1、定積分與微積分基本定理【考點(diǎn)導(dǎo)讀】1 了解定積分的實(shí)際背景，初步掌握定積分的相關(guān)概念，體會定積分的基本方法。2 了解微積分基本定理的含義，能利用微積分基本定理計算簡單的定積分，解決一些簡單的幾何和物理問題。【基礎(chǔ)練習(xí)】1下列等于1的積分是 （3） 。（1） （2）（3） （4）2.曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積是 。 3已知自由落體運(yùn)動的速率，則落體運(yùn)動從到所走的路程為 。4如果10N的力能使彈簧壓縮10cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長6cm，則力所做的功為 0.18J 。5 1 , _ 。【范例導(dǎo)析】例1計算下列定積分的值：（1）；（2）；（3）；（4）；分析：求函數(shù)在某一區(qū)間上的定積分，常用的方法有

2、兩種：一是利用定積分的幾何意義，轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積來處理；二是應(yīng)用微積分基本定理，關(guān)鍵在于找到，使。解：（1）（2）因為，所以；（3）（4）點(diǎn)評：除了題目有明確要求之外，在求定積分的兩種方法中我們基本上選用微積分基本定理解決問題，避免每次都要進(jìn)行“分割、以直代曲、作和、逼近”的操作，不過有時候我們不容易找到比較，這時候用定義或者其幾何意義就顯得方便了。例2利用定積分表示下列圖形的面積：（1）（2）（3）分析：定積分的幾何意義就是它的數(shù)值可以用曲邊梯形的面積的代數(shù)和來表示。所以，我們可以用定積分來表示曲邊梯形的面積。解：（1）中陰影部分的面積為：；（2）中陰影部分的面積為：；（3）中陰影部分的

3、面積為：。2點(diǎn)評：注意“代數(shù)和”的理解：若在曲間上則，若在曲間上則。如上面的（3）。例3.求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積(畫出圖形)。解：如圖所示，由，可得曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為所以所求面積為點(diǎn)評：求圖形面積的總體思路是：先求出圖形，根據(jù)圖形求出交點(diǎn)坐標(biāo)，將圖形進(jìn)行適當(dāng)分割，用定積分進(jìn)行表示，從而求出所要的面積。【反饋演練】1求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為積分變量，則積分區(qū)間0，2。2由直線，及軸圍成平面圖形的面積為3如果1N力能拉長彈簧1cm，為將彈簧拉長6cm，所耗費(fèi)的功是 0.18 。4= 。5= 。6由拋物線、軸和直線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體的體積是，那么 。7曲線

4、，所圍成的圖形的面積可用定積分表示為。8由及軸圍成的介于0與2之間的平面圖形的面積，利用定積分表達(dá)為9按萬有引力定律，兩質(zhì)點(diǎn)間的吸引力，為常數(shù)，為兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，為兩點(diǎn)間距離，若兩質(zhì)點(diǎn)起始距離為，質(zhì)點(diǎn)沿直線移動至離的距離為處，試求所作之功（a） 。10曲線及軸所圍成的圖形的面積是。11物體A以速度在一直線上運(yùn)動，在此直線上與物體A出發(fā)的同時，物體B在物體A的正前方5m處以的速度與A同向運(yùn)動，問兩物體何時相遇？相遇時物體A的走過的路程是多少？（時間單位為：s，速度單位為：m/s）。解：.設(shè)A追上B時,所用的時間為，由題意有：即， 所以 所以， 所以 所以 。 12拋物線在第一象限內(nèi)與直線相切此拋物線與軸所圍成的圖形的面積記為求使達(dá)到最大值的值，并求的最大值。解：由題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，所以(1)又直線與拋物線相切，即它們有唯一的公共點(diǎn)，由方程組得：，其判別式，即于是代入（1）式得：，；令S'(b)=0；在b0時得b=3，且當(dāng)0b3時，S'(b)0；當(dāng)b3時，S'(b)0故在b=3時，S(b)取得極大