1、海南大學土木建筑工程學院、海南省力學學會第二屆力學競賽試題1、如圖 1 所示，質量均為 m 的 n（ n 3）個均質圓柱體依次擱置在傾角為30°的斜面上，并用鉛垂設置的鉸支板擋住。若已知圓柱半徑為 R，板長為 l，各圓柱與斜面和擋板之間的摩擦系數 1/3，且不計各圓柱之間的摩擦， 試求維持系統平衡時的最大水平力 P。圖 1【解】先設圓柱 On ，由三力平衡匯交定理知其與斜面間摩擦力為零，依次判斷，直到圓柱 O2 與斜面間摩擦力均為零。再研究圓柱O2 ,O3 ,.,On 共 n-1 個柱體的整體平衡，由Fx0有N 2n 1 m g2N2 為圓柱 O1 與 O2 間的作用力。再研究 O1

2、 圓柱，受力如圖，由mO10有F1 F1設 AOBOa ，由mO 0N1 a m g R 1N a 2 N R當 n3時， N1N1 ，可知 A 處先滑動，且 F1N1 。由mB0N Rc o s 3 0F R1s i n 3 0 m g RNRs i n 3 0112將 N2 代入，得n 33 1N1m g4所以n331F1N112mg由 Fx 0533n339N1 N 2c o s 3 0 F 1c o s 3N0s i n 3 012mg最后研究鉸支板的平衡，由mO0P lN 3R1所以RPm a x 4l53 n 3 13 m g2、如圖 2 所示，偏心輪質量為 m，偏心距OCe。輪對

3、質心，C 的回轉半徑為 c置于光滑水平面上。初始時 OC 呈水平，質心 C 有一水平初速 ，輪的角速度為零。求當 C 點運動至最低位置時，水平面對輪的約束反力。圖 2【解】取質心平動參考系O1 xy（圖 7），它以常速度 v 運動。質心 C 的相對速度 vr沿 y 軸。由動能定理，有圖 71 J C21 m v2vr21 mv2m g ec o s222其中 JCm c2 。當質心 C 運動至最低點時，有vr 0 ，0故有2 2 ge2c此時運用相對質心的動量矩定理，有JCMC0故0所以 C 點的加速度向上，為aCe 2所以有NmgmaC即N mg me2 gemg 12e222C3、圖 3

4、所示對稱桁架， 受載荷 P 作用，己知各桿材料相同， 橫截面面積也相同，問有何辦法可使各桿同時達到材料的許用應力 ?圖 3【解】辦法 1：利用裝配應力改變內力分配。在準確加工、裝配的情況下，桁架中各桿的受力為N 1N2P c o 2s（ 1）1 2 c o 3sN 3P（2）132 c o s因此 N3N1，總是桿 3 先達到。為使各桿的圖 8應力同時達到，可采用加裝配應力的辦法，即預先將桿 3 做長 ，在強制裝配以后，桿 3 將具有預應力，而桿 1、2 將具有預拉應力。由圖 8 可知，設外載增至P 時，各桿的應力同時到達，節點 A 到達 A1 。在小變形假設的前提下， 疊加原理使用， 與各桿

5、伸長量之間應滿足下列協調方程l1l 2l 3c o s(3)各桿的軸力又滿足下列物理方程l iN i lil i（ i 1,2,3 ）（4）EAE由方程（ 3）、（4）解得桿 3 長度的過盈量，l2（5）t a nE該桁架的許用載荷為PA 12c o s由式（5）可以看出，這個解答的適用范圍有一定的限制，即若 接近時， 就2變得相當大，這時，小變形假設就不適用了，因此所得值也就沒意義了。辦法 2：對于短暫加載情況，除了上述辦法外，還可以采用加熱應力的辦法來達到相同的目的，若材料的線膨脹系數為，又假設材料的許用應力不隨溫度的改變而改變，則桿3 所需升高的溫度為t2lt a nE4、物塊 C 的重

6、量為 G，置于懸臂梁 AB 上（圖 4），梁長 L，彎曲剛度 EI，物塊與梁間的摩擦系數為 ，求：（1）物塊開始滑動時的位置；（2）物塊滑離 B 端時的速度。圖 4【解】（1）設物塊開始滑動時的位置為 s ，如圖 9 所示，則 AD 段的撓度曲線方程為Gx2x0x sy3s6EI由此可知DyDGs22EI（ 1）由靜力平衡條件，可求得摩擦力為FG c o sD而物塊開始滑動的條件為圖 9G s i n DF由以上二式易得t a n DD將式 (1)代入上式，即可得到物塊開始滑動時的位置為s1 22EIG（2）物塊由 D 處滑至 B 處，在此階段的始、末兩處的撓度分別為f DGs3，f BGL

7、33EI3EI設物塊滑離 B 端時的速度為 v ，W 為摩擦力 F 在此滑動過程中所作的功，由能量守恒定律可得Gv 2G GL3Gs3W（2）2g3EI這里假定物塊很小，其轉動動能可忽略不計。由于dWF d s而FG c o s1ds1y 2 2 dx21c o sdx ds1 y2故有1dWG cos1y 2 2 dxG d x積分上式，得WG L s(3)將式（ 3）代入式（ 2），最后得到1v 2g L sGL22Ls s23EI5、下列結構均為等直桿， 各相應載荷為任意分布。 證明圖 5 中（ a）桿的軸力圖、（ b）圓軸的扭矩圖、（c）梁的剪力圖、（d）梁的彎矩圖，其圖形面積代數和均

8、為零（c）梁剪力圖在受分布和集中力偶矩時例外） 。圖 5【證明】設軸力為N x ，扭矩為 T x ，彎矩為 M x ，剪力為 Q x ，E 為彈性模量， G 為切變性模量， I 和 I P 分別為軸慣性矩和極慣性矩，A 為桿的截面面積。(a)圖，受任意分布和集中的軸向力作用。桿的總伸長為l0 。由胡克定律，正應變 xN x，故軸力圖面積的代數和為EANll0N x dx EAx dx EA l 00(b) 圖 , 受任 意分布和集中 的扭力偶作用 。 圓軸扭轉角的邊 界條件為0l 0 ，根據圓軸扭轉變形基本公式dT x ，故扭矩圖面積的代數和dxGI P為lldlT0T x dxGIP 0dxdxGIP 00(c)圖，受任意分布和集中的橫向載荷作用。對于簡支梁，M 0M l0 ，且在無分布力偶矩的情況下，剪力與彎矩的微分關系為dMQ ，故有dxdMllQdx M000dx受到分布和集中力偶矩作用時 ,此值一般不為零， 因為關系式 dMQ 中，未dx考慮分布力偶矩的作用。在這種情況下，應修正為lm x dxM iQ0i其中 m x 與 M i 為分布力偶矩和集中力偶矩，逆時針為正。(d)圖，受任意分布和集中的橫向載荷及力偶矩作用。兩端固支梁，轉角邊界條件為 0l 0 ，有微分關系為 d 2 ydMdx