1、專題對點練24圓錐曲線中的定點、定值與存在性問題1.已知動圓M恒過點(0,1),且與直線y=-1相切.(1)求圓心M的軌跡方程;(2)動直線l過點P(0,-2),且與點M的軌跡交于A,B兩點,點C與點B關于y軸對稱,求證:直線AC恒過定點.2.已知橢圓:x2a2+y2=1(a>1)與圓E:x2+y-322=4相交于A,B兩點,且|AB|=23,圓E交y軸負半軸于點D.(1)求橢圓的離心率;(2)過點D的直線交橢圓于M,N兩點,點N與點N'關于y軸對稱,求證:直線MN'過定點,并求該定點坐標.3.已知拋物線E:y2=4x的焦點為F,圓C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直

2、線l與拋物線E交于A,B兩點,與圓C切于點P.(1)當切點P的坐標為45,85時,求直線l及圓C的方程;(2)當a=2時,證明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出該定值.4.設點M是x軸上的一個定點,其橫坐標為a(aR),已知當a=1時,動圓N過點M且與直線x=-1相切,記動圓N的圓心N的軌跡為C.(1)求曲線C的方程;(2)當a>2時,若直線l與曲線C相切于點P(x0,y0)(y0>0),且l與以定點M為圓心的動圓M也相切,當動圓M的面積最小時,證明:M,P兩點的橫坐標之差為定值.5.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為23,離心率為32.

3、(1)求橢圓M的方程;(2)若圓N:x2+y2=r2上斜率為k的切線l與橢圓M相交于P,Q兩點,OP與OQ能否垂直?若能垂直,請求出相應的r的值;若不能垂直,請說明理由.6.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,右頂點為A,上頂點為B,已知|AB|=3|OF|,且AOB的面積為2.(1)求橢圓的方程;(2)直線y=2上是否存在點Q,使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直?若存在,求點Q的坐標;若不存在,說明理由.專題對點練24答案1.(1)解 動點M到直線y=-1的距離等于到定點C(0,1)的距離,動點M的軌跡為拋物線,且=1,解得p=2,動點M的軌跡方程為x2

4、=4y.(2)證明 由題意可知直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),則C(-x2,y2).聯立y=kx-2,x2=4y,化為x2-4kx+8=0,=16k2-32>0,解得k>2或k<-2.x1+x2=4k,x1x2=8.直線AC的方程為y-y2=-y2-y1x2+x1(x+x2),又y1=kx1-2,y2=kx2-2,4k-4k(kx2-2)=(kx1-kx2)x+kx1x2-kx22,化為4y=(x1-x2)x+x2(4k-x2),x1=4k-x2,4y=(x1-x2)x+8,令x=0,則y=2,直線AC恒過一定點(0,2).

5、2.(1)解 由題意得A,B兩點關于y軸對稱,設xB=3,則圓心E到AB的距離為1,yB=,B3,12,代入橢圓方程得3a2+14=1,解得a2=4,e=32.(2)證明 設M(x1,y1),N(x2,y2),N'(-x2,y2).圓E交y軸負半軸于點D0,-12,當直線MN斜率存在時,設其方程為y=kx-12,y=kx-12,x24+y2=1,消去y得(1+4k2)x2-4kx-3=0.x1+x2=4k1+4k2,x1x2=-31+4k2,直線MN'的方程y-y1=y1-y2x1+x2(x-x1),依據橢圓的對稱性,若直線MN'過定點,定點一定在y軸上,令x=0,y=

6、y1-x1(y1-y2)x1+x2=x1y2+y2x1x1+x2=x1kx2-12+x2kx1-12x1+x2=2kx1x2x1+x2-12=-2.當直線MN斜率不存在時,直線MN'的方程為x=0,顯然過點(0,-2).綜上,直線MN'過定點(0,-2).3.(1)解 由圓(x-a)2+y2=4,則圓心(a,0),半徑為2,將P45,85代入圓方程,解得a=2或a=-,圓的方程為(x-2)2+y2=4或x+252+y2=4,當a=2,圓心C(2,0),則直線CP的斜率k=85-045-2=-,由直線l的斜率為-1k=34,則直線l的方程y-85=34x-45,整理得4y-3x-

7、4=0;當a=-,圓心C-25,0,則直線CP的斜率k=85-045-25=43,由直線l的斜率為-=-,則直線l的方程y-=-34x-45,整理得20y+15x-44=0,綜上可知,直線l方程為4y-3x-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4,或直線l方程為20y+15x-44=0,圓C的方程為x+252+y2=4;(2)證明 當a=2時,圓C的方程(x-2)2+y2=4,當l垂直于x軸時,則x=4,A(4,4),B(4,-4),|FA|=|FB|=5,|AB|=8,|FA|+|FB|-|AB|=2;當l不垂直于x軸時,設直線l:y=kx+b(k0),直線l與圓C相切,則|2k-0+b

8、|1+k2=2,則4kb+b2=4,結合圖象知kb<b(圖略).則y=kx+b,y2=4x,整理得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,由=(2kb-4)2-4k2b2=-16kb+4(4kb+b2)=4b2>0,x1+x2=-2kb-4k2,x1x2=b2k2,|AB|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·-2kb-4k22-4×b2k2=1+k2·-16kb+16k2=1+k2·4b2k2=4(b2+k2b2)k2=4(4-4kb+k2b2)k2=4-2kbk2,由拋物線的性質可知|FA|+|FB|=x1+x2+p

9、=x1+x2+2,|FA|+|FB|=-2kb-4k2+2,|FA|+|FB|-|AB|=-2kb-4k2+2-4-2kbk2=2,|FA|+|FB|-|AB|是定值,定值為2.4.(1)解 因為圓N與直線x=-1相切,所以點N到直線x=-1的距離等于圓N的半徑,所以點N到點M(1,0)的距離與到直線x=-1的距離相等.所以點N的軌跡為以點M(1,0)為焦點,直線x=-1為準線的拋物線,所以圓心N的軌跡方程,即曲線C的方程為y2=4x.(2)證明 由題意,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y-y0=k(x-x0),由y-y0=k(x-x0),y2=4x得y2-y-kx0+y0=0,又y02=4

10、x0,所以y2-y-k4y02+y0=0.因為直線l與曲線C相切,所以=1-k-k4y02+y0=0,解得k=2y0.所以直線l的方程為4x-2y0y+y02=0.動圓M的半徑即為點M(a,0)到直線l的距離d=|4a+y02|16+4y02.當動圓M的面積最小時,即d最小,而當a>2時,d=|4a+y02|16+4y02=y02+4a2y02+4=y02+4+4a-42y02+4=y02+42+4a-42y02+42a-1.當且僅當y02=4a-8,即x0=a-2時取等號,所以當動圓M的面積最小時,a-x0=2,即當動圓M的面積最小時,M,P兩點的橫坐標之差為定值.5.解 (1)依題意

11、橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為23,離心率為32.得c=3,e=ca=32,可得a=2,則b=1,故橢圓的方程為x24+y2=1.(2)設直線l的方程為y=kx+m,直線l與圓x2+y2=1相切,|m|k2+1=r,即m2=r2(k2+1).由y=kx+m,x24+y2=1可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+16>0,m2<4k2+1,可得r2<4.令P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-41+4k2,y1y2=

12、(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,若OP與OQ能垂直,則OP·OQ=x1x2+y1y2=0,(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)4m2-41+4k2+-8k2m21+4k2+m2=0,整理得5m2-4(k2+1)=0,把代入得(k2+1)(5r2-4)=0,r=255,滿足r2<4,OP與OQ能垂直.6.解 (1)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點為F,右頂點為A,上頂點為B,已知|AB|=3|OF|,且AOB的面積為2,a2+b2=3c, ab=2,a=2,b=2,橢圓方程為x24+y22=1.(2)假設直線y=2上存在點Q滿足題意,設Q(m,2),當m=±2時,從點Q所引的兩條切線不垂直.當m±2時,設過點Q向橢圓所引的切線的斜率為k,則l的方程為y=k(x-m)+2,代入橢圓方程,消去y,整理得(1+2k