1、 專題一： 函數概念與表示一課標要求1通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念；2在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法如圖象法、列表法、解析法表示函數；3通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用；4通過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的單調性、最大小值及其幾何意義；結合具體函數，了解奇偶性的含義；5學會運用函數圖象理解和研究函數的性質。要點精講1函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系

2、f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數。記作：y=f(x)，xA。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域。注意：1“y=f(x)”是函數符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；2函數符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應的函數值，一個數，而不是f乘x。2構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域1解決一切函數問題必須認真確定該函數的定義域，函數的定義域包含三種形式：自然型：指函數的解析式有意義的自變量x的取值范

3、圍如：分式函數的分母不為零，偶次根式函數的被開方數為非負數，對數函數的真數為正數，等等；限制型：指命題的條件或人為對自變量x的限制，這是函數學習中重點，往往也是難點，因為有時這種限制比較隱蔽，容易犯錯誤；實際型：解決函數的綜合問題與應用問題時，應認真考察自變量x的實際意義。2求函數的值域是比較困難的數學問題，中學數學要求能用初等方法求一些簡單函數的值域問題。配方法將函數轉化為二次函數；判別式法將函數轉化為二次方程；不等式法運用不等式的各種性質；函數法運用基本函數性質，或抓住函數的單調性、函數圖象等。3兩個函數的相等：函數的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f。當函數的定義域及從定義

4、域到值域的對應法則確定之后，函數的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應法則為函數的兩個基本條件，當且僅當兩個函數的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數才是同一個函數。4區間1區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間； 2無窮區間；3區間的數軸表示。5映射的概念一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：AB”。函數是建立在兩個非空數集間的一種對應，假設將其中的條件“非空數集”弱化為“任意兩個非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之

5、間的對應關系，這種的對應就叫映射。注意：1這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的其中f表示具體的對應法則，可以用漢字表達。2“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。6常用的函數表示法1解析法：就是把兩個變量的函數關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數的解析表達式，簡稱解析式；2列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系；3圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系。7分段函數假設一個函數的定義域分成了假設干個子區間，而每個子區間的解析式不同，這種函數又稱分段函數；8復合函數假設y=f(u)，u=g(x),xÎ

6、;(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=fg(x)稱為復合函數，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。四典例解析題型一：函數概念例1設函數2設函數fx，則滿足fx=的x值為 。解：1這是分段函數與復合函數式的變換問題，需要反復進行數值代換， =2當x，1，值域應為，當x1，時值域應為0，y，y0，此時x1，log81x，x813。點評：討論了函數的解析式的一些常用的變換技巧賦值、變量代換、換元等等，這都是函數學習的常用基本功。變式題：設 A0 B1 C2 D3解：選項為C。題型二：判斷兩個函數是否相同例試判斷以下各組函數是否表示同一函數？1fx=，gx=；2fx=，gx=3fx

7、=，gx=2n1nN*；4fx=，gx=；5fx=x22x1，gt=t22t1。解：1由于fx=|x|，gx=x，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數；2由于函數fx=的定義域為，00，+，而gx=的定義域為R，所以它們不是同一函數；3由于當nN*時，2n±1為奇數，fx=x，gx=2n1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數；4由于函數fx=的定義域為x|x0，而gx=的定義域為x|x1或x0，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數；5函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數。點評：對于兩個函數y=fx和y=gx，當且僅當它們的定

8、義域、值域、對應法則都相同時，y=fx和y=gx才表示同一函數假設兩個函數表示同一函數，則它們的圖象完全相同，反之亦然。1第5小題易錯判斷成它們是不同的函數，原因是對函數的概念理解不透要知道，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達式，這對于函數本身并無影響，比方fx=x2+1，ft=t2+1，fu+1=u+12+1都可視為同一函數。2對于兩個函數來講，只要函數的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數就不可能是同一函數。題型三：函數定義域問題例求下述函數的定義域：1；2解：1，解得函數定義域為.2 ，先對a進行分類討論，然后對k進行分類討論，當a=0時，函

9、數定義域為；當時，得，1當時，函數定義域為，2當時，函數定義域為，3當時，函數定義域為；當時，得，1當時，函數定義域為，2當時，函數定義域為，3當時，函數定義域為。點評：在這里只需要根據解析式有意義，列出不等式，但第2小題的解析式中含有參數，要對參數的取值進行討論，考察學生分類討論的能力。例已知函數定義域為(0，2)，求以下函數的定義域：(1) ； (2)。解：1由0x2， 得 點評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數fg(x)的定義域關鍵在于理解復合函數的意義，用好換元法；求函數定義域的第三種類型是一些數學問題或實際問題中產生的函數關系，求其定義域，后面還會涉及到。變式題

10、：已知函數fx=的定義域是R，則實數a的取值范圍是 AaB12a0C12a0Da解：由a=0或可得12a0，答案B。題型四：函數值域問題例求以下函數的值域：1； 2； 3；4； 5； 6；7； 8； 9。解：1配方法，的值域為。改題：求函數，的值域。解：利用函數的單調性函數在上單調增，當時，原函數有最小值為；當時，原函數有最大值為。函數，的值域為。2求復合函數的值域：設，則原函數可化為。又，故，的值域為。3法一反函數法：的反函數為，其定義域為，原函數的值域為。法二別離變量法：， 函數的值域為。4換元法代數換元法：設，則，原函數可化為， 原函數值域為。注：總結型值域，變形：或5三角換元法：，設，

11、則， 原函數的值域為。6數形結合法：， ，函數值域為。7判別式法：恒成立，函數的定義域為。由得： 當即時，即，當即時，時方程恒有實根， 且，原函數的值域為。8， ，當且僅當時，即時等號成立。，原函數的值域為。9法一方程法：原函數可化為：，其中， 原函數的值域為。點評：上面討論了用初等方法求函數值域的一些常見類型與方法，在現行的中學數學要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數的最大與最小值，在后面的復習中要作詳盡的討論。題型五：函數解析式例61已知，求；2已知，求；3已知是一次函數，且滿足，求；4已知滿足，求。解：1，或。2令，則，。3設，則， 。4 ，把中的換成，得 ，得，。點評：第1題用配

12、湊法；第2題用換元法；第3題已知一次函數，可用待定系數法；第4題用方程組法。題型六：課標創新題例101設，其中a、b、c、d是常數。如果求；2假設不等式對滿足的所有m都成立，求x的取值范圍。解：1構造函數則故：2原不等式可化為構造函數，其圖象是一條線段。根據題意，只須：即解得。點評：上面兩個題目通過重新構造函數解決了實際問題，表達了函數的工具作用。五思維總結“函數”是數學中最重要的概念之一，學習函數的概念首先要掌握函數三要素的基本內容與方法。由給定函數解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對各種式的認識與解不等式技能的熟練。1求函數解析式的題型有：1已知

13、函數類型，求函數的解析式：待定系數法；2已知求或已知求：換元法、配湊法；3已知函數圖像，求函數解析式；4滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構造另個等式：解方程組法；5應用題求函數解析式常用方法有待定系數法等。2求函數定義域一般有三類問題：1給出函數解析式的：函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；2實際問題：函數的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義；3已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：掌握基本初等函數尤其是分式函數、無理函數、對數函數、三角函數的定義域；假設已知的定義域，其復合函數的定義域應由解出。3求函數值域的各種方法函數的值域是由其對應法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數值域；(2)求由常見函數復合而成的函數的值域；(3)求由常見函數作某些“運算”而得函數的值域。直接法：利用常見函數的值域來求一次函數y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數的定義域為x|x0，值域為y|y0；二次函數的定義域為R，當a>0時，值域為；當a&