減，y()x單調(diào)遞增，所以選B.答案：B3已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范圍是()A4,2) B4,2C(0,2 D(4,2解析：f(x)1，或4x0或0<x2，即4x2.答案：B4(2011年湖北八市三月調(diào)考)設(shè)f(x)，則f()()A. B2C. D解析：f()f(1)f()f(1)f()2122.答案：B5(2011年福州質(zhì)檢)若曲線(xiàn)yx2axb在點(diǎn)(0，b)處的切線(xiàn)方程是xy10，則()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：y2xa，令x0，yaxy10，yx1a1點(diǎn)(0，b)在直線(xiàn)xy10上，0b10，b1.答案：D6(

3、2011年山西四校聯(lián)考)已知a是函數(shù)f(x)2xlogx的零點(diǎn)，若0<x0<a，則f(x0)的值滿(mǎn)足()Af(x0)0 Bf(x0)>0Cf(x0)<0 Df(x0)的符號(hào)不能確定答案：C7(2012年遼寧省錦州市模擬)如圖，陰影部分的面積是()A2 B2C. D.解析：設(shè)陰影部分面積為S，則S (3x2)2xdx(3xx2)，故選C.答案：C8(2010年濟(jì)寧聯(lián)考)若a>2，則函數(shù)f(x)x3ax21在區(qū)間(0,2)上恰好有()A0個(gè)零點(diǎn) B1個(gè)零點(diǎn)C2個(gè)零點(diǎn) D3個(gè)零點(diǎn)解析：解答本題要結(jié)合二分法和函數(shù)的單調(diào)性判斷由已知得：f (x)x(x2a)，由于a>

4、2，故當(dāng)0<x<2時(shí)f (x)<0，即函數(shù)為區(qū)間(0,2)上的單調(diào)遞減函數(shù)，又當(dāng)a>2時(shí)f(0)f(2)4a<0，故據(jù)二分法及單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間(0,2)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)答案：B9(2012年湛江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)在1，)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A0<a< B0<aeCae Dae解析：f (x)，因?yàn)閒(x)在1，)上為減函數(shù)，故f (x)0在1，)上恒成立，即lna1lnx在1，)上恒成立設(shè)(x)1lnx，(x)max1，故lna1，ae，選D.答案：D10(2011年黃山模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)a(x1)

5、(xa)，若f(x)在xa處取到極大值，則a的取值范圍是()A(1,0) B(2，)C(0,1) D(，3)解析：由f(x)在xa處取得極大值可知，當(dāng)x<a時(shí)，f (x)>0，當(dāng)x>a時(shí)，f (x)<0，即a(x1)(xa)>0的解集為x<a且a(x1)(xa)<0的解集為x>a，通過(guò)對(duì)這兩個(gè)不等式的解集討論可知1<a<0.故選A.答案：A11(2011年黃山調(diào)研)某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y300020x0.1x2(0<x<240，xN*)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷(xiāo)售收

6、入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()A100臺(tái) B120臺(tái)C150臺(tái) D180臺(tái)解析：設(shè)利潤(rùn)為f(x)(萬(wàn)元)，則f(x)25x(300020x0.1x2)0.1x25x30000，x150.答案：C12(2010年全國(guó)新課標(biāo)卷)已知函數(shù)f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，則abc的取值范圍是()A(1,10) B(5,6)C(10,12) D(20,24)解析：f(x)，因此可以畫(huà)出其圖象，如圖設(shè)f(a)f(b)f(c)k.則由圖象可知yk與yf(x)的圖象有三個(gè)互不相同的交點(diǎn)時(shí)，k(0,1)，即f(a)|lga|lgalgk，即a.f(b)lgbk，即b10k.ab

7、15;10k1.f(c)6k，c122k.又k(0,1)，c(10,12)，abc(10,12)，故選擇C.答案：C二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分把答案填在題中橫線(xiàn)上)13(2011年江蘇省蘇州六校聯(lián)合高三調(diào)研考試)f(x)xn23n(nZ)是偶函數(shù)，且yf(x)在(0，)上是減函數(shù)，則n_.解析：因?yàn)閒(x)在(0，)上是減函數(shù)，所以n23n<0，即0<n<3，又因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以n23n是偶數(shù)，只有n1或2滿(mǎn)足條件答案：1或214. dx的值為_(kāi)解析：由定積分的意義可知，dx表示由y，x2，x2和x軸所圍成的圖形的面積，即圓x2y24的面積的一半答

8、案：215設(shè)函數(shù)f(x)ax33x1(xR)，若對(duì)于任意x1,1，都有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)解析：若x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x>0，即x(0,1時(shí)，f(x)ax33x10可化為a.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而a4.當(dāng)x<0，即x1,0)時(shí)，同理a.g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，g(x)ming(1)4，從而a4，綜上可知a4.答案：416定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿(mǎn)足f(x1)f(x)，且f(x)在1,0上是增函數(shù)，下列五個(gè)關(guān)于f(x)的命題中：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的

9、圖象關(guān)于x1對(duì)稱(chēng)；f(x)在0,1上是增函數(shù)；f(x)在1,2上是減函數(shù)；f(2)f(0)其中正確命題的序號(hào)是_(請(qǐng)把所有正確命題的序號(hào)全部寫(xiě)出)解析：對(duì)，由f(x1)f(x)得f(x2)f(x1)1)f(x1)(f(x)f(x)，所以f(x)是一個(gè)周期為2的函數(shù)，故正確；對(duì)，由f(x)的周期為2可得，f(x1)f(x1)，由f(x)為偶函數(shù)，得f(x1)f(1x)，所以f(1x)f(1x)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱(chēng)，故正確；對(duì)，由f(x)在1,0上是增函數(shù)，而且f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)在0,1上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)，由函數(shù)f(x)的周期為2可得f(x)在1,2上是增函數(shù)，故錯(cuò)誤

10、；對(duì)，由可得f(2)f(0)，故正確綜合上述，正確的命題有.答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分，17題10分，1822題，每題12分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17(2011年?yáng)|莞模擬)已知g(x)x23，f(x)是二次函數(shù)，當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)的最小值為1，且f(x)g(x)為奇函數(shù)，求函數(shù)f(x)的表達(dá)式解析：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)g(x)(a1)x2bxc3，又f(x)g(x)為奇函數(shù)，a1，c3.f(x)x2bx3，對(duì)稱(chēng)軸x.當(dāng)2，即b4時(shí)，f(x)在1,2上為減函數(shù)，f(x)的最小值為f(2)42b31.b3.此時(shí)無(wú)解，當(dāng)1<<2

11、，即4<b<2時(shí)，f(x)minf31，b2(舍)或b2，此時(shí)f(x)x22x3，當(dāng)1，即b2時(shí)，f(x)在1,2上為增函數(shù)，f(x)的最小值為f(1)4b1.b3.f(x)x23x3.綜上所述，f(x)x22x3，或f(x)x23x3.18(2011年江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在x±1處取得極值，且在x0處的切線(xiàn)的斜率為3.(1)求f(x)的解析式；(2)若過(guò)點(diǎn)A(2，m)可作曲線(xiàn)yf(x)的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)f(x)3ax22bxc依題意又f(0)3c3a1f(x)x33x(2)設(shè)切點(diǎn)為(x0，x033x0)，f(x)3x23，

12、f(x0)3x023切線(xiàn)方程為y(x033x0)(3x023)(xx0)又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2，m)m(x033x0)(3x023)(2x0)m2x036x026令g(x)2x36x26則g(x)6x212x6x(x2)由g(x)0得x0或x2g(x)在(，0)單調(diào)遞減，(0,2)單調(diào)遞增，(2，)單調(diào)遞減g(x)極小值g(0)6，g(x)極大值g(2)2畫(huà)出草圖知，當(dāng)6<m<2時(shí)，m2x36x26有三解，所以m的取值范圍是(6,2)19(2011年?yáng)|北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x3ex2mx1(mR)，g(x).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)對(duì)任意x1，x2R，若g(x1)&l

13、t;f(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)f(x)x22exm，令4(e2m)()當(dāng)me2時(shí)，f(x)0f(x)在R上遞增()當(dāng)m<e2時(shí)，>0令f(x)>0x<e或x>ef(x)在(，e)和(e，)遞增令f(x)<0e<x<ef(x)在(e，e)遞減(2)g(x)令g(x)0時(shí)，xeg(x)在(0，e)遞增，(e，)遞減g(x)maxg(e)又f(x)(xe)2me2當(dāng)x>0時(shí)，f(x)minme2x1，x2R，g(x1)<f(x2)g(x)max<f(x)min<me2即：m>e2.20(2010年安徽高

14、考)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln21且x>0時(shí)，ex>x22ax1.解析：(1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f (x)ex2，xR.令f (x)0，得xln2.于是當(dāng)x變化時(shí)，f (x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f (x)0f(x)單調(diào)遞減2(1ln2a)單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，)，f(x)在xln2處取得極小值，極小值為f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，xR.于是

15、g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)a>ln21時(shí)，g(x)最小值為g(ln2)2(1ln2a)>0.于是對(duì)任意xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)a>ln21時(shí)，對(duì)任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)而g(0)0，從而對(duì)任意x(0，)，g(x)>0，即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.21(2010年臨沂模擬)某化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場(chǎng)份額，擬在2010年度進(jìn)行一系列促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查和測(cè)算，化妝品的年銷(xiāo)量x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)t萬(wàn)元之間滿(mǎn)足3x與t1成反比例，如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，化妝品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)

16、件，已知2010年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費(fèi)用為3萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件化妝品需要再投入32萬(wàn)元的生產(chǎn)費(fèi)用，若將每件化妝品的售價(jià)定為“其生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷(xiāo)費(fèi)的一半”之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷(xiāo)完假設(shè)2010年生產(chǎn)的化妝品正好銷(xiāo)完，(1)將2010年的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為促銷(xiāo)費(fèi)t(萬(wàn)元)的函數(shù)；(2)該企業(yè)2010年的促銷(xiāo)費(fèi)投入多少萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大？解析：(1)由題意，得3x，將t0，x1代入，得k2，x3.當(dāng)年生產(chǎn)x萬(wàn)件時(shí)，年生產(chǎn)成本年生產(chǎn)費(fèi)用固定費(fèi)用32x332(3)3，當(dāng)銷(xiāo)售x萬(wàn)件時(shí)，年銷(xiāo)售收入150%·32(3)3t.由題意，生產(chǎn)x萬(wàn)件化妝品正

17、好銷(xiāo)完，所以年利潤(rùn)年銷(xiāo)售收入年生產(chǎn)成本年促銷(xiāo)費(fèi)，即y(t0)(2)y50()50242(萬(wàn)元)，當(dāng)且僅當(dāng)，即t7時(shí)，ymax42，當(dāng)促銷(xiāo)費(fèi)定在7萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)的年利潤(rùn)最大22(2010年陜西高考改編)已知函數(shù)f(x)，g(x)alnx，aR.(1)若曲線(xiàn)yf(x)與曲線(xiàn)yg(x)相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)，求a的值和該切線(xiàn)方程；(2)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x)，當(dāng)h(x)存在最小值時(shí)，求其最小值(a)的解析式；解：(1)f (x)，g(x)(x>0)，由已知得解得a，xe2，兩條曲線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2，e)，切線(xiàn)的斜率為kf (e2).切線(xiàn)的方程為ye(xe2)(2)由條件知h(x)2lnx(x>0)，h(x).當(dāng)a>0時(shí)，令h(x)0，解得x4a2，當(dāng)0<x<4a2時(shí)，h(x)<0，h(x)在(0,4a2)上遞減；當(dāng)x>4a2時(shí)，h(