1、一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分三、小結三、小結 思考題思考題第二節第二節 二重積分的計算法二重積分的計算法二、極坐標系下二重積分的計算二、極坐標系下二重積分的計算【復習與回顧】【復習與回顧】回顧一元函數定積分的應用回顧一元函數定積分的應用平行截面面積為已知的立體的體積的求法平行截面面積為已知的立體的體積的求法體積元素體積元素dxxAdV)( 體積為體積為 badxxAV)(在點在點x處的平行截面的面積為處的平行截面的面積為 )(xA, bxa ).()(21xyx 其中函數其中函數 、 在區間在區間 上連續上連續. .)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系計算二

2、重積分一、利用直角坐標系計算二重積分(1)X型域型域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 【X型區域的特點】型區域的特點】 穿過區域且平行于穿過區域且平行于y 軸的軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點直線與區域邊界相交不多于兩個交點. .1. 【預備知識】【預備知識】,dyc ).()(21yxy (2)Y型域型域)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D【Y型區域的特點】型區域的特點】穿過區域且平行于穿過區域且平行于x 軸的軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點直線與區域邊界相交不多于兩個交點. .(3)既非既非X型域也非型域也非Y型域型域如圖如圖3D2

3、D1D在分割后的三個區域上分別都在分割后的三個區域上分別都是是X型域型域( (或或Y型域型域) )則必須分割則必須分割. .321 DDDD由二重積分積分區域的可加性得由二重積分積分區域的可加性得(1).若積分區域為若積分區域為X型域：型域：, bxa ).()(21xyx 0),( yxf且且設設為為頂頂的的曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以則則),(),(yxfzDdyxfD 2. .【二重積分公式推導】【二重積分公式推導】【方法】【方法】根據二重積分的幾何意義根據二重積分的幾何意義以及計算以及計算“平平行截面面積為已知的立體求體積行截面面積為已知的立體

4、求體積”的方法來求的方法來求. .,0bax 0 xx 作作平平面面)(01x )(02x )()(000201),()(xxdyyxfxA badxxAV)( .),(),()()(21 Dbaxxdxdyyxfdyxf即得即得公式公式1 的的二二次次積積分分后后對對上上式式稱稱為為先先對對xyyxzab0 xo)(1xy)(02x )(01x )(2xy)(0 xA ),()( )()(21 xxdyyxfxA ),( yxfzoyxz)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xyab0 xdyyf(xdxba(x)(x),21 注注: 若若 (x,y)0 仍然適用。仍然適用。注意注意:

5、 1）上式說明: 二重積分可化為二次定積分計算;2）積分次序: X-型域 先Y后X;3）積分限確定法: 后積先定限，后積先定限，域中做穿線；域中做穿線； 先過為下限，后過未上線。先過為下限，后過未上線。為方便，上式也常記為：為方便，上式也常記為：).()( , 21yxydyc xyoD yx1 yx2 cd:).2(型型域域若若積積分分域域為為 Yy Ddxdyyxf),( . 的二次積分的二次積分后對后對即化二重積分為先對即化二重積分為先對yx dcyydydxyxf)()(21),(公式公式2 1）積分次序）積分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2）積分限確定法）積分限確定法: “

6、域中做穿線域中做穿線”, 須用平行于須用平行于X軸的射線軸的射線穿插區域穿插區域 。dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可記記為為注意注意: 注意：二重積分轉化為二次定積分時，關鍵在于注意：二重積分轉化為二次定積分時，關鍵在于正確確定積分限正確確定積分限,一定要做到熟練、準確一定要做到熟練、準確。總結、總結、利用直系計算二重積分的步驟利用直系計算二重積分的步驟（1）畫出積分區域的圖形）畫出積分區域的圖形,求出邊界曲線交點坐標；求出邊界曲線交點坐標；（3）確定積分限，化為二次定積分；）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據積分域類型）根據積分域類型, 確定積分次序；確定積分次序；

7、（4）計算兩次定積分，即可得出結果）計算兩次定積分，即可得出結果.【說明】【說明】(1)使用公式使用公式1必須是必須是X型域，型域， 公式公式2必須是必須是(2) 若積分區域既是若積分區域既是X型區域又是型區域又是Y 型區域型區域 , Dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便, ,可可選擇積分次序選擇積分次序, , 必要時還可必要時還可交換積分次序交換積分次序. .則有則有yyxfxxd),()()(21 baxdxyxfyyd),()()(21 dcyd)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdcx)(1xyy(3) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成若干可將它分成若干X- -型域

8、或型域或Y- -型域型域. . 321DDDDoxy1D2D3DY型域型域.4. 【例題部分例題部分】【例【例1】.2, 1,所所圍圍閉閉區區域域及及：由由其其中中計計算算xyxyDxydD 【解【解】 看作看作X型域型域 xyxDX121: 21121212dxyxxydydxxydxxD 811)22(213 dxxx12oxy y=xy=1Dx【解【解】看作看作Y型域型域 221:xyyDY 21222212dyxyxydxdyxydyyD 811)22(213 dyyy12oxyx = yx=2Dy12【例【例2】. 1, 1,: ,122所所圍圍閉閉區區域域和和由由計計算算 yxxy

9、DdyxyD 【解】【解】 D既是既是X型域又是型域又是Y型域型域 111:yxxDX法法1 122111xdyyxydx上上式式21 1 11 11 1x xo oy=xy=xD Dx xy y法法2 yxyDY111: ydxyxydy122111原式原式注意到先對注意到先對x 的積分較繁，故應用法的積分較繁，故應用法1 1較方便較方便111yoy=xD1xy注意兩種積分次序的計算效果！注意兩種積分次序的計算效果！【例【例3】所所圍圍閉閉區區域域及及：由由其其中中計計算算2,2 xyxyDxydD 【解】【解】 D既是既是X型域型域又是又是Y型域型域先求交點先求交點(4,2) (1,-1)

10、 2 2或或由由 xyxy法法1 221:2yxyyDY法法2 2212yyDxydxdyxyd 855 視為視為X型域型域 xyxxD10:1 xyxxD241:221 DDD 則必須分割則必須分割 21DDDxyd xxxxxydydxxydydx24110 計算較繁計算較繁本題進一步說明兩種積分次序的不同計算效果！本題進一步說明兩種積分次序的不同計算效果！【小結】【小結】以上三例說明，在化二重積分為二次以上三例說明，在化二重積分為二次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次積分時，為簡便見需恰當選擇積分次序；既要考慮積分區域序；既要考慮積分區域D的形狀，又要的形狀，又要考慮被積函數的特性考慮被積

11、函數的特性( (易積易積) )xyO練習練習解解 Dyxyxdd)(2xxxxxxd)(21)(42102 .14033 22xyyx yyxd)(2 10dx)0 , 0(),1 , 1(所圍平面閉區域所圍平面閉區域.和和是是拋拋物物線線其其中中求求22,dd)(xyDyxyxD 2yx 兩曲線的交點兩曲線的交點2xx2xy 2yx )1 , 1( 練習練習解解1d22Dxy d2211xxxxy 9.4 1:12,Dxyxx d22xyy d21x d22,2,DxDxyxy 求求其其中中 是是由由直直線線和和1.xy 雙雙曲曲線線圍圍成成的的閉閉區區域域將將D看成看成X型區域型區域1xx

12、xyOyx 2x 1xy )d231( xxx 練習練習解解2d22Dxy 9.4 111:1,22Dyxyd22xxy d112y d22,2,DxDxyxy 求求其其中中 是是由由直直線線和和1.xy 雙雙曲曲線線圍圍成成的的閉閉區區域域將將D看成看成Y型區域型區域1y2xyOyx 2x 1xy D1D22:12,2Dyyx dd122222DDxxyy d22xxy d21y y2第第一一種種方方法法計計算算量量小小例例3yyxxdsind1012 siny2 對對y的積分的積分而它對而它對x的積分的積分交換積分次序交換積分次序的方法是的方法是:改寫改寫D為為:oxy 分析分析所以將所以

13、將二次積分二次積分先先將所給的積分域將所給的積分域(1)(2) 畫出積分域的草圖畫出積分域的草圖(3)計算二次積分計算二次積分不能用基本積分法算出不能用基本積分法算出,xy )1 , 1(可用基本積分法算出可用基本積分法算出.交換積分次序交換積分次序. .用聯立不等式表示用聯立不等式表示 D:, 10 x1 yx, 10 yyx 0yyxxdsind1012 yxyyd)(sin0102 yyydsin102 2102dsin21yy )1cos1(21 xyydsin02 10dyoxyxy )1 , 1(, 10: yDyx 0例例4 4交換積分次序：交換積分次序：解解 積分區域積分區域:

14、 xxxyyxfxyyxfx20212010d),(dd),(d2原式原式= 10dyy 2 xyxfd),(211y 22xxy xy 2xyO12又是能否進行計算的問題又是能否進行計算的問題. .計算二重積分時計算二重積分時, , 恰當的選取積分次序恰當的選取積分次序十分重要十分重要, , 它不僅涉及到計算繁簡問題它不僅涉及到計算繁簡問題, , 而且而且凡遇如下形式積分凡遇如下形式積分: :,dsinxxx ,d2xex ,lnd xx等等等等, ,一定要放在一定要放在后面積分后面積分. .,dsin2xx ,dcos2xx ,d2xex ,dxexy 解解 121d)(xeexxee21

15、83 xeyxeyIyyxyyxydddd121212141 計算積分計算積分xexyd 不能用初等函數表示不能用初等函數表示,先交換積分次序先交換積分次序.yexyd x2x xd I211112141xy 2xy 21Oxy5.【簡單應用】【簡單應用】【例【例5】 求兩個底圓半徑都等于求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的直交圓柱面所圍成的立體的體積的體積V.【解】【解】xyzRRo 設兩個直圓柱方程為設兩個直圓柱方程為,222Ryx 利用對稱性利用對稱性, , 考慮第一卦限部分考慮第一卦限部分, ,其曲頂柱體的頂為其曲頂柱體的頂為則所求體積為則所求體積為 DyxxRVdd822

16、 220dxRyxxRRd)(8022 3316R 222Rzx 22xRz 2200:),(xRyRxDyxXxxRRd8022 222Ryx222RzxD【例【例6】 2, 2的的面面積積所所圍圍區區域域應應用用二二重重積積分分求求由由曲曲線線Dxyxy 【解】【解】 據二重積分的性質據二重積分的性質4（幾何意義）（幾何意義） Ddxdy 交點交點 22xyxy)4 , 2( )1 , 1(， 221:2xyxxDX 212221)2( 2dxxxdydxxx 29 )(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型型dxdy.yf(xdxxAf(x,y)dxdyba(x)(

17、x)Dba)(21 7 小結小結)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DY型型.),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf二、二、 利用極坐標系計算二重積分利用極坐標系計算二重積分 當一些二重積分的積分區域當一些二重積分的積分區域D用極坐標表示比用極坐標表示比較簡單，或者一些函數它們的二重積分在直角坐標較簡單，或者一些函數它們的二重積分在直角坐標系下根本無法計算時，我們可以在極坐標系下考慮系下根本無法計算時，我們可以在極坐標系下考慮其計算問題。其計算問題。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxd

18、yyxdxdyeirr iirrr i 21()2iiiiir rriiir rOADi ii i ( ,)iir 21()2iiirr 212iir cos,iiir siniiir iiinif ),(lim10iiinif ),(lim10即即 Dyxf d),( Dyxyxfdd),(也即也即d dr r 極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素 d d( cos , sin )rDf rrr r d d( cos , sin )rDf rrr r nif1(cos,iir iiirr sin)iir 0lim .)sin,cos(),( DDddfdxdyyxf 則則二重積分極坐標二

19、重積分極坐標表達表達式式【注意】【注意】極坐標系下的面積元素為極坐標系下的面積元素為dd d 直角坐標系下的面積元素為直角坐標系下的面積元素為ddxdy 區別區別.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 注意注意：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下：將直角坐標系的二重積分化為極坐標系下的二重積分需要進行的二重積分需要進行“三換三換”： rdrddxdyDDryrxrxysincos 極系下的二重積分化為二次積分極系下的二重積分化為二次積分的的上上下下限限關關鍵鍵是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定用兩條過極點的射線夾平面區域，用兩條過極點的射線夾平面區域，由兩射線的

20、傾角得到其上下限由兩射線的傾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作過極點的半射線與平面區域相交，任意作過極點的半射線與平面區域相交，由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。由穿進點，穿出點的極徑得到其上下限。將直系下的二重積分化為極系后，極系下的將直系下的二重積分化為極系后，極系下的二重積分仍然需要化為二次積分來計算。二重積分仍然需要化為二次積分來計算。.)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(2. .二重積分化為二次積分的公式二重積分化為二次積分的公式區域特征如圖區域特征如圖, ).()(21 （1）極點極點O在區域在區域D的邊界曲線之外時的邊界曲線之外時 AD

21、o)(1 )(2 若區域特征如圖若區域特征如圖, ).()(21 .)sin,cos()()(21 dfd Dddf )sin,cos(AoD)(2 )(1 特別地特別地AoD)( .)sin,cos()(0 dfd（2）極點極點O恰在區域恰在區域D的邊界曲線之上時的邊界曲線之上時區域特征如圖區域特征如圖, ).(0 Dddf )sin,cos(（1）的特例的特例 Dddf )sin,cos(.)sin,cos()(020 dfd3. 極坐標系下區域的面積極坐標系下區域的面積. Ddd 區域特征如圖區域特征如圖).(0 DoA)( ,2 0（3）極點極點O在區域在區域D的邊界曲線之內時的邊界曲

22、線之內時（2）的特例的特例1 yx122 yx【解】【解】 sincosyx Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 dfd【解】【解】D：a 0， 20. dxdyeDyx 22 aded0202 ).1(2ae xyo的原函數不是初等函數的原函數不是初等函數 , ,故本題無法故本題無法【注】【注】1.由于由于用直角坐標計算用直角坐標計算. .2xe 【注注】2.利用利用例例2可得到一個在概率論與數理統計中可得到一個在概率論與數理統計中以及工程上非常有用的以及工程上非常有用的反常反常積分公式積分公式2d02 xex事實上事實上, 當當D 為為 R2 時時, Dyxyx

23、edd22 yexeyxdd2220d42 xex利用利用例例2的結果的結果, 得得)1(limd42220aaxexe 故故式成立式成立 .R2解解0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS 022 yxe Syxyxedd22 222ddDyxyxe求反常積分求反常積分20d .xex例例顯然有顯然有21DSD 122ddDyxyxeR1DS2DyxO Rxxe0d220)d(2 Rxxe)1(2Re 又又yxeISyxdd22 yxeIDyxdd1221 yxeIDyxdd2222 )1(422Re 4

24、Ryye0d2 0, 0,| ),(2221 yxRyxyxD0, 0,2| ),(2222 yxRyxyxD0 ,0| ),(RyRxyxS ,41 I42 I,4 I21III )1(4)d()1(4222220RRxRexee 夾逼定理夾逼定理,R 當時,R 故當時即即4)d(202 Rxxe所求反常積分所求反常積分20d2xex),1(421ReI )1(4222ReI ,)d(202 RxxeI32 61 sin4 r Dyxyxdd)(22 sin4sin22drrr)32( 15 yyx422 yyx222 03 yx【解解】03 xy sin2 roxy24 36d 將將直角坐

25、標系直角坐標系下積分下積分: 22240214110d),(dd),(dxxxyyxfxyyxfx化為化為極坐標系極坐標系下的下的累次積分累次積分.oxy解解rrrrf 2120d)sin,cos(d原式原式=2 r21 r103 yx解解32 61 sin4r sin2ryxyxDdd)(22 rrrdd2)32(15 03 xy計算計算,dd)(22yxyxD 為為由由圓圓其其中中D所圍成的平面閉區域所圍成的平面閉區域.例例yyxyyx4,22222 及直線及直線, 03 yx03 xy sin4 sin26 3 xOyyyx222 yyx422 4 計算計算16:22 yxD因被積函數因

26、被積函數422 yx4:221 yxD164:222 yxDD2 d)4(221yxID d)4(222 yxD d|4|22 DyxI例例分析分析故故 80 422 yx的的在積分域內變號在積分域內變號.2xoyD1解解)0,( yx那那部部分分立立體體的的體體積積。所所截截得得含含在在圓圓柱柱面面內內的的被被圓圓柱柱面面求求球球體體例例)( 025222222aaxyxazyx倍倍，限限部部分分立立體體體體積積的的為為第第一一卦卦由由對對稱稱性性，所所求求體體積積4VaxyxD2:22 dxdyyxaVD 22244. ,2acos 20D r，0：在極系下：在極系下：（如圖）（如圖）cos2ar o2aDdxdyyxaVD 22244從從而而rdrrada 20cos202244